Trigonometrie vertiefen · Erklären & üben

Cotangens

Der Cotangens ist ein Verhältnis von Kosinus und Sinus. Er ist eine periodische Winkelfunktion mit Definitionslücken und darf nicht mit dem Arcustangens verwechselt werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Definition und erlaubte Winkel

\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}x=\frac{\operatorname{\textsf{cos}}x}{\operatorname{\textsf{sin}}x}}

Der Nenner darf nicht 0 sein. Im Bogenmaß gilt deshalb $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}}$ .

Wo sowohl Tangens als auch sein Kehrwert definiert sind, gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}x=1/\operatorname{\textsf{tan}}x}$ . Die Quotientenform cos/sin ist allgemeiner: Bei $\mathsf{x=\pi/2}$ ist der Cotangens 0, obwohl der Tangens dort nicht definiert ist.

Erklärung 02

Rechtwinkliges Dreieck und Einheitskreis

Für einen spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ist der Cotangens das Verhältnis Ankathete zu Gegenkathete. Das ist das umgekehrte Seitenverhältnis des Tangens.

Am Einheitskreis hat der Winkel x die Punktkoordinaten $\mathsf{(\operatorname{\textsf{cos}}x\mid\operatorname{\textsf{sin}}x)}$ . Der Cotangens ist das Verhältnis der horizontalen zur vertikalen Koordinate, sofern die vertikale Koordinate nicht 0 ist.

Rechtwinkliges Dreieck mit Cotangensverhältnis 6 zu 2.

So geht es am Beispiel

Zum spitzen Winkel α gehören eine Ankathete von 6 cm und eine Gegenkathete von 2 cm. Bestimme $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}\alpha}$ und α.

\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}\alpha=6/2=3}

\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}\alpha=2/6=1/3}

\mathsf{\alpha=\operatorname{\textsf{arctan}}(1/3)}

\mathsf{\alpha\approx18{,}43^\circ}

Erklärung 03

Werte, Vorzeichen und Periode

\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(\pi/4)=1}

\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(\pi/2)=0}

\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(3\pi/4)=-1}

Es gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(x+\pi)=\operatorname{\textsf{cot}}x}$ . Die Periode ist π. Auf $\mathsf{(0,\pi/2)}$ ist der Cotangens positiv, auf $\mathsf{(\pi/2,\pi)}$ negativ.

Zwischen zwei benachbarten Lücken fällt der Graph von beliebig großen positiven zu beliebig großen negativen Werten. Die Nullstellen sind $\mathsf{x=\pi/2+k\pi}$ .

Cotangensgraph mit getrennten periodischen Ästen, Definitionslücken und Nullstellen.

Erklärung 04

Gleichungen und Seitenlängen

Für $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}x=1}$ ist $\mathsf{\pi/4}$ ein passender Winkel. Wegen der Periode sind alle Lösungen $\mathsf{x=\pi/4+k\pi}$ .

Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann ein bekannter Cotangenswert zur fehlenden Kathete führen. Schreibe das Seitenverhältnis auf, bevor du umstellst.

So geht es am Beispiel

Ein spitzer Winkel ist 30°, die Gegenkathete dazu 4 cm. Bestimme die Ankathete.

\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}30^\circ=\sqrt3}

\mathsf{\sqrt3=\frac{a}{4\,\mathsf{cm}}}

\mathsf{a=4\sqrt3\,\mathsf{cm}}

\mathsf{a\approx6{,}93\,\mathsf{cm}}

Erklärung 05

Ableitung und klare Abgrenzung

Im Bogenmaß ergibt die Quotientenregel:

\mathsf{\frac{d}{dx}\operatorname{\textsf{cot}}x=\frac{-\operatorname{\textsf{sin}}^2x-\operatorname{\textsf{cos}}^2x}{\operatorname{\textsf{sin}}^2x}=-\frac1{\operatorname{\textsf{sin}}^2x}}

Die Ableitung ist an jeder erlaubten Stelle negativ. Der Graph fällt auf jedem einzelnen Intervall zwischen zwei Lücken, nicht als durchgehender Graph über die Lücken hinweg.

Der Arcustangens macht eine eingeschränkte Tangenszuordnung rückgängig und liefert einen Hauptwinkel. Der Cotangens bildet dagegen einen Quotienten aus zwei Winkelfunktionen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Cotangens · EinstiegBerechne $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(\pi/4)}$ aus Sinus und Kosinus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}(\pi/4)=\sqrt2/2}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{sin}}(\pi/4)=\sqrt2/2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Quotient gleicher positiver Zahlen ist 1.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis1.
02
Aufgabe 2Cotangens · EinstiegBerechne $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(\pi/2)}$ und erkläre, weshalb cos/sin hier besser ist als der Kehrwert des Tangens.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}(\pi/2)=0}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{sin}}(\pi/2)=1}$
  $\mathsf{0/1=0}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisCotangens ist 0; Tangens ist an dieser Stelle nicht definiert.
03
Aufgabe 3Cotangens · StandardIst $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}\pi}$ definiert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{sin}}\pi=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner der Definition wird 0.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein. π ist eine Definitionslücke.
04
Aufgabe 4Cotangens · StandardBerechne $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(5\pi/4)}$ mithilfe der Periode.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5\pi/4=\pi/4+\pi}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(5\pi/4)=\operatorname{\textsf{cot}}(\pi/4)}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis1.
05
Aufgabe 5Cotangens · StandardBestimme das Vorzeichen von $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}(2\pi/3)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Kosinus ist im zweiten Quadranten negativ.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Sinus ist dort positiv.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDer Cotangens ist negativ.
06
Aufgabe 6Cotangens · StandardLöse $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}x=0}$ für alle erlaubten reellen x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Zähler cos x muss 0 sein.
  $\mathsf{x=\pi/2+k\pi}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Dort ist sin x jeweils ±1 und damit nicht 0.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x=\pi/2+k\pi}$ , $\mathsf{k\in\mathbb Z}$ .
07
Aufgabe 7Cotangens · StandardLöse $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}x=-1}$ im Intervall $\mathsf{(0,2\pi)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein passender Winkel ist $\mathsf{3\pi/4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Addition einer Periode liefert $\mathsf{7\pi/4}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{3\pi/4}$ und $\mathsf{7\pi/4}$ .
08
Aufgabe 8Cotangens · VertiefungIm rechtwinkligen Dreieck sind zum spitzen Winkel α Ankathete 8 cm und Gegenkathete 5 cm bekannt. Bestimme Cotangenswert und Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}\alpha=8/5=1{,}6}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}\alpha=5/8}$
  $\mathsf{\alpha=\operatorname{\textsf{arctan}}(5/8)}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisCotangenswert 1,6; Winkel etwa 32,01°.
09
Aufgabe 9Cotangens · VertiefungEin spitzer Winkel beträgt 45°, seine Gegenkathete 7 cm. Berechne die Ankathete.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{cot}}45^\circ=1}$
  $\mathsf{1=a/(7\,\mathsf{cm})}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{a=7\,\mathsf{cm}}$ .
10
Aufgabe 10Cotangens · VertiefungBestimme die Ableitung des Cotangens bei $\mathsf{x=\pi/2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-1/\operatorname{\textsf{sin}}^2x}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{sin}}(\pi/2)=1}$
  $\mathsf{f^{\prime}(\pi/2)=-1}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Steigung ist −1 im Bogenmaß.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Arcustangens als Umkehrfunktion und Cotangens als Quotient.
Ich beachte Winkelmaß, Hauptbereich und Definitionslücken.
Ich ergänze bei Gleichungen alle zulässigen periodischen Lösungen.

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