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Mittelwerte und Lage · Erklären & üben

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel verbindet Summe und Anzahl. Hier nutzt du diese Beziehung rückwärts, rechnest mit Häufigkeiten und führst ungleich große Gruppen korrekt zusammen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Summe aus dem Mittelwert rekonstruieren

Die Summe aller Werte ist gleich Mittelwert mal Datenumfang. Damit kannst du einen fehlenden Wert bestimmen, wenn der Mittelwert und die übrigen Werte bekannt sind.

Der Mittelwert muss zwischen Minimum und Maximum liegen. Einzelne große oder kleine Werte beeinflussen ihn; Median und Modus beschreiben andere Aspekte der Lage.

  1. Bestimme die notwendige Gesamtsumme.

  2. Ziehe die Summe der bekannten Werte ab.

∑i=1nxi=nxˉ\mathsf{\sum_{i=1}^n x_i=n\bar x}

So geht es am Beispiel

Vier Werte haben Mittelwert 6. Drei lauten 3,5 und 8. Bestimme den vierten.

S=4⋅6=24\mathsf{S=4\cdot6=24}
x=24−(3+5+8)=8\mathsf{x=24-(3+5+8)=8}

Ergebnis

Der fehlende Wert ist 8.

Erklärung 02

Absolute und relative Häufigkeiten

Bei einer Häufigkeitstabelle wird jeder Wert mit seiner absoluten Häufigkeit multipliziert. Teile die Summe dieser Beiträge durch die Summe aller Häufigkeiten.

Mit relativen Häufigkeiten wird jeder Wert direkt mit seinem Anteil gewichtet. Die Anteile müssen zusammen 1 ergeben. Das Diagramm zeigt dieselbe Häufigkeitsinformation wie eine Tabelle.

  1. Lies Werte und Häufigkeiten getrennt ab.

  2. Multipliziere Werte mit ihren Häufigkeiten.

  3. Normiere durch die Gesamtzahl, wenn absolute Häufigkeiten gegeben sind.

xˉ=∑iHixi∑iHi=∑ihixi\mathsf{\bar x=\frac{\sum_i H_i x_i}{\sum_i H_i}=\sum_i h_i x_i}

Numerisch proportionale Wertachse1,2,4; Häufigkeiten2,3,1; gewichtete Summe12 bei6 Beobachtungen.

So geht es am Beispiel

Die Werte 1,2,4 haben absolute Häufigkeiten 2,3,1. Berechne den Mittelwert.

n=2+3+1=6\mathsf{n=2+3+1=6}
xˉ=2⋅1+3⋅2+1⋅46=2\mathsf{\bar x=\frac{2\cdot1+3\cdot2+1\cdot4}{6}=2}

Ergebnis

Mittelwert 2.

So geht es am Beispiel

Die Werte 2 und 6 haben relative Häufigkeiten 0,75 und 0,25. Berechne den Mittelwert.

xˉ=0,75⋅2+0,25⋅6=3\mathsf{\bar x=0{,}75\cdot2+0{,}25\cdot6=3}

Ergebnis

Mittelwert 3.

Erklärung 03

Gewichte und Gruppenmittel

Gewichte sind nichtnegative Zahlen mit positiver Summe. Ein doppelt so großes Gewicht lässt einen Wert doppelt so stark in die Summe eingehen.

Gruppenmittelwerte müssen mit den Gruppengrößen gewichtet werden. Ein ungewichteter Mittelwert der Gruppenmittel stimmt nur bei gleich großen Gruppen allgemein mit dem Gesamtmittel überein.

  1. Notiere die Bedeutung jedes Gewichts.

  2. Multipliziere, addiere und teile durch die Gewichtssumme.

xˉw=∑iwixi∑iwi,wi≥0,∑iwi>0\mathsf{\bar x_w=\frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i},\qquad w_i\geq0,\quad\sum_iw_i>0}

Gruppenmittelwerte werden mit Gruppengrößen gewichtet; nicht ungewichtet gemittelt.

So geht es am Beispiel

Zwei Personen haben im Mittel 4 Punkte, drei weitere im Mittel 8 Punkte. Berechne den Gesamtmittelwert.

xˉ=2⋅4+3⋅82+3=325=6,4\mathsf{\bar x=\frac{2\cdot4+3\cdot8}{2+3}=\frac{32}{5}=6{,}4}

Ergebnis

Gesamtmittelwert 6,4 Punkte.

Erklärung 04

Andere Lagebegriffe und zeitliche Fenster

Der Median ist die Mitte der sortierten Daten; der Modus ist ein häufigster Wert. In Statistik Mathe werden beide mit geraden und ungeraden Datenumfängen verglichen.

Ein gleitender Mittelwert mittelt nicht einmal über alle Daten, sondern wiederholt über festgelegte Zeitfenster. Fensterlänge, Zuordnung und Ränder behandelt Gleitender Durchschnitt. Die einfache Division einer Summe durch eine Anzahl wird in Durchschnitt berechnen geübt.

  1. Wähle die Kennzahl nach der Frage, nicht nach dem Namen „Mitte“.

Mittelwert, Median und Modus können verschieden sein.

So geht es am Beispiel

Vergleiche die Daten 1,1,2,8: Welcher Wert ist Modus und wie groß ist der Mittelwert?

1 ist am häufigsten.

xˉ=1+1+2+84=3\mathsf{\bar x=\frac{1+1+2+8}{4}=3}

Ergebnis

Modus 1, Mittelwert 3; Median 1,5.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Arithmetisches Mittel · EinstiegFünf Werte haben Mittelwert 7. Berechne ihre Summe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=5⋅7=35\mathsf{S=5\cdot7=35}

    Ergebnis

    1. Summe35\mathsf{35}
  2. Aufgabe 2Arithmetisches Mittel · EinstiegVier Werte haben Mittelwert 5. Drei lauten 2,4,7. Bestimme den fehlenden Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=4⋅5=20\mathsf{S=4\cdot5=20}
      x=20−(2+4+7)=7\mathsf{x=20-(2+4+7)=7}

    Ergebnis

    1. Fehlender Wert7\mathsf{7}
  3. Aufgabe 3Arithmetisches Mittel · AnwendenErgänze in der Tabelle zu den Werten 2,4,6 mit Häufigkeiten 1,2,3 die Summenbeiträge. Berechne anschließend den Mittelwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Beiträge ergänzen

    Werte2,4,6 und Häufigkeiten1,2,3 gegeben; nur gewichtete Beiträge fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Beiträge sind 2,8 und 18; die Häufigkeiten ergeben 6.

      xˉ=2+8+186=143\mathsf{\bar x=\frac{2+8+18}{6}=\frac{14}{3}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Beiträge ergänzen2,8,18 in der gegebenen Reihenfolge.
    2. Mittelwert143\mathsf{\frac{14}{3}}
  4. Aufgabe 4Arithmetisches Mittel · AnwendenDie Werte 10 und 20 haben relative Häufigkeiten 0,6 und 0,4. Berechne den Mittelwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      xˉ=0,6⋅10+0,4⋅20=14\mathsf{\bar x=0{,}6\cdot10+0{,}4\cdot20=14}

    Ergebnis

    1. Mittelwert14\mathsf{14}
  5. Aufgabe 5Arithmetisches Mittel · TransferEin Bewertungsschema gewichtet die Punktzahl 6 doppelt und die Punktzahl 9 einfach. Berechne das gewichtete Mittel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      xˉw=2⋅6+1⋅93=7\mathsf{\bar x_w=\frac{2\cdot6+1\cdot9}{3}=7}

    Ergebnis

    1. Gewichtetes Mittel7\mathsf{7}
  6. Aufgabe 6Arithmetisches Mittel · TransferEine Gruppe mit 4 Personen erreicht im Mittel 5 Punkte, eine Gruppe mit 6 Personen 10 Punkte. Bestimme den Gesamtmittelwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      xˉ=4⋅5+6⋅1010=8\mathsf{\bar x=\frac{4\cdot5+6\cdot10}{10}=8}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die größere Gruppe erhält entsprechend mehr Gewicht.

    Ergebnis

    1. Gesamtmittelwert in Punkten8\mathsf{8}
  7. Aufgabe 7Arithmetisches Mittel · TransferLies die Häufigkeiten aus dem Diagramm ab: Werte 1,2,4. Berechne Datenumfang und Mittelwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Numerisch proportionale Wertachse1,2,4; Häufigkeiten2,3,1; gewichtete Summe12 bei6 Beobachtungen.
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Häufigkeiten sind 2,3,1.

      n=6\mathsf{n=6}
      xˉ=2+6+46=2\mathsf{\bar x=\frac{2+6+4}{6}=2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Datenumfang6\mathsf{6}
    2. Mittelwert2\mathsf{2}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich rekonstruiere Summen und fehlende Werte.
  • Ich berechne Mittelwerte aus absoluten und relativen Häufigkeiten und mit unterschiedlichen Gewichten.

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