Binomialverteilung · Erklären & üben

Bernoulli Formel

Die Bernoulli-Formel verbindet zwei Ideen: die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfads und die Anzahl aller Pfade mit derselben Trefferzahl. Du leitest sie aus einer kleinen Kette ab.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Entlang eines Pfads multiplizieren

In einer Bernoulli-Kette gibt es bei jedem Versuch Treffer Eoder Nichttreffer N. Die Versuche sind unabhängig und die Trefferwahrscheinlichkeit pbleibt gleich. Deshalb stehen an jedem entsprechenden Ast dieselben Faktoren. Für einen vollständigen Pfad multiplizierst du die Astwahrscheinlichkeiten. Unterschiedliche vollständige Pfade schließen sich gegenseitig aus; ihre Wahrscheinlichkeiten werden addiert.

Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.
Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

$\mathsf{P(EN)=p(1-p)}$

Zweistufige Bernoulli-Kette mit p=1/3und Gegenwahrscheinlichkeit2/3.

So geht es am Beispiel

Zwei unabhängige Versuche haben p=1/3. Berechne genau einen Treffer über die Pfade ENund NE.

\mathsf{P(EN)=\frac13\cdot\frac23=\frac29}

\mathsf{P(NE)=\frac23\cdot\frac13=\frac29}

\mathsf{P(X=1)=\frac29+\frac29=\frac49}

Erklärung 02

Gleichartige Pfade zusammenfassen

Jeder Pfad mit kTreffern hat kTrefferfaktoren und n−kNichttrefferfaktoren. Der Binomialkoeffizient zählt, an welchen Positionen die kTreffer stehen können. Die Formel setzt eine feste Versuchszahl, Unabhängigkeit und konstantes pvoraus. Sie wird hier für 0<p<1 angewendet; für p=0 oder 1 ist die Trefferzahl deterministisch.

Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.
Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

$\mathsf{P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}}$

Einzelwahrscheinlichkeiten für B(3,1/4).

So geht es am Beispiel

Drei unabhängige Versuche haben p=1/4. Wie wahrscheinlich ist genau ein Treffer?

\mathsf{P(X=1)=\binom31\frac14\left(\frac34\right)^2=\frac{27}{64}}

Erklärung 03

Trefferzahl und Zielwahrscheinlichkeit unterscheiden

Höchstens kTreffer verlangt die Summe von 0 bis k. Mindestens kTreffer ist das Gegenereignis zu höchstens k−1. Eine Mindestwahrscheinlichkeit wie 95 Prozent ist dagegen eine Schranke für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, nicht eine Trefferzahl. Bei gesuchtem minimalem nprüfst du die erste passende ganze Zahl und ihren Vorgänger. Weitere eigene Aufgaben stehen im Thema Binomialverteilung Übung.

Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.
Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

$\mathsf{P(X\le k)=\sum_{j=0}^kP(X=j),\qquad P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)}$

So geht es am Beispiel

Wie viele unabhängige Versuche mit p=0,5 braucht man mindestens, um mit mindestens 95 Prozent Wahrscheinlichkeit wenigstens einen Treffer zu erzielen?

\mathsf{1-0{,}5^4=0{,}9375<0{,}95}

\mathsf{1-0{,}5^5=0{,}96875\ge0{,}95}

Mit wachsender Versuchszahl steigt diese Wahrscheinlichkeit. Der erste passende Wert ist daher 5.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Bernoulli Formel · EinstiegZwei unabhängige Versuche haben p=1/3. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Pfads EN.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Pfadwahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P(EN)=\frac13\cdot\frac23=\frac29}$
Ergebnis
1. Pfadwahrscheinlichkeit $\mathsf{\frac29}$
02
Aufgabe 2Bernoulli Formel · EinstiegBerechne im selben Modell genau einen Treffer. Nenne die beiden passenden Pfade.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Passende Pfade
Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Passend sind ENund NE.
  $\mathsf{P(X=1)=\frac29+\frac29=\frac49}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Passende PfadeEN und NE
2. Wahrscheinlichkeit $\mathsf{\frac49}$
03
Aufgabe 3Bernoulli Formel · StandardBerechne genau einen Treffer bei drei unabhängigen Versuchen mit p=1/4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P(X=1)=3\cdot\frac14\cdot\frac9{16}=\frac{27}{64}}$
Ergebnis
1. Wahrscheinlichkeit $\mathsf{\frac{27}{64}}$
04
Aufgabe 4Bernoulli Formel · StandardBerechne bei B(3,1/4)höchstens einen Treffer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P(X=0)=\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{64}}$
  $\mathsf{P(X\le1)=\frac{27}{64}+\frac{27}{64}=\frac{27}{32}}$
Ergebnis
1. Wahrscheinlichkeit $\mathsf{\frac{27}{32}}$
05
Aufgabe 5Bernoulli Formel · TransferWie viele unabhängige Versuche mit p=0,5 sind mindestens nötig, damit die Wahrscheinlichkeit für wenigstens einen Treffer mindestens 95 Prozent beträgt? Belege die Minimalität.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Minimale Versuchszahl
Minimalitätsbegründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P_{n=4}=0{,}9375<0{,}95}$
  $\mathsf{P_{n=5}=0{,}96875\ge0{,}95}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Wahrscheinlichkeit wächst mit n;4 reicht nicht und 5 reicht.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Minimale Versuchszahl $\mathsf{5}$
2. MinimalitätsbegründungVier Versuche unterschreiten 95 Prozent, fünf erreichen die Schranke.
06
Aufgabe 6Bernoulli Formel · TransferVervollständige den gegebenen Baum für zwei unabhängige Versuche mit p=1/2. Beschrifte jeden Ast mit seiner Wahrscheinlichkeit. Eund Nsind bereits vorgegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beschrifteter Baum
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Beschrifteter Baum
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jeder E-Ast hat Wahrscheinlichkeit 1/2, jeder N-Ast ebenfalls 1/2. Jeder vollständige Pfad hat damit Wahrscheinlichkeit 1/4.
Ergebnis
1. Beschrifteter BaumAlle sechs Äste tragen 1/2.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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