Binomialverteilung · Erklären & üben

Binomialkoeffizient einfach erklärt

Du verstehst den Binomialkoeffizienten zuerst durch vollständiges Auflisten kleiner Auswahlen. So wird deutlich, warum Reihenfolge und Wiederholung die Zählaufgabe verändern.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Team zweimal zu nennen zählt nicht doppelt

Bei einer ungeordneten Auswahl gehören ABund BAzum selben Team. Jede Person darf höchstens einmal gewählt werden. Bei zwei Rollen wie Vorsitz und Vertretung wäre die Reihenfolge dagegen wichtig: Dann wären ABund BAverschiedene Ergebnisse. Die Bedingungen „ohne Wiederholung“ und „ohne Reihenfolge“ gehören zur Auswahlzahl.

Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.
Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

$\mathsf{\binom nk=\textsf{Anzahl ungeordneter k-Auswahlen aus n verschiedenen Objekten}}$

Sechs vollständige ungeordnete Zweierauswahlen aus A,B,C,D.

So geht es am Beispiel

Liste alle Zweierteams aus A,B,C,Dauf.

Die vollständige Liste lautet AB,AC,AD,BC,BD,CD. Keine Auswahl enthält dieselbe Person zweimal, und keine wird umgedreht erneut gezählt.

Erklärung 02

Die Anzahl kurz berechnen

Die Schreibweise „nüber k“ nennt zuerst die Zahl verfügbarer Objekte, dann die Größe der Auswahl. Für ein Zweierteam kannst du zunächst geordnet zählen und anschließend durch 2 teilen. Bei größeren Auswahlen wird durch die Zahl der internen Anordnungen geteilt. Das formale Modul Binomialkoeffizient vertieft die Fakultätsformel. Eine Rechnerfunktion nCrberechnet dieselbe Auswahlzahl; konkrete Menüs sind geräteabhängig.

Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.
Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

$\mathsf{\binom n2=\frac{n(n-1)}2}$

So geht es am Beispiel

Wie viele Dreierteams gibt es aus A,B,C,D?

Jedes Dreierteam lässt genau eine Person weg: BCD,ACD,ABD,ABC.

Erklärung 03

Gegenwahl und Pascal entdecken

Eine Auswahl und ihre nicht ausgewählten Objekte ergänzen sich. Daher ist beispielsweise die Zahl der Dreierauswahlen aus 5 gleich der Zahl der Zweierauswahlen. Es gibt genau eine leere Auswahl und genau eine Auswahl aller Objekte. Im Pascalschen Dreieck entstehen innere Einträge durch Addition der beiden schräg darüberliegenden. Diese Zählidee ist ein Anschluss an die Stochastik; sie allein legt noch keine Wahrscheinlichkeiten fest.

Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.
Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

$\mathsf{\binom nk=\binom n{n-k},\qquad\binom n0=\binom nn=1}$

Pascalsches Dreieck bis n=4als Muster kleiner Auswahlzahlen.

So geht es am Beispiel

Lies die Anzahl der Zweierauswahlen aus 4 in der Zeile n=4 ab.

Die Zeile lautet 1,4,6,4,1. Die Position k=2 hat den Eintrag 6; außen beginnen die Positionen mit k=0.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Binomialkoeffizient einfach erklärt · EinstiegListe alle Zweierteams aus A,B,Cund gib ihre Anzahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teams
Anzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Teams sind AB,AC,BC.
Ergebnisse & Teilantworten
1. TeamsAB,AC,BC
2. Anzahl $\mathsf{3}$
02
Aufgabe 2Binomialkoeffizient einfach erklärt · EinstiegTrage in die sechs vorbereiteten Felder alle ungeordneten Zweierteams aus A,B,C,Dein. Jedes Team soll genau einmal vorkommen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vollständige Auswahlliste
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Vollständige Auswahlliste
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Systematisch: zuerst alle mitA, dann die noch fehlenden mitB, zuletzt CD. So entstehen AB,AC,AD,BC,BD,CD.
Ergebnis
1. Vollständige AuswahllisteAB,AC,AD,BC,BD,CD, ohne Dopplungen.
03
Aufgabe 3Binomialkoeffizient einfach erklärt · StandardWie viele Dreierteams gibt es aus 5 Personen? Nutze die Auswahl der beiden nicht gewählten Personen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl Teams
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\binom53=\binom52=\frac{5\cdot4}{2}=10}$
Ergebnis
1. Anzahl Teams $\mathsf{10}$
04
Aufgabe 4Binomialkoeffizient einfach erklärt · StandardAus 4 Personen werden ein Vorsitz und eine Vertretung gewählt; niemand übernimmt beide Rollen. Vergleiche die Zahl mit ungeordneten Zweierteams.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Besetzungen mit Rollen
Ungeordnete Teams
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4\cdot3=12}$
  $\mathsf{\binom42=6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Rollen unterscheiden die Reihenfolge. Jede ungeordnete Zweierauswahl kann auf zwei Arten auf die Rollen verteilt werden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Besetzungen mit Rollen $\mathsf{12}$
2. Ungeordnete Teams $\mathsf{6}$
05
Aufgabe 5Binomialkoeffizient einfach erklärt · TransferWie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Objekten keines beziehungsweise alle auszuwählen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Keines auswählen
Alle auswählen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die leere Menge ist genau eine Auswahl; die ganze Menge ebenfalls.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Keines auswählen $\mathsf{1}$
2. Alle auswählen $\mathsf{1}$
06
Aufgabe 6Binomialkoeffizient einfach erklärt · TransferIn zwei benachbarten Positionen einer Pascalzeile stehen 4 und 6. Welcher Eintrag steht in der nächsten Zeile zwischen ihnen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neuer Eintrag
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4+6=10}$
Ergebnis
1. Neuer Eintrag $\mathsf{10}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

AT Academy · Version 2026-10-21