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Wachstumsmodelle · Erklären & üben

Beschränktes Wachstum

Beim beschränkten Modell richtet sich die Änderung nach dem verbleibenden Abstand zu einer Schranke. Je kleiner dieser Abstand, desto kleiner die Änderung. Diskrete Schritte und kontinuierliche Zeit verwenden verschiedene Parameter.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Diskret: Ein Anteil des Restabstands

Die Schranke heißt S, der Anfangswert B₀. Pro Schritt wird ein Anteil k des Abstands zur Schranke ergänzt. Für 0 < k < 1 wird die Schranke nicht übersprungen. Ist B₀ kleiner als S, steigt die Folge; ist B₀ größer als S, fällt sie. Bei B₀ gleich S bleibt sie konstant. k ist ein dimensionsloser Anteil pro festgelegtem Schritt.

  1. Berechne den Abstand S minus aktuellen Bestand.

  2. Multipliziere den Abstand mit k.

  3. Addiere diese Änderung zum aktuellen Bestand.

Bn+1=Bn+k(S−Bn)\mathsf{B_{n+1}=B_n+k(S-B_n)} mit 0<k<1\mathsf{0<k<1}

Diskrete Werte mit waagerechter Achse Schritt n von 0 bis 5 und senkrechter Achse Bestand B in Einheiten von 0 bis 120. Die gestrichelte Schranke liegt bei 100.

So geht es am Beispiel

Ein diskretes Modell hat S = 100, B₀ = 20 und k = 0,5 je Schritt. Berechne B₁ und B₂.

Erster Abstand: 100−20=80\mathsf{100-20=80}

Erste Änderung: 0,5⋅80=40\mathsf{0{,}5\cdot80=40}

Erster Bestand: 20+40=60\mathsf{20+40=60}

Zweiter Abstand: 100−60=40\mathsf{100-60=40}

Zweite Änderung: 0,5⋅40=20\mathsf{0{,}5\cdot40=20}

Zweiter Bestand: 60+20=80\mathsf{60+20=80}

Ergebnis

Die Folge beginnt mit 20, 60 und 80 Einheiten.

Erklärung 02

Explizite Formel und Parameter

Der Restabstand wird pro Schritt mit 1 minus k multipliziert. Deshalb lässt sich die Folge direkt aus dem Anfangsabstand berechnen. Kennst du S, B₀ und B₁ und ist B₀ ungleich S, kannst du k aus Änderung durch Anfangsabstand bestimmen. Bei B₀ gleich S lässt sich k aus unveränderten Beständen nicht eindeutig zurückrechnen.

  1. Bestimme den Anfangsabstand.

  2. Potenziere den verbleibenden Abstandsanteil.

  3. Ziehe den Restabstand von S ab.

Bn=S−(S−B0)(1−k)n\mathsf{B_n=S-(S-B_0)(1-k)^n}

So geht es am Beispiel

Berechne B₃ für S = 100, B₀ = 20 und k = 0,5 direkt.

Anfangsabstand: 100−20=80\mathsf{100-20=80}

Restanteil nach drei Schritten: 0,53=0,125\mathsf{0{,}5^3=0{,}125}

Restabstand: 80⋅0,125=10\mathsf{80\cdot0{,}125=10}

Bestand: 100−10=90\mathsf{100-10=90}

Ergebnis

B₃ beträgt 90 Einheiten.

So geht es am Beispiel

Bestimme k aus S = 80, B₀ = 20 und B₁ = 35.

Änderung: 35−20=15\mathsf{35-20=15}

Anfangsabstand: 80−20=60\mathsf{80-20=60}

Anteil: 15:60=0,25\mathsf{15:60=0{,}25}

Ergebnis

k ist 0,25 pro vorgegebenem Schritt.

Erklärung 03

Annäherung von oben

Liegt der Anfangswert oberhalb von S, ist S minus B negativ. Die Folge nimmt daher ab. Der Betrag des Abstands wird weiterhin pro Schritt mit 1 minus k multipliziert. Für k zwischen 0 und 1 bleibt sie oberhalb der Schranke, solange der Anfangswert dort lag.

  1. Prüfe das Vorzeichen von S minus B.

  2. Berechne die negative Änderung.

  3. Behalte dieselbe Schranke und Schrittweite bei.

Beschränkte Abnahme nähert sich derselben Schranke von oben.

Diskrete Werte mit waagerechter Achse Schritt n von 0 bis 8 und senkrechter Achse Bestand B in Einheiten von 0 bis 120. Die gestrichelte Schranke liegt bei 20.

So geht es am Beispiel

Ein diskretes Modell hat S = 20, B₀ = 100 und k = 0,25. Berechne B₁.

Abstand mit Vorzeichen: 20−100=−80\mathsf{20-100=-80}

Änderung: 0,25⋅(−80)=−20\mathsf{0{,}25\cdot(-80)=-20}

Neuer Bestand: 100−20=80\mathsf{100-20=80}

Ergebnis

B₁ beträgt 80 Einheiten; der Wert liegt weiterhin über 20.

Erklärung 04

Kontinuierliche Zeit: ein anderer Parameter

Für kontinuierliche Zeit verwenden wir den positiven Parameter λ mit der Einheit pro Zeiteinheit. Er ist nicht derselbe Zahlenparameter wie der diskrete Anteil k. Die Funktion nähert sich S für wachsende Zeit. Ihre momentane Änderungsrate ist λ mal S minus B(t); sie ist eine Rate, kein endlicher Schrittzuwachs. Bei einem Zeitschritt Δt gehört zum kontinuierlichen Modell der diskrete Anteil 1 minus e hoch minus λΔt.

  1. Benenne Zeiteinheit und λ mit passender Einheit.

  2. Setze die Zeit in die kontinuierliche Formel ein.

  3. Kennzeichne gerundete Werte als Näherung.

B(t)=S−(S−B0)e−λt\mathsf{B(t)=S-(S-B_0)e^{-\lambda t}} für λ>0\mathsf{\lambda>0}, t≥0\mathsf{t\ge0} v(t)=λ(S−B(t))\mathsf{v(t)=\lambda(S-B(t))}

Kontinuierlicher Graph mit waagerechter Achse Zeit t in h von 0 bis 5 und senkrechter Achse Bestand B in Einheiten von 0 bis 120. Die gestrichelte Schranke liegt bei 100.

So geht es am Beispiel

Kontinuierliches Modell: S = 100 Einheiten, B₀ = 20 Einheiten und λ = 1 pro Stunde. Berechne B(1 h) auf zwei Nachkommastellen.

Anfangsabstand: 100−20=80\mathsf{100-20=80}

Restfaktor: e−1≈0,367879\mathsf{e^{-1}\approx0{,}367879}

Restabstand: 80e−1≈29,430355\mathsf{80e^{-1}\approx29{,}430355}

Bestand: 100−80e−1≈70,569645\mathsf{100-80e^{-1}\approx70{,}569645}

Ergebnis

Nach einer Stunde sind es ungefähr 70,57 Einheiten.

So geht es am Beispiel

Bestimme beim selben kontinuierlichen Modell die momentane Änderungsrate bei t = 0.

Anfangsabstand: 100−20=80\mathsf{100-20=80} Einheiten

Rate: 1⋅80=80\mathsf{1\cdot80=80} Einheiten pro Stunde

Ergebnis

Die Anfangsrate beträgt 80 Einheiten pro Stunde. Das bedeutet nicht, dass in der ersten Stunde 80 Einheiten hinzukommen.

Erklärung 05

Schranke, Graph und Modellgrenze

Im Graphen ist S eine waagerechte Asymptote. Bei verschiedenem Anfangswert wird sie in den hier genannten Modellen zu keiner endlichen Zeit beziehungsweise keinem endlichen Schritt exakt erreicht. Abgelesene Werte sind Näherungen. Ein endlicher Datenausschnitt kann eine Schranke nur unter einer Modellannahme stützen.

Weiterlernen: „Logistisches Wachstum“ verwendet ebenfalls eine Schranke, aber einen anderen Verlauf der Änderungsrate.

  1. Lies Anfangswert und eingezeichnete Schranke getrennt ab.

  2. Beachte Punkte für diskrete und Linien für kontinuierliche Modelle.

  3. Verwechsle Annäherung nicht mit exaktem Erreichen.

Ein Modell benötigt mehr als eine optisch flach werdende Kurve.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Beschränktes Wachstum · BasisDiskretes Modell: S = 60, B₀ = 20, k = 0,25. Berechne B₁.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Abstand: 60−20=40\mathsf{60-20=40}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Änderung: 0,25⋅40=10\mathsf{0{,}25\cdot40=10}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Bestand: 20+10=30\mathsf{20+10=30}

    Ergebnis

    1. B₁30
  2. Aufgabe 2Beschränktes Wachstum · BasisSetze das vorige Modell mit B₁ = 30 um einen Schritt fort.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Abstand: 60−30=30\mathsf{60-30=30}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Änderung: 0,25⋅30=7,5\mathsf{0{,}25\cdot30=7{,}5}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Bestand: 30+7,5=37,5\mathsf{30+7{,}5=37{,}5}

    Ergebnis

    1. B₂37,5
  3. Aufgabe 3Beschränktes Wachstum · BasisBestimme k für S = 100, B₀ = 40 und B₁ = 55.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Änderung: 55−40=15\mathsf{55-40=15}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Anfangsabstand: 100−40=60\mathsf{100-40=60}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Anteil: 15:60=0,25\mathsf{15:60=0{,}25}

    Ergebnis

    1. k je Schritt0,25
  4. Aufgabe 4Beschränktes Wachstum · ÜbungBerechne B₄ direkt für S = 80, B₀ = 16 und k = 0,5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Anfangsabstand: 80−16=64\mathsf{80-16=64}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Restfaktor: 0,54=0,0625\mathsf{0{,}5^4=0{,}0625}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Restabstand: 64⋅0,0625=4\mathsf{64\cdot0{,}0625=4}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Bestand: 80−4=76\mathsf{80-4=76}

    Ergebnis

    1. B₄76
  5. Aufgabe 5Beschränktes Wachstum · ÜbungDiskretes Modell: S = 30, B₀ = 90 und k = 0,5. Berechne B₁ und benenne die Annäherungsrichtung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Abstand: 30−90=−60\mathsf{30-90=-60}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Änderung: 0,5⋅(−60)=−30\mathsf{0{,}5\cdot(-60)=-30}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Bestand: 90−30=60\mathsf{90-30=60}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. B₁60
    2. RichtungAbnahme zur Schranke von oben
  6. Aufgabe 6Beschränktes Wachstum · ÜbungIm kontinuierlichen Graphen von B(t)=100−80e−t\mathsf{B(t)=100-80e^{-t}} ist t in Stunden. Lies Anfangswert und Schranke ab. Bestimme danach die momentane Anfangsrate für λ = 1 pro Stunde.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Kontinuierlicher Graph mit waagerechter Achse Zeit t in h von 0 bis 5 und senkrechter Achse Bestand B in Einheiten von 0 bis 120. Die gestrichelte Schranke liegt bei 100.
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Anfangswert: 100−80=20\mathsf{100-80=20}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Schranke: S=100\mathsf{S=100}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Anfangsrate: 1⋅(100−20)=80\mathsf{1\cdot(100-20)=80} Einheiten pro Stunde

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Anfangswert20 Einheiten
    2. Schranke100 Einheiten
    3. Momentane Anfangsrate80 Einheiten/h
  7. Aufgabe 7Beschränktes Wachstum · TransferSind k = 0,5 je Stundenschritt und λ = 0,5 pro Stunde automatisch dasselbe beschränkte Modell? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der kontinuierliche Restfaktor über eine Stunde ist e hoch minus 0,5, nicht 1 minus 0,5.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der passende diskrete Anteil wäre 1−e−0,5≈0,3935\mathsf{1-e^{-0{,}5}\approx0{,}3935}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UrteilNein.
    2. Begründungk ist ein Anteil je Schritt; λ steuert den exponentiellen Restfaktor der kontinuierlichen Funktion. Gleiche Zahlenwerte erzeugen unterschiedliche Änderungen.
  8. Aufgabe 8Beschränktes Wachstum · TransferErreicht die diskrete Folge mit S = 100, B₀ = 20 und k = 0,5 die Schranke nach endlich vielen Schritten exakt? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Restabstand lautet 80⋅0,5n\mathsf{80\cdot0{,}5^n}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Für jedes endliche nichtnegative n bleibt dieser Ausdruck positiv.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UrteilNein.
    2. BegründungDer positive Restabstand wird immer kleiner, ist aber nach endlich vielen Schritten nicht null.
  9. Aufgabe 9Beschränktes Wachstum · TransferEin Modell beginnt bereits bei B₀ = S = 50. Kann k aus der konstanten Folge 50, 50, 50 eindeutig bestimmt werden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Abstand ist 50−50=0\mathsf{50-50=0}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Jedes zulässige k multipliziert diesen Abstand null und führt zum selben nächsten Wert.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UrteilNein.
    2. BegründungAlle zulässigen Anteile k liefern bei Anfangswert gleich Schranke dieselbe konstante Folge.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich berechne diskrete Änderungen aus dem Restabstand.
  • Ich bestimme k aus passenden Werten.
  • Ich unterscheide Annäherung von unten und oben.
  • Ich trenne diskreten Anteil k von kontinuierlicher Rate λ.

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