Wachstumsmodelle · Erklären & üben

Lineares Wachstum

Lineares Wachstum bedeutet: In gleich langen Zeitabschnitten ändert sich eine Größe immer um denselben Betrag. Für eine kontinuierliche Beschreibung entsteht im gültigen Zeitbereich eine Gerade.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Anfangswert und konstante Rate

Die Funktion B(t) gleich B₀ plus mt hat den Anfangswert B₀. Die Änderungsrate m ist der Zuwachs pro Zeiteinheit und kann positiv, negativ oder null sein. B₀ hat die Einheit des Bestands, m die Einheit Bestand pro Zeit. Eine diskrete Folge Bₙ gleich B₀ plus nd verwendet stattdessen den Zuwachs d je festgelegtem Schritt.

Lege Zeit- und Bestandseinheit fest.
Bestimme den Wert bei Zeit null.
Bestimme die konstante Änderung je Zeiteinheit.

$\mathsf{B(t)=B_0+mt}$

So geht es am Beispiel

Ein Modellbehälter enthält 12 l und erhält gleichmäßig 3 l/min. Stelle die Funktion für die ersten sechs Minuten auf.

Anfangswert: $\mathsf{B_0=12}$ Liter

Rate: $\mathsf{m=3}$ Liter pro Minute

Daher gilt $\mathsf{B(t)=12+3t}$ für $\mathsf{0\le t\le6}$

Erklärung 02

Rate aus zwei Punkten

Die Steigung ist Bestandsänderung geteilt durch Zeitänderung. Wähle zwei unterschiedliche Zeiten. Ein Steigungsdreieck am Graphen stellt diese beiden Differenzen dar. Bei nicht maßstäblichen Achsen darfst du nicht nur den sichtbaren Winkel vergleichen.

Lies beide Zeit- und Bestandswerte ab.
Bilde die Differenzen in derselben Reihenfolge.
Teile Bestandsunterschied durch Zeitunterschied.

$\mathsf{m=\frac{B(t_2)-B(t_1)}{t_2-t_1}}$ für $\mathsf{t_2\ne t_1}$

Kontinuierlicher Graph mit waagerechter Achse Zeit t in min von 0 bis 6 und senkrechter Achse Bestand B in l von 0 bis 36.

So geht es am Beispiel

Eine lineare Funktion hat die Werte 18 l bei 2 min und 30 l bei 6 min. Bestimme ihre Rate.

Bestandsänderung: $\mathsf{30-18=12}$ Liter

Zeitänderung: $\mathsf{6-2=4}$ Minuten

Rate: $\mathsf{12:4=3}$ Liter pro Minute

So geht es am Beispiel

Bestimme zu den Werten aus dem vorigen Beispiel den Anfangswert.

Änderung bis Minute 2: $\mathsf{3\cdot2=6}$ Liter

Anfangswert: $\mathsf{18-6=12}$ Liter

Erklärung 03

Werte und Zeiten berechnen

Für einen gesuchten Bestand setzt du die Zeit ein. Für eine gesuchte Zeit löst du die lineare Gleichung. Bei Rate null bleibt der Bestand konstant: Ein anderer Zielwert wird nicht erreicht; derselbe Zielwert gilt zu allen Zeiten des Modellbereichs.

Prüfe, ob die gesuchte Größe Bestand oder Zeit ist.
Setze ein oder stelle nach t um.
Prüfe den errechneten Wert am Modellbereich.

Ein rechnerisch gefundener Zeitpunkt muss im erlaubten Zeitbereich liegen.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{B(5)}$ für $\mathsf{B(t)=12+3t}$ .

Zuwachs: $\mathsf{3\cdot5=15}$ Liter

Bestand: $\mathsf{12+15=27}$ Liter

So geht es am Beispiel

Wann erreicht B(t) = 12 + 3t den Wert 24 l?

Nötiger Zuwachs: $\mathsf{24-12=12}$ Liter

Zeit: $\mathsf{12:3=4}$ Minuten

Erklärung 04

Abnahme und diskrete Schritte

Bei negativer Rate entsteht eine lineare Abnahme. In einem Sachkontext mit nichtnegativem Bestand endet die Beschreibung spätestens bei null. Werden Mengen nur zu festen Zeitpunkten verändert, zeichne diskrete Punkte statt einer behaupteten kontinuierlichen Entwicklung.

Weiterlernen: „Wachstumsprozesse“ vergleicht lineare, exponentielle und beschränkte Modelle.

Prüfe das Vorzeichen der Rate.
Bestimme eine sachlich sinnvolle Grenze.
Unterscheide diskrete Werte von einer kontinuierlichen Funktion.

Konstante absolute Änderung ist nicht dasselbe wie konstante prozentuale Änderung.

Kontinuierlicher Graph mit waagerechter Achse Zeit t in min von 0 bis 5 und senkrechter Achse Bestand B in l von 0 bis 50.

Diskrete Werte mit waagerechter Achse Schritt n von 0 bis 5 und senkrechter Achse Bestand B in Einheiten von 0 bis 30.

So geht es am Beispiel

Ein Modellbehälter enthält 50 l und wird gleichmäßig mit 10 l/min geleert. Bestimme Funktion und Leerungszeit.

Funktion: $\mathsf{B(t)=50-10t}$

Leerungszeit: $\mathsf{50:10=5}$ Minuten

Der sachliche Bereich ist 0 bis 5 Minuten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lineares Wachstum · BasisEin Bestand startet bei 8 l und wächst gleichmäßig um 2 l/min. Stelle die Funktion für 0 bis 10 min auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Funktion mit Zeitbereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Anfangswert 8 und Rate 2 ergeben $\mathsf{B(t)=8+2t}$
Ergebnis
1. Funktion mit Zeitbereich $\mathsf{B(t)=8+2t}$ , $\mathsf{0\le t\le10}$ ; t in min, B in l
02
Aufgabe 2Lineares Wachstum · BasisBerechne $\mathsf{B(6)}$ für $\mathsf{B(t)=8+2t}$ mit t in min und B in l.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bestand
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2\cdot6=12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{8+12=20}$
Ergebnis
1. Bestand20 l
03
Aufgabe 3Lineares Wachstum · BasisEine lineare Menge beträgt bei 1 h 15 kg und bei 4 h 27 kg. Bestimme die Rate.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rate
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Differenz: $\mathsf{27-15=12}$ Kilogramm
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeit: $\mathsf{4-1=3}$ Stunden
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rate: $\mathsf{12:3=4}$ Kilogramm je Stunde
Ergebnis
1. Rate4 kg/h
04
Aufgabe 4Lineares Wachstum · ÜbungEine lineare Menge hat die Rate 4 kg/h und bei 1 h den Wert 15 kg. Bestimme Anfangswert und Funktion.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anfangswert
Funktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Anfangswert: $\mathsf{15-4\cdot1=11}$ Kilogramm
2. Schritt 2 · Erklärung
  Funktion: $\mathsf{B(t)=11+4t}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anfangswert11 kg
2. Funktion $\mathsf{B(t)=11+4t}$ ; t in h, B in kg
05
Aufgabe 5Lineares Wachstum · ÜbungWann erreicht B(t) = 8 + 2t den Wert 24 l? t wird in Minuten gemessen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nötiger Zuwachs: $\mathsf{24-8=16}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeit: $\mathsf{16:2=8}$
Ergebnis
1. Zeit8 min
06
Aufgabe 6Lineares Wachstum · ÜbungEine lineare Menge sinkt von 30 l bei 0 min auf 18 l bei 3 min. Bestimme die Rate.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rate
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bestandsänderung: $\mathsf{18-30=-12}$ Liter
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rate: $\mathsf{-12:3=-4}$ Liter je Minute
Ergebnis
1. Rate−4 l/min
07
Aufgabe 7Lineares Wachstum · TransferB(t) = 30 − 4t beschreibt Liter im Behälter, t in Minuten. Bestimme die Leerungszeit und den sachlich gültigen Zeitbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Leerungszeit
Zeitbereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Leerungszeit: $\mathsf{30:4=7{,}5}$ Minuten
2. Schritt 2 · Erklärung
  Danach würde die Formel negative Bestände liefern.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Leerungszeit7,5 min
2. Zeitbereich0 bis 7,5 min
08
Aufgabe 8Lineares Wachstum · TransferEine Menge wird pro Stunde um 10 % des jeweils aktuellen Werts erhöht. Ist das bei positivem Anfangswert lineares Wachstum? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zuwachs hängt vom aktuellen Bestand ab und wächst mit ihm. Er ist nicht absolut konstant.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungEin konstanter Prozentsatz erzeugt hier einen konstanten Faktor, aber keinen konstanten absoluten Zuwachs.
09
Aufgabe 9Lineares Wachstum · TransferEine diskrete Folge beginnt bei 6 und steigt pro Schritt um 4. Gib B₂ und eine rekursive Regel einschließlich Anfangswert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
B₂
Rekursive Regel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Schritt: $\mathsf{6+4=10}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweiter Schritt: $\mathsf{10+4=14}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. B₂14
2. Rekursive Regel $\mathsf{B_{n+1}=B_n+4}$ , $\mathsf{B_0=6}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ordne Anfangswert und Rate ihren Einheiten zu.
Ich berechne die Rate aus zwei Punkten.
Ich stelle eine lineare Funktion auf und löse nach Zeit auf.
Ich begrenze Abnahmen sachlich.

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