Integrationsmethoden und Flächen · Erklären & üben

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Die gleiche Integrandenfunktion kann zu zwei verschiedenen Arten von Ergebnissen führen: einer Familie von Stammfunktionen oder einer Zahl. Entscheidend sind die Fragestellung und die Integrationsgrenzen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ergebnisart vor der Rechnung klären

Ohne Grenzen beschreibt ∫f(x) dx alle Stammfunktionen F(x)+C auf einem betrachteten Intervall. Das Ergebnis hängt von x ab.

Mit Grenzen a und b beschreibt das bestimmte Integral eine orientierte Bilanz. Für stetiges f auf [a,b] liefert eine Stammfunktion die Zahl F(b)−F(a). Die Integrationsvariable ist danach verschwunden.

So geht es am Beispiel

Vergleiche die beiden Integrale zu f(x)=2x.

$\mathsf{\int2x\,dx=x^2+C}$ — Familie.

$\mathsf{\int_1^32x\,dx=[x^2]_1^3}$ — Grenzen verwenden.

$\mathsf{[x^2]_1^3=9-1}$ — einsetzen.

$\mathsf{9-1=8}$ — Bilanz.

Erklärung 02

Warum C beim bestimmten Integral verschwindet

Du kannst für das bestimmte Integral jede Stammfunktion derselben Familie wählen. Ihre Konstanten heben sich bei der Differenz auf.

Eine Anfangsbedingung wie F(0)=5 bestimmt dagegen eine einzelne Stammfunktion. Das ist etwas anderes als ein bestimmtes Integral.

$\mathsf{(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)}$

So geht es am Beispiel

F′(x)=2x und F(0)=5. Bestimme F und die Änderung von 0 bis 2.

$\mathsf{F(x)=x^2+C}$ — Familie.

$\mathsf{5=0+C}$ — Anfangsbedingung.

$\mathsf{F(x)=x^2+5}$ — Konstante einsetzen.

$\mathsf{F(2)-F(0)=9-5}$ — Änderung.

$\mathsf{9-5=4}$ — Integralwert.

Erklärung 03

Bilanz ist nicht automatisch Fläche

Für a<b zählen Bereiche oberhalb der x-Achse positiv und Bereiche unterhalb negativ. Ein bestimmtes Integral kann daher negativ oder null sein.

Geometrische Flächen sind nichtnegativ. Bei einem Vorzeichenwechsel teilst du an den Nullstellen auf und addierst die Beträge der Teilintegrale.

Vertauschst du die Grenzen, ändert das Integral sein Vorzeichen. Gleiche Grenzen ergeben null.

Gerade mit skalierten Achsen und getrennt angegebenen positiven und negativen Integralbeiträgen.

So geht es am Beispiel

f(x)=x auf [−1,1].

$\mathsf{\int_{-1}^1x\,dx=[x^2/2]_{-1}^1=0}$ — Bilanz.

$\mathsf{\int_{-1}^0x\,dx=-1/2}$ — negativer Anteil.

$\mathsf{\int_0^1x\,dx=1/2}$ — positiver Anteil.

$\mathsf{A=1/2+1/2=1}$ — Beträge addieren.

Erklärung 04

Änderungsrate, Bestand und Einheiten

Ist r(t) eine Änderungsrate in Litern pro Minute, hat ihr Integral über Minuten die Einheit Liter. Es beschreibt die Änderung des Bestands.

Für den Endbestand muss der Anfangsbestand addiert werden. Negative Raten bedeuten Abnahme; das Integral ist die Nettoänderung.

So geht es am Beispiel

Ein Behälter enthält anfangs 10 Liter. Für 0≤t≤2 gilt r(t)=2t−1 Liter pro Minute. Bestimme den Endbestand.

$\mathsf{R(t)=t^2-t}$ — Stammfunktion der Rate.

$\mathsf{\Delta B=R(2)-R(0)}$ — Nettoänderung.

$\mathsf{\Delta B=2-0=2}$ — Liter.

$\mathsf{B(2)=10+2=12}$ — Anfangsbestand addieren.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Bestimmtes und unbestimmtes Integral · GrundlagenBerechne ∫(3x²+2) dx und ∫ von 0 bis 1 über denselben Term.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=x^3+2x+C}$ — Familie.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=[x^3+2x]_0^1}$ — bestimmte Rechnung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=3-0=3}$ — Grenzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisUnbestimmt $\mathsf{x^3+2x+C}$ ; bestimmt 3.
02
Aufgabe 2Bestimmtes und unbestimmtes Integral · GrundlagenWarum ist „∫ von 0 bis 2 über 2x dx = 4+C“ falsch?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=[x^2+C]_0^2}$ — beide Werte.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=(4+C)-(0+C)=4}$ — Konstante fällt weg.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDas Ergebnis ist die Zahl 4.
03
Aufgabe 3Bestimmtes und unbestimmtes Integral · GrundlagenF′(x)=4x und F(1)=7. Bestimme F.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=2x^2+C}$ — Familie.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7=2+C}$ — Bedingung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{C=5}$ — 2 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=2x^2+5}$
04
Aufgabe 4Bestimmtes und unbestimmtes Integral · AnwendenGegeben ∫ von 2 bis 5 über f dx=−3. Bestimme ∫ von 5 bis 2 und ∫ von 2 bis 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Grenzen umkehren kehrt das Vorzeichen um.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Gleiche Grenzen liefern null.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis3 und 0.
05
Aufgabe 5Bestimmtes und unbestimmtes Integral · AnwendenBerechne Integral und Fläche von f(x)=x−1 auf [0,2].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=x^2/2-x}$ — Stammfunktion.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(0)=0,\ F(1)=-1/2,\ F(2)=0}$ — Werte.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=0-0=0}$ — Bilanz.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=|-1/2|+|1/2|=1}$ — Fläche.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisIntegral 0, Fläche 1.
06
Aufgabe 6Bestimmtes und unbestimmtes Integral · AnwendenEin Tank enthält 20 Liter. Seine Rate ist r(t)=3−t Liter pro Minute für 0≤t≤4. Bestimme Nettoänderung und Endbestand.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R(t)=3t-t^2/2}$ — Stammfunktion.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta B=R(4)-R(0)=12-8=4}$ — Liter.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{B(4)=20+4=24}$ — Endbestand.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisÄnderung +4 Liter; Endbestand 24 Liter.
07
Aufgabe 7Bestimmtes und unbestimmtes Integral · AnwendenEin bestimmtes Integral einer Rate ist null. Bedeutet das, dass die Rate überall null war?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Nein: r(t)=t−1 auf [0,2] hat negative und positive Werte.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die beiden Beiträge gleichen sich genau aus.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNullbilanz bedeutet keine Nettoänderung, nicht unbedingt Stillstand.
08
Aufgabe 8Bestimmtes und unbestimmtes Integral · VertiefenPrüfe ∫ von −1 bis 1 über 1/x dx mit dem gewöhnlichen Hauptsatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  1/x ist bei 0 nicht definiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Stetigkeitsvoraussetzung auf dem ganzen Intervall fehlt.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die getrennten uneigentlichen Teilintegrale divergieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDer gewöhnliche Hauptsatz ist hier nicht anwendbar; das uneigentliche Integral konvergiert nicht.
09
Aufgabe 9Bestimmtes und unbestimmtes Integral · VertiefenMarkiere bei der gegebenen Geraden die positiven und negativen Flächenbeiträge auf [0,2]. Nenne Bilanz und geometrische Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Nullstelle bei 1 trennt beide Beiträge.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Dreiecke haben jeweils Grundseite 1 und Höhe 1.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungBeiträge −1/2 und +1/2; Bilanz 0, Fläche 1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte Bereich und innere Faktoren.
Ich bestätige Stammfunktionen durch Ableiten.
Ich unterscheide Familie, Integralwert und Fläche.

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