Integrationsmethoden und Flächen · Erklären & üben

e-Funktion integrieren

Beim Integrieren einer e-Funktion mit linearem Exponenten muss der innere Ableitungsfaktor ausgeglichen werden. Eine Ableitungsprobe zeigt sofort, ob dieser Faktor stimmt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Linearer Exponent und der Faktor 1/a

Für konstante a≠0 und b gilt: Eine Stammfunktion von e hoch (ax+b) ist e hoch (ax+b) geteilt durch a. Die Kettenregel erklärt den Faktor.

Ist a=0, ist der Integrand die Konstante e hoch b. Dann lautet die Familie x·e hoch b+C. Durch a zu teilen wäre in diesem Fall falsch.

$\mathsf{\int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C\quad(a\ne0)}$

So geht es am Beispiel

Integriere e hoch (3x−2).

$\mathsf{F(x)=\frac13e^{3x-2}+C}$ — inneren Faktor ausgleichen.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=\frac13\cdot3e^{3x-2}}$ — Kettenregel zur Probe.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=e^{3x-2}}$ — kürzen.

Erklärung 02

Negative Faktoren und bestimmte Integrale

Ein negativer innerer Faktor führt zu einem negativen Vorfaktor der Stammfunktion. Trotzdem ist der Integrand e hoch (ax+b) immer positiv.

Bei geordneten Grenzen a<b ist sein bestimmtes Integral positiv. Die Differenz der Stammfunktionswerte liefert das richtige Vorzeichen.

Positiver fallender Exponentialgraph; Beschriftung erklärt das negative Vorzeichen einer Stammfunktion.

So geht es am Beispiel

Berechne ∫ von 0 bis 1 über e hoch −2x dx.

$\mathsf{F(x)=-\frac12e^{-2x}}$ — Stammfunktion.

$\mathsf{I=-\frac12e^{-2}-(-\frac12e^0)}$ — obere minus untere Grenze.

$\mathsf{I=\frac12-\frac12e^{-2}}$ — Vorzeichen auflösen.

$\mathsf{I=\frac{1-e^{-2}}2}$ — zusammenfassen.

Erklärung 03

Eine passende innere Ableitung: Substitution

Bei 2x·e hoch x² steht die Ableitung des Exponenten als Faktor davor. Setze u=x² und du=2x dx. So wird das Integral zur Grundform.

Die Rücksubstitution gehört zum unbestimmten Integral dazu. Diese kurze Anwendung ersetzt keine vollständige Einführung aller Substitutionsfälle.

So geht es am Beispiel

Integriere 2x·e hoch x².

$\mathsf{u=x^2,\quad du=2x\,dx}$ — substituieren.

$\mathsf{\int2xe^{x^2}\,dx=\int e^u\,du}$ — ersetzen.

$\mathsf{\int e^u\,du=e^u+C}$ — Grundform.

$\mathsf{F(x)=e^{x^2}+C}$ — zurücksetzen.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=2xe^{x^2}}$ — Probe.

Erklärung 04

Ein zusätzlicher Faktor: partielle Integration

Bei x·e hoch x ist x nicht die Ableitung des Exponenten. Wähle für die partielle Integration u=x und v′=e hoch x. Dann ist u′=1 und v=e hoch x.

Die Formel ∫u v′=uv−∫u′v macht das verbleibende Integral einfacher.

So geht es am Beispiel

Integriere x·e hoch x.

$\mathsf{\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx}$ — partielle Integration.

$\mathsf{F(x)=xe^x-e^x+C}$ — Rest integrieren.

$\mathsf{F(x)=e^x(x-1)+C}$ — ausklammern.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=e^x(x-1)+e^x}$ — Produktregel.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=xe^x}$ — Probe.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1e-Funktion integrieren · GrundlagenIntegriere e hoch 4x und prüfe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=\frac14e^{4x}+C}$ — Faktor ausgleichen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=\frac14\cdot4e^{4x}=e^{4x}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac14e^{4x}+C}$
02
Aufgabe 2e-Funktion integrieren · GrundlagenIntegriere 6e hoch (2x+1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=6\cdot\frac12e^{2x+1}+C}$ — Faktorregel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=3e^{2x+1}+C}$ — vereinfachen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=6e^{2x+1}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{3e^{2x+1}+C}$
03
Aufgabe 3e-Funktion integrieren · GrundlagenIntegriere e hoch (−3x+2).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=-\frac13e^{-3x+2}+C}$ — negativer innerer Faktor.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=(-1/3)(-3)e^{-3x+2}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{-\frac13e^{-3x+2}+C}$
04
Aufgabe 4e-Funktion integrieren · AnwendenBestimme ∫e hoch (0x+2) dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^{0x+2}=e^2}$ — konstant.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=e^2x+C}$ — Konstante integrieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{e^2x+C}$
05
Aufgabe 5e-Funktion integrieren · AnwendenBerechne ∫ von 0 bis 1 über 2e hoch 2x dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=e^{2x}}$ — Stammfunktion.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=e^2-e^0}$ — Grenzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=e^2-1}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{e^2-1}$
06
Aufgabe 6e-Funktion integrieren · AnwendenIntegriere 3x²·e hoch x³ mit einer Substitution.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x^3,\ du=3x^2\,dx}$ — ersetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\int e^u\,du=e^u+C}$ — Grundform.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=e^{x^3}+C}$ — zurücksetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=3x^2e^{x^3}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{e^{x^3}+C}$
07
Aufgabe 7e-Funktion integrieren · AnwendenBerechne ∫ von 0 bis 1 über x·e hoch x dx mit partieller Integration.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=xe^x-e^x}$ — u=x, v′=e hoch x.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(1)=0}$ — obere Grenze.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(0)=-1}$ — untere Grenze.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=0-(-1)=1}$ — Differenz.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis1.
08
Aufgabe 8e-Funktion integrieren · VertiefenJemand behauptet: Eine Stammfunktion von e hoch x² ist e hoch x² geteilt durch 2x. Widerlege dies durch Ableiten für x≠0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G(x)=\frac1{2x}e^{x^2}}$ — Produktform.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G^{\prime}(x)=-\frac1{2x^2}e^{x^2}+e^{x^2}}$ — Produkt- und Kettenregel.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDer zusätzliche Term zeigt: keine Stammfunktion von e hoch x². Der Faktor 1/a gilt nur bei konstantem linearem Innenfaktor.
09
Aufgabe 9e-Funktion integrieren · VertiefenBestimme die Stammfunktion von e hoch x mit F(0)=0 und skizziere sie rechts. Die linke Funktion bleibt gegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{F=e^x+C}$ — Familie.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{0=1+C}$ — Bedingung.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{C=-1}$ — bestimmen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungF(x)=e hoch x−1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte Bereich und innere Faktoren.
Ich bestätige Stammfunktionen durch Ableiten.
Ich unterscheide Familie, Integralwert und Fläche.

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