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Regression und Zusammenhänge · Erklären & üben

Bestimmtheitsmaß

Das Bestimmtheitsmaß beschreibt, welchen Anteil der Streuung um den Zielmittelwert ein angepasstes Modell in den verwendeten Daten erfasst. Es beurteilt damit eine Anpassung, nicht automatisch ihre Ursache oder Zukunftstauglichkeit.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gesamtstreuung in zwei Teile zerlegen

Wir betrachten eine gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Anpassung mit frei geschätztem Achsenabschnitt an denselben Daten. Die Zielwerte dürfen nicht alle gleich sein. Die Gesamtquadratsumme SST misst die Abweichung vom Zielmittelwert. SSE misst die verbleibenden Residuen, SSR die Abweichung der Modellwerte vom Zielmittelwert. In diesem Rahmen gilt die Zerlegung, weil die gemischten Produkte aus Modellabweichungen und Residuen sich zu 0 addieren. Für beliebige vorgegebene Geraden gilt das nicht automatisch.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

SST=SSR+SSE,R2=SSRSST=1−SSESST\mathsf{SST=SSR+SSE,\qquad R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}}

Maßstäbliche Zerlegung der Gesamtquadratsumme in Modell und Residuen.

Erklärung 02

Ein eigenes Beispiel vollständig auswerten

Die Datenpaare (0|1), (1|2), (2|6) haben Zielmittelwert 3. Die OLS-Gerade lautet 0,5 + 2,5x. Ihre Modellwerte sind 0,5; 3; 5,5. Wir verwenden ungeteilte Quadratsummen, keine Stichprobenvarianzen; dadurch ist keine Nennerkonvention nötig.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

SST=∑i(yi−yˉ)2,SSE=∑i(yi−y^i)2\mathsf{SST=\sum_i(y_i-\bar y)^2,\qquad SSE=\sum_i(y_i-\widehat y_i)^2}

Eigene Punkte, OLS-Gerade und vertikale Abweichungen.

So geht es am Beispiel

Berechne das Bestimmtheitsmaß der angegebenen Anpassung.

SST=(1−3)2+(2−3)2+(6−3)2=14\mathsf{SST=(1-3)^2+(2-3)^2+(6-3)^2=14}
SSE=(1−0,5)2+(2−3)2+(6−5,5)2=1,5\mathsf{SSE=(1-0{,}5)^2+(2-3)^2+(6-5{,}5)^2=1{,}5}
SSR=(0,5−3)2+(3−3)2+(5,5−3)2=12,5\mathsf{SSR=(0{,}5-3)^2+(3-3)^2+(5{,}5-3)^2=12{,}5}
R2=1−1,514=2528≈0,893\mathsf{R^2=1-\frac{1{,}5}{14}=\frac{25}{28}\approx0{,}893}

Ergebnis

Etwa 89,3 Prozent der Zielstreuung werden im gewählten Sinn erfasst.

So geht es am Beispiel

Für eine andere OLS-Anpassung mit Achsenabschnitt sind SST = 30 und SSE = 6 gegeben.

R2=1−6/30=0,8\mathsf{R^2=1-6/30=0{,}8}

Ergebnis

Das Modell erfasst 80 Prozent der Streuung um den Zielmittelwert.

Erklärung 03

Was ein hoher Wert aussagt

Im beschriebenen OLS-Rahmen liegt das Bestimmtheitsmaß zwischen 0 und 1. Ein hoher Wert bedeutet kleine Residuen relativ zur Gesamtstreuung der verwendeten Zielwerte. Er bedeutet weder „so viele Vorhersagen sind richtig“ noch Kausalität. Auf neuen Daten kann die entsprechende Vergleichsgröße auch negativ sein, wenn das Modell schlechter als die Mittelwertvorhersage abschneidet. Bei konstanter Zielgröße ist SST = 0 und die angegebene Formel nicht definiert. Ohne Achsenabschnitt gelten die üblichen Zerlegung und Grenzen nicht allgemein. Details zu den vertikalen Abweichungen stehen im Thema Residuen.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

SST>0 ist erforderlich\mathsf{SST>0\textsf{ ist erforderlich}}

Erklärung 04

Optional: zusätzliche Variablen berücksichtigen

Bei verschachtelten OLS-Modellen kann das unbereinigte Bestimmtheitsmaß durch zusätzliche erklärende Variablen nicht sinken. Das adjustierte Maß berücksichtigt deshalb die Anzahl p der erklärenden Variablen ohne Achsenabschnitt. Die folgende Formel setzt einen Achsenabschnitt und n > p + 1 voraus. Sie kann negativ werden und ist ebenfalls keine Garantie für gute neue Vorhersagen. Die Schätzung multipler Modelle wird hier nicht behandelt.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

Radj2=1−(1−R2)n−1n−p−1\mathsf{R^2_{\mathsf{adj}}=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-p-1}}

So geht es am Beispiel

Gegeben sind n = 8, p = 2 und R² = 0,8. Berechne das adjustierte Maß.

Radj2=1−0,2⋅75=0,72\mathsf{R^2_{\mathsf{adj}}=1-0{,}2\cdot\frac75=0{,}72}

Ergebnis

Nach Berücksichtigung der zwei Variablen beträgt das Maß 0,72.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Bestimmtheitsmaß · EinstiegDie Zielwerte sind 1, 2, 6 und ihr Mittelwert ist 3. Berechne SST.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      SST=(−2)2+(−1)2+32=14\mathsf{SST=(-2)^2+(-1)^2+3^2=14}

    Ergebnis

    1. Gesamtquadratsumme14\mathsf{14}
  2. Aufgabe 2Bestimmtheitsmaß · EinstiegFür dieselben Zielwerte sind die Modellwerte 0,5; 3; 5,5. Berechne SSE.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      SSE=0,52+(−1)2+0,52=1,5\mathsf{SSE=0{,}5^2+(-1)^2+0{,}5^2=1{,}5}

    Ergebnis

    1. Residuenquadratsumme1,5\mathsf{1{,}5}
  3. Aufgabe 3Bestimmtheitsmaß · StandardBerechne R² aus SST = 14 und SSE = 1,5. Runde auf drei Dezimalstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      R2=1−1,5/14=25/28≈0,893\mathsf{R^2=1-1{,}5/14=25/28\approx0{,}893}

    Ergebnis

    1. Bestimmtheitsmaß0,893\mathsf{0{,}893}
  4. Aufgabe 4Bestimmtheitsmaß · StandardEin OLS-Modell mit Achsenabschnitt hat R² = 0,8. Bedeutet das, dass 80 Prozent seiner einzelnen Vorhersagen exakt stimmen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Nein. Der Wert vergleicht Quadratsummen um den Zielmittelwert. Er zählt keine exakt richtigen Einzelvorhersagen.

    Ergebnis

    1. Deutung80 Prozent der Zielstreuung werden im Quadratsummensinn erfasst.
  5. Aufgabe 5Bestimmtheitsmaß · TransferTeile den vorbereiteten Balken der Gesamtquadratsumme 14 maßstäblich in den Modellanteil 12,5 und den Residuenanteil 1,5. Beschrifte beide Teile.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Zerlegungsbalken

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Teilungsstelle liegt bei 12,5. Der verbleibende rechte Teil von 12,5 bis 14 besitzt die Länge 1,5.

    Ergebnis

    1. ZerlegungsbalkenTeilung bei 12,5, beide Anteile passend beschriftet.
  6. Aufgabe 6Bestimmtheitsmaß · TransferOptional: Berechne das adjustierte Bestimmtheitsmaß bei n = 8, p = 2 und R² = 0,8. p zählt nur die erklärenden Variablen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Radj2=1−(1−0,8)8−18−2−1=0,72\mathsf{R^2_{\mathsf{adj}}=1-(1-0{,}8)\frac{8-1}{8-2-1}=0{,}72}

    Ergebnis

    1. Adjustiertes Bestimmtheitsmaß0,72\mathsf{0{,}72}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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