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Regression und Zusammenhänge · Erklären & üben

Residuen

Ein Residuum ist die beobachtete Abweichung von einer Modellvorhersage. Sein Vorzeichen, seine Größe und sein Verlauf über die Daten helfen, eine Anpassung zu verstehen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Beobachtung minus Vorhersage

Ein positives Residuum bedeutet, dass die Beobachtung über dem Modellwert liegt; ein negatives bedeutet das Gegenteil. Es besitzt dieselbe Einheit wie die Zielgröße. Das Residuum wird aus Daten und geschätztem Modell berechnet. Ein theoretischer Fehler gegenüber einem unbekannten wahren Modell ist davon zu unterscheiden und wird nicht direkt beobachtet.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

ei=yi−y^i\mathsf{e_i=y_i-\widehat y_i}

So geht es am Beispiel

Zu den eigenen Daten (0|2), (1|1), (2|6) gehört die OLS-Gerade 1 + 2x. Bestimme die Residuen.

Die Modellwerte sind 1, 3, 5.

e1=2−1=1,e2=1−3=−2,e3=6−5=1\mathsf{e_1=2-1=1,\quad e_2=1-3=-2,\quad e_3=6-5=1}

Ergebnis

Die Residuen lauten 1, −2, 1.

Erklärung 02

Vertikale Strecken und Residuenplot

Bei der Regression von y auf x wird die Abweichung bei unverändertem x-Wert gemessen. Die Residuenstrecke ist daher vertikal, nicht der kürzeste senkrechte Abstand zur schrägen Geraden. Im Residuenplot steht x auf der waagerechten Achse und das Residuum auf der senkrechten. Eine gekrümmte Struktur kann auf eine unpassende Gerade hinweisen; eine auffächernde Streuung auf unterschiedliche Streubreiten.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

Residuenplot: (xi,ei)\mathsf{\textsf{Residuenplot: }(x_i,e_i)}

Vertikale Abweichungen der Beobachtungen von der angepassten Geraden.
Residuen derselben Daten in einem eigenen Koordinatensystem.

Erklärung 03

Was sich bei OLS aufhebt

Für eine gewöhnliche OLS-Anpassung mit frei geschätztem Achsenabschnitt ist die Summe der Residuen 0. Das ist keine allgemeine Eigenschaft beliebiger Modellvorgaben und beweist keine gute Anpassung. Positive und negative Residuen können groß sein und sich dennoch aufheben. Ihre Quadratsumme erfasst dagegen die gemeinsame Größe. Ein unauffälliger Plot beweist weder Unabhängigkeit noch Normalverteilung der Fehler.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

∑iei=0bei OLS mit Achsenabschnitt\mathsf{\sum_i e_i=0\quad\textsf{bei OLS mit Achsenabschnitt}}

So geht es am Beispiel

Vergleiche Summe und Quadratsumme von 1, −2, 1.

1−2+1=0\mathsf{1-2+1=0}
Q=12+(−2)2+12=6\mathsf{Q=1^2+(-2)^2+1^2=6}

Ergebnis

Die Summe ist 0, obwohl die Beobachtungen nicht auf der Geraden liegen.

Erklärung 04

Verbleibende und erklärte Streuung

Bei OLS mit Achsenabschnitt zerfällt die Gesamtquadratsumme um den Zielmittelwert in die Quadratsumme der Modellabweichungen und die Residuenquadratsumme. Es geht um Quadratsummen; eine Vermischung unterschiedlich normierter Varianzen würde die Gleichung verändern. Der Datenmittelwert unseres Beispiels ist 3.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

∑i(yi−yˉ)2=∑i(y^i−yˉ)2+∑iei2\mathsf{\sum_i(y_i-\bar y)^2=\sum_i(\widehat y_i-\bar y)^2+\sum_i e_i^2}

So geht es am Beispiel

Berechne die Zerlegung für die Zielwerte 2, 1, 6 und Modellwerte 1, 3, 5.

SST=(2−3)2+(1−3)2+(6−3)2=14\mathsf{SST=(2-3)^2+(1-3)^2+(6-3)^2=14}
SSR=(1−3)2+(3−3)2+(5−3)2=8\mathsf{SSR=(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2=8}
SSE=6,14=8+6\mathsf{SSE=6,\qquad14=8+6}

Ergebnis

Von der Gesamtquadratsumme 14 verbleiben 6 als Residuenquadratsumme.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Residuen · EinstiegBeobachtung 2, Vorhersage 1: Berechne und deute das Residuum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      e=2−1=1\mathsf{e=2-1=1}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Residuum1\mathsf{1}
    2. LageBeobachtung oberhalb des Modellwerts.
  2. Aufgabe 2Residuen · EinstiegBeobachtung 1, Vorhersage 3: Berechne und deute das Residuum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      e=1−3=−2\mathsf{e=1-3=-2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Residuum−2\mathsf{-2}
    2. LageBeobachtung unterhalb des Modellwerts.
  3. Aufgabe 3Residuen · StandardAddiere die Residuen 1, −2, 1. Beweist das Ergebnis eine perfekte Anpassung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1−2+1=0\mathsf{1-2+1=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Nein; perfekte Anpassung würde jedes einzelne Residuum 0 verlangen.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Residuensumme0\mathsf{0}
    2. FolgerungKeine perfekte Anpassung; einzelne Residuen sind ungleich 0.
  4. Aufgabe 4Residuen · StandardBerechne die Quadratsumme der Residuen 1, −2, 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Q=1+4+1=6\mathsf{Q=1+4+1=6}

    Ergebnis

    1. Quadratsumme6\mathsf{6}
  5. Aufgabe 5Residuen · TransferZeichne in der Vorlage die Residuenpunkte (0|1), (1|−2), (2|1). Verbinde die Punkte nicht zu einer Regressionsgeraden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Residuenplot

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Punkte bei x = 0 und x = 2 liegen eine Einheit über der Nulllinie; der Punkt bei x = 1 liegt zwei Einheiten darunter.

    Ergebnis

    1. ResiduenplotDrei Punkte bei (0|1), (1|−2), (2|1).
  6. Aufgabe 6Residuen · TransferEine OLS-Anpassung mit Achsenabschnitt hat SST = 14 und SSE = 6. Bestimme die erklärte Quadratsumme SSR.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      SSR=SST−SSE=14−6=8\mathsf{SSR=SST-SSE=14-6=8}

    Ergebnis

    1. Erklärte Quadratsumme8\mathsf{8}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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