Binärsystem

Erklärung 01

Ziffern und Stellenwerte

1. 1

   Stellenwerte von rechts zuordnen.

2. 2

   Nur die Stellen mit einer 1 addieren.

Nur die Stellen mit einer 1 addieren.

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{10101_{2}}$ in eine Dezimalzahl um.

Ordne den fünf Ziffern von links die Stellenwerte 16, 8, 4, 2 und 1 zu.

$$\mathsf{10101_2 = 1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1}$$

Nur die Stellen mit einer 1 tragen zur Summe bei.

$$\mathsf{10101_2 = 16 + 4 + 1}$$

$$\mathsf{10101_2 = 21_{10}}$$

Erklärung 02

Zur Binärzahl mit Stellenwerten

1. 1

   Wähle den größten passenden Stellenwert.

2. 2

   Ziehe ihn ab und prüfe den nächsten kleineren Stellenwert.

3. 3

   Schreibe alle Ziffern einschließlich innerer Nullen.

Schreibe alle Ziffern einschließlich innerer Nullen.

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{29_{10}}$ in eine Binärzahl um.

Beginne mit dem größten passenden Stellenwert 16.

$$\mathsf{29 - 16 = 13}$$

8 passt in den Rest 13.

$$\mathsf{13 - 8 = 5}$$

4 passt in den Rest 5.

$$\mathsf{5 - 4 = 1}$$

2 passt nicht mehr. An dieser Stelle steht eine 0.

$$\mathsf{1 - 1 = 0}$$

$$\mathsf{29 = 16 + 8 + 4 + 1}$$

Zu den Stellen 16, 8, 4, 2, 1 gehören die Ziffern 1, 1, 1, 0, 1.

$$\mathsf{29_{10} = 11101_2}$$

Erklärung 03

Rechnen und Schalter

1. 1

   Stellen rechtsbündig anordnen.

2. 2

   Überträge beziehungsweise Entleihen sorgfältig notieren.

3. 3

   Das Ergebnis durch Umwandeln dezimal prüfen.

Das Ergebnis durch Umwandeln dezimal prüfen.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{101_2 + 11_2}$ und $\mathsf{1010_2 - 11_2}$.

Addition: Ordne die Zahlen rechtsbündig an.

$$\begin{array}{r}\mathsf{\mathsf{00101_2}}\\\mathsf{\mathsf{+\,00011_2}}\\\hline \mathsf{\mathsf{1000_2}}\end{array}$$

Einerstelle: $\mathsf{1_2 + 1_2 = 10_2}$. Schreibe 0, übertrage 1.

Zweierstelle: $\mathsf{0_2 + 1_2 + 1_2 = 10_2}$. Schreibe 0, übertrage 1.

Viererstelle: $\mathsf{1_2 + 0_2 + 1_2 = 10_2}$. Schreibe 0, übertrage 1. Die neue linke 1 steht an der Achterstelle.

Subtraktion: Ordne auch hier rechtsbündig an.

$$\mathsf{1010_2 - 0011_2}$$

Einerstelle: Borge eine Einheit von der Zweierstelle. Rechne $\mathsf{10_2 - 1_2 = 1_2}$.

Zweierstelle: Die Zweier- und Viererstelle sind jetzt leer. Borge von der Achterstelle über die Viererstelle. Die Viererstelle gibt eine Einheit weiter; eine bleibt dort stehen.

An der Zweierstelle rechnest du $\mathsf{10_2 - 1_2 = 1_2}$. An der Viererstelle bleibt 1. Die Achterstelle ist nun 0.

$$\mathsf{1010_2 - 0011_2 = 0111_2 = 111_2}$$

Prüfe beide Ergebnisse im Dezimalsystem.

$$\mathsf{5 + 3 = 8}$$

$$\mathsf{10 - 3 = 7}$$

1. 01
   Aufgabe 1Binärsystem · EinstiegWelche der Zahlenfolgen 10101, 1201 und 0001 sind gültige Binärzahlen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gültig

   Ungültig mit Grund

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Erlaubt sind nur 0 und 1. Führende Nullen ändern den Wert nicht.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Gültig
      10101 und 0001
   2. Ungültig mit Grund
      1201 enthält die im Binärsystem nicht erlaubte Ziffer 2.
2. 02
   Aufgabe 2Binärsystem · EinstiegErgänze die Stellenwerte einer sechsstelligen Binärzahl von links nach rechts. Beginne rechts mit 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Stellenwerte

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Von rechts nach links verdoppeln: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

   Ergebnis

   1. Stellenwerte
      32; 16; 8; 4; 2; 1
3. 03
   Aufgabe 3Binärsystem · EinstiegWandle $\mathsf{10110_{2}}$ und $\mathsf{100001_{2}}$ in Dezimalzahlen um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   $\mathsf{10110_2}$

   $\mathsf{100001_2}$

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Addiere jeweils die Stellenwerte der Einsen.

      $$\mathsf{10110_2 = 16 + 4 + 2}$$

      $$\mathsf{10110_2 = 22_{10}}$$

      $$\mathsf{100001_2 = 32 + 1}$$

      $$\mathsf{100001_2 = 33_{10}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. $\mathsf{10110_2}$
      $\mathsf{22_{10}}$
   2. $\mathsf{100001_2}$
      $\mathsf{33_{10}}$
4. 04
   Aufgabe 4Binärsystem · ÜbungWandle $\mathsf{19_{10}}$ und $\mathsf{26_{10}}$ mit den Stellenwerten 16, 8, 4, 2, 1 in Binärzahlen um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   $\mathsf{19_{10}}$

   $\mathsf{26_{10}}$

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Für 19 wählst du 16, 2 und 1.

      $$\mathsf{19 = 16 + 2 + 1}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      8 und 4 werden nicht verwendet; diese Stellen erhalten 0.

      $$\mathsf{19_{10} = 10011_2}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Für 26 wählst du 16, 8 und 2.

      $$\mathsf{26 = 16 + 8 + 2}$$
   4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      4 und 1 werden nicht verwendet; diese Stellen erhalten 0.

      $$\mathsf{26_{10} = 11010_2}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. $\mathsf{19_{10}}$
      $\mathsf{10011_{2}}$
   2. $\mathsf{26_{10}}$
      $\mathsf{11010_{2}}$
5. 05
   Aufgabe 5Binärsystem · ÜbungMarkiere im vorbereiteten Stellenwertstreifen genau die Felder, deren Summe 21 ergibt. Trage darunter die Binärziffern ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gewählte Stellenwerte

   Binärzahl

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Zerlege 21 in Stellenwerte.

      $$\mathsf{21 = 16 + 4 + 1}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Markiere die Felder 16, 4 und 1. Schreibe darunter jeweils 1; unter 8 und 2 steht 0.

      $$\mathsf{21_{10} = 10101_2}$$

   Beispielzeichnung

   

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Gewählte Stellenwerte
      16; 4; 1
   2. Binärzahl
      $\mathsf{10101_{2}}$
6. 06
   Aufgabe 6Binärsystem · ÜbungLena schreibt $\mathsf{10010_2 = 12_{10}}$. Prüfe ihre Aussage und korrigiere den Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Richtiger Wert

   Erklärung

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ordne von links die Stellenwerte 16, 8, 4, 2 und 1 zu. Die Einsen stehen bei 16 und 2.

      $$\mathsf{10010_2 = 16 + 2}$$

      $$\mathsf{10010_2 = 18_{10}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Lenas Aussage ist falsch. Die Ziffern müssen mit den binären Stellenwerten gelesen werden.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Richtiger Wert
      $\mathsf{18_{10}}$
   2. Erklärung
      Die linke 1 steht für 16, die zweite 1 für 2. Zusammen sind das 18.
7. 07
   Aufgabe 7Binärsystem · ÜbungAddiere im Binärsystem: $\mathsf{1011_2 + 110_2}$. Notiere die Überträge und prüfe dezimal.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Binäre Summe

   Dezimale Probe

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ordne die Zahlen rechtsbündig an.

      $$\mathsf{01011_2 + 00110_2}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Einerstelle: $\mathsf{1_2 + 0_2 = 1_2}$. Es entsteht kein Übertrag.

   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Zweierstelle: $\mathsf{1_2 + 1_2 = 10_2}$. Schreibe 0 und übertrage 1.

   4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      Viererstelle: $\mathsf{0_2 + 1_2 + 1_2 = 10_2}$. Schreibe 0 und übertrage 1.

   5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg

      Achterstelle: $\mathsf{1_2 + 0_2 + 1_2 = 10_2}$. Schreibe 0 und übertrage 1 an die neue Sechzehnerstelle.

      $$\mathsf{1011_2 + 110_2 = 10001_2}$$
   6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg

      Dezimale Probe:

      $$\mathsf{11 + 6 = 17}$$

      $$\mathsf{10001_2 = 17_{10}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Binäre Summe
      $\mathsf{10001_{2}}$
   2. Dezimale Probe
      $\mathsf{11 + 6 = 17}$
8. 08
   Aufgabe 8Binärsystem · TransferSubtrahiere im Binärsystem: $\mathsf{11010_2 - 1011_2}$. Prüfe das Ergebnis dezimal.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Binäre Differenz

   Dezimale Probe

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ordne die Zahlen rechtsbündig an.

      $$\mathsf{11010_2 - 01011_2}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Einerstelle: Borge eine Einheit von der Zweierstelle. Rechne $\mathsf{10_2 - 1_2 = 1_2}$.

   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Zweierstelle: Borge über die leere Viererstelle aus der Achterstelle. Rechne $\mathsf{10_2 - 1_2 = 1_2}$.

   4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      Viererstelle: Nach der Weitergabe bleibt 1. Rechne $\mathsf{1_2 - 0_2 = 1_2}$.

   5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg

      Achterstelle: Borge eine Einheit von der Sechzehnerstelle. Rechne $\mathsf{10_2 - 1_2 = 1_2}$. Die führende 0 entfällt.

      $$\mathsf{11010_2 - 01011_2 = 1111_2}$$
   6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg

      Dezimale Probe:

      $$\mathsf{26 - 11 = 15}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Binäre Differenz
      $\mathsf{1111_{2}}$
   2. Dezimale Probe
      $\mathsf{26 - 11 = 15}$
9. 09
   Aufgabe 9Binärsystem · TransferVier Schalter stehen von links für 8, 4, 2 und 1. Ein bedeutet 1, Aus bedeutet 0. Gib die Schalterstellung für $\mathsf{9_{10}}$ und den größten darstellbaren Wert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Schalter für 9

   Größter Wert

   Tipp anzeigen

   Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Für 9 benötigst du die Stellenwerte 8 und 1.

      $$\mathsf{9 = 8 + 1}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Schalter stehen von links auf Ein, Aus, Aus, Ein.

      $$\mathsf{9_{10} = 1001_2}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Der größte Wert entsteht, wenn alle vier Schalter eingeschaltet sind.

      $$\mathsf{8 + 4 + 2 + 1 = 15}$$

      $$\mathsf{1111_2 = 15_{10}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Schalter für 9
      Ein; Aus; Aus; Ein ($\mathsf{1001_{2}}$)
   2. Größter Wert
      $\mathsf{15_{10}}$
10. 10
    Aufgabe 10Binärsystem · TransferEin vierstelliges Binärfeld zeigt $\mathsf{1111_{2}}$. Addiere $\mathsf{1_{2}}$. Begründe, warum das Ergebnis nicht mehr in vier Stellen passt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

    Ergebnis

    Begründung

    Tipp anzeigen

    Prüfe die Stellenwerte und notiere die verwendete Basis.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

       An der Einerstelle gilt $\mathsf{1_2 + 1_2 = 10_2}$: Schreibe 0 und übertrage 1.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

       An der Zweier-, Vierer- und Achterstelle trifft der Übertrag jeweils wieder auf eine 1. Schreibe dort ebenfalls 0 und gib den Übertrag weiter.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

       Der letzte Übertrag erzeugt eine fünfte Stelle.

       $$\mathsf{1111_2 + 1_2 = 10000_2}$$

       $$\mathsf{15 + 1 = 16}$$
    4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

       Vier Stellen reichen nur bis $\mathsf{1111_2 = 15_{10}}$. Für 16 wird die fünfte Stelle benötigt.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Ergebnis
       $\mathsf{10000_{2}}$
    2. Begründung
       $\mathsf{15 + 1 = 16}$Der Stellenwert 16 benötigt eine fünfte Stelle.