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Binomialverteilung · Erklären & üben

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Trefferzahl in einer festen Anzahl gleichartiger unabhängiger Versuche. Du berechnest einzelne Trefferzahlen, Summen und die typische Lage des Modells.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Wann passt das Binomialmodell?

Jeder Versuch wird in Treffer und Nichttreffer eingeteilt. Die Anzahl n steht vorher fest, die Versuche sind unabhängig und die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt gleich. Die Zufallsgröße X zählt Treffer, nicht ihre Reihenfolge. Ein einzelner Versuch wird im Thema Bernoulli-Experiment vertieft. Beobachtete relative Häufigkeiten beschreiben Daten; die Binomialverteilung ist dagegen ein Wahrscheinlichkeitsmodell. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Urne erfüllt die Bedingungen im Allgemeinen nicht.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

X∼B(n,p),X∈{0,1,…,n}\mathsf{X\sim B(n,p),\qquad X\in\{0,1,\ldots,n\}}

Erklärung 02

Genau k Treffer

Ein bestimmter Pfad mit k Treffern enthält k Faktoren p und n−k Faktoren 1−p. Der Binomialkoeffizient zählt die möglichen Trefferpositionen. Alle diese Pfade haben im Modell dieselbe Wahrscheinlichkeit; die Positionen sind aber verschiedene Versuchsausgänge. Die Formel gilt hier für 0<p<1. Bei p=0 sind immer 0 Treffer, bei p=1 immer nTreffer zu erwarten.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k\mathsf{P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}}

Einzelwahrscheinlichkeiten von B(4,0,5).

So geht es am Beispiel

Vier unabhängige faire Münzwürfe: Treffer bedeutet Kopf. Berechne genau zwei Treffer.

P(X=2)=(42)(12)4=616=0,375\mathsf{P(X=2)=\binom42\left(\frac12\right)^4=\frac6{16}=0{,}375}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 37,5 Prozent.

So geht es am Beispiel

Eigenes Inspektionsmodell: Jedes von 5 Autos ist unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 fehlerhaft. Wie wahrscheinlich ist genau ein fehlerhaftes Auto?

P(X=1)=(51)⋅0,2⋅0,84=0,4096\mathsf{P(X=1)=\binom51\cdot0{,}2\cdot0{,}8^4=0{,}4096}

Unabhängigkeit und konstante Fehlerwahrscheinlichkeit sind Modellannahmen; eine reale Produktion muss darauf geprüft werden.

Ergebnis

Im Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit 40,96 Prozent.

So geht es am Beispiel

Bei 3 unabhängigen Würfen eines fairen Würfels gilt eine Sechs als Treffer. Berechne genau eine Sechs.

P(X=1)=(31)16(56)2=2572≈0,3472\mathsf{P(X=1)=\binom31\frac16\left(\frac56\right)^2=\frac{25}{72}\approx0{,}3472}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 34,72 Prozent.

Erklärung 03

Höchstens, mindestens und Rechnerfunktionen

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit addiert alle Trefferzahlen bis einschließlich einer Grenze. Mindestens k bedeutet das Gegenereignis zu höchstens k−1. Rechnerbezeichnungen wie binomPdf stehen häufig für die Einzelwahrscheinlichkeit, binomCdf für die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Pdf bedeutet hier trotz des Namens keine stetige Dichte. Eingabereihenfolge und Namen sind geräteabhängig; prüfe die Funktionsbeschreibung statt ein fremdes Tastenschema zu übernehmen.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

F(k)=∑j=0kP(X=j),P(X≥k)=1−F(k−1)\mathsf{F(k)=\sum_{j=0}^kP(X=j),\qquad P(X\ge k)=1-F(k-1)}

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten an den ganzzahligen Grenzen von B(4,0,5).

So geht es am Beispiel

Berechne für X∼B(4,0,5)\mathsf{X\sim B(4,0{,}5)} die Wahrscheinlichkeit für höchstens einen Treffer.

P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=116+416=516=0,3125\mathsf{P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=\frac1{16}+\frac4{16}=\frac5{16}=0{,}3125}

In einer passenden Rechnerfunktion entspricht dies einer kumulierten Abfrage mit n=4,p=0,5 und oberer Grenze 1, nicht einer Einzelabfrage für 1.

Ergebnis

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit ist 31,25 Prozent.

Erklärung 04

Erwartungswert und Streuung

Der Erwartungswert ist die langfristige durchschnittliche Trefferzahl, keine garantierte ganzzahlige Beobachtung. Die Varianz und ihre Wurzel beschreiben die Streuung des Modells. Es handelt sich nicht um die korrigierte Varianzschätzung einer Datenstichprobe. Zum Rechnen mit der Auswahlzahl führt das Thema Binomialkoeffizient weiter.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

E(X)=np,Var⁡(X)=np(1−p),σ=np(1−p)\mathsf{E(X)=np,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=np(1-p),\qquad\sigma=\sqrt{np(1-p)}}

So geht es am Beispiel

Bestimme die Momente von B(10,0,2)\mathsf{B(10,0{,}2)}.

E(X)=2\mathsf{E(X)=2}
Var⁡(X)=10⋅0,2⋅0,8=1,6\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=10\cdot0{,}2\cdot0{,}8=1{,}6}
σ=1,6≈1,265\mathsf{\sigma=\sqrt{1{,}6}\approx1{,}265}

Ergebnis

Im Mittel 2 Treffer; Standardabweichung ungefähr 1,265 Treffer.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Binomialverteilung · EinstiegVier unabhängige faire Münzwürfe werden durchgeführt; Kopf zählt als Treffer. Nenne n,pund die möglichen Trefferzahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es gibt vier Versuche mit jeweils Trefferwahrscheinlichkeit ein Halb. X zählt von 0 bis 4.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Anzahl n4\mathsf{4}
    2. Trefferwahrscheinlichkeit p0,5\mathsf{0{,}5}
    3. Mögliche Trefferzahlen0,1,2,3,4
  2. Aufgabe 2Binomialverteilung · EinstiegBerechne für X∼B(4,0,5)\mathsf{X\sim B(4,0{,}5)} genau zwei Treffer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(X=2)=6⋅116=38\mathsf{P(X=2)=6\cdot\frac1{16}=\frac38}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit38\mathsf{\frac38}
  3. Aufgabe 3Binomialverteilung · StandardBerechne im selben Modell höchstens einen Treffer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(X≤1)=116+416=516\mathsf{P(X\le1)=\frac1{16}+\frac4{16}=\frac5{16}}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit516\mathsf{\frac5{16}}
  4. Aufgabe 4Binomialverteilung · StandardBerechne im selben Modell mindestens einen Treffer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(X≥1)=1−P(X=0)=1−116=1516\mathsf{P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\frac1{16}=\frac{15}{16}}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit1516\mathsf{\frac{15}{16}}
  5. Aufgabe 5Binomialverteilung · TransferZeichne für B(3,0,5)\mathsf{B(3,0{,}5)} die Einzelwahrscheinlichkeiten als getrennte Säulen in die Vorlage. Die Wahrscheinlichkeiten für 0,1,2,3 Treffer sind 1/8,3/8,3/8,1/8.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Verteilungsdiagramm

    Vorbereitete Darstellung mit gegebenen Achsen oder Knoten.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Säulen stehen über den vier ganzzahligen Trefferzahlen; die mittleren beiden erreichen 0,375, die äußeren 0,125. Ihre Wahrscheinlichkeiten summieren sich zu 1.

    Ergebnis

    1. VerteilungsdiagrammVier Säulenhöhen 0,125;0,375;0,375;0,125.
  6. Aufgabe 6Binomialverteilung · TransferBestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von B(20,0,3)\mathsf{B(20,0{,}3)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      E(X)=20⋅0,3=6\mathsf{E(X)=20\cdot0{,}3=6}
      Var⁡(X)=20⋅0,3⋅0,7=4,2\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=20\cdot0{,}3\cdot0{,}7=4{,}2}
      σ=4,2≈2,049\mathsf{\sigma=\sqrt{4{,}2}\approx2{,}049}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erwartungswert6\mathsf{6}
    2. Varianz4,2\mathsf{4{,}2}
    3. Standardabweichung exakt4,2\mathsf{\sqrt{4{,}2}}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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