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Binomialverteilung · Erklären & üben

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient zählt Auswahlen ohne Wiederholung, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt. Du rechnest mit Fakultäten, nutzt Rechenregeln und verknüpfst die Auswahlzahl mit Trefferpositionen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine ungeordnete Auswahl zählen

Aus n verschiedenen Objekten werden kverschiedene ausgewählt. ABund BAbezeichnen dieselbe Auswahl. Die Anzahl ist „n über k“. Das Zählen allein ist noch keine Wahrscheinlichkeit; dafür braucht man ein Wahrscheinlichkeitsmodell. Der anschauliche Einstieg Binomialkoeffizient einfach erklärt listet kleine Auswahlen vollständig auf.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

(nk)(0≤k≤n)\mathsf{\binom nk\quad(0\le k\le n)}

Alle sechs Zweierauswahlen aus vier verschiedenen Objekten als Anschauung.

Erklärung 02

Fakultäten kürzen

Für nichtnegative ganze nund kgilt die Fakultätsformel mit 0!=1. Die Fakultät multipliziert die natürlichen Zahlen bis zur genannten Zahl; ausführlicher wird sie im vorhandenen Fakultätsmodul behandelt. Auf vielen Rechnern heißt die Auswahlfunktion nCr; die genaue Eingabe ist geräteabhängig. Kürze gemeinsame Faktoren, statt unnötig große Fakultäten auszurechnen.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

(nk)=n!k!(n−k)!\mathsf{\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}}

So geht es am Beispiel

Wie viele Zweierteams lassen sich aus 5 verschiedenen Personen bilden?

(52)=5⋅42⋅1=10\mathsf{\binom52=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10}

Ergebnis

Es gibt 10 ungeordnete Zweierteams.

So geht es am Beispiel

Berechne die Zahl der Dreierauswahlen aus 6 Objekten.

(63)=6⋅5⋅43⋅2⋅1=20\mathsf{\binom63=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20}

Ergebnis

Es gibt 20 Auswahlen.

Erklärung 03

Symmetrie und Pascal

Eine Auswahl von kObjekten ist eindeutig durch die n−knicht gewählten Objekte bestimmt. Deshalb sind die beiden Auswahlzahlen gleich. Die Pascal-Regel teilt Auswahlen danach auf, ob ein festes Objekt enthalten ist. Im Pascalschen Dreieck stehen außen Einsen; jeder innere Wert ist die Summe der beiden schräg darüberliegenden.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

(nk)=(nn−k),(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\mathsf{\binom nk=\binom n{n-k},\qquad\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k}

Pascalsches Dreieck bis Zeile5, Randwerte und Nachbarsummen.

So geht es am Beispiel

Berechne „7 über 5“ über die kleinere Gegenwahl.

(75)=(72)=7⋅62=21\mathsf{\binom75=\binom72=\frac{7\cdot6}{2}=21}

Ergebnis

Die Auswahlzahl ist 21.

Erklärung 04

Trefferpositionen und Ziehmodelle

Bei nBernoulli-Versuchen legt eine Auswahl von kPositionen fest, an welchen Stellen Treffer liegen. Genau diese Anzahl multipliziert in der Binomialformel die Wahrscheinlichkeit eines passenden Pfads. Als abstrakte Lotterie-Auswahlmodelle kann man 6 aus 49 oder 6 aus 90 betrachten: Die Zahlen der ungeordneten Tipps sind entsprechend die Binomialkoeffizienten. Das sind ausdrücklich Modellbeispiele, keine Beschreibung aktueller Spielregeln in Deutschland oder Italien; Zusatzregeln und Gewinnklassen sind hier nicht abgedeckt.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k\mathsf{P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Binomialkoeffizient · EinstiegWie viele ungeordnete Zweierteams gibt es aus 6 verschiedenen Personen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (62)=6⋅52=15\mathsf{\binom62=\frac{6\cdot5}{2}=15}

    Ergebnis

    1. Anzahl Teams15\mathsf{15}
  2. Aufgabe 2Binomialkoeffizient · EinstiegBerechne „8 über 0“ und „8 über 8“ und deute beide Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es gibt genau eine leere Auswahl und genau eine Auswahl aller Objekte.

      (80)=(88)=1\mathsf{\binom80=\binom88=1}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. 8über01\mathsf{1}
    2. 8über81\mathsf{1}
  3. Aufgabe 3Binomialkoeffizient · StandardBerechne „9 über 7“ mithilfe der Symmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (97)=(92)=9⋅82=36\mathsf{\binom97=\binom92=\frac{9\cdot8}{2}=36}

    Ergebnis

    1. Auswahlzahl36\mathsf{36}
  4. Aufgabe 4Binomialkoeffizient · StandardNutze die Pascal-Regel, um „5 über 2“ aus „4 über 1“ und „4 über 2“ zu berechnen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (52)=(41)+(42)=4+6=10\mathsf{\binom52=\binom41+\binom42=4+6=10}

    Ergebnis

    1. Ergebnis10\mathsf{10}
  5. Aufgabe 5Binomialkoeffizient · TransferErgänze in der Vorlage die Zeile n=5 des Pascalschen Dreiecks. Die vorherigen Zeilen sind gegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Ergänzte Pascalzeile

    Vorbereitete Darstellung mit gegebenen Achsen oder Knoten.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Außen steht jeweils 1. Innen ergeben die Nachbarsummen 5,10,10,5.

      1, 5, 10, 10, 5, 1\mathsf{1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1}

    Ergebnis

    1. Ergänzte Pascalzeile1,5,10,10,5,1.
  6. Aufgabe 6Binomialkoeffizient · TransferWie viele verschiedene Treffer-Nichttreffer-Folgen haben bei 5 Versuchen genau 2 Treffer? Erkläre, was ausgewählt wird.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (52)=10\mathsf{\binom52=10}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Aus den fünf Versuchspositionen werden die zwei Trefferpositionen ausgewählt; ihre Reihenfolge in der Auswahl ist irrelevant.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Anzahl Folgen10\mathsf{10}
    2. AuswahlobjekteDie zwei Trefferpositionen unter fünf Positionen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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