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Binomialverteilung · Erklären & üben

Binomialverteilung Übung

Hier löst du eigene Aufgaben zu einem einheitlichen Binomialmodell. Im Mittelpunkt steht die Übersetzung von genau, höchstens, mindestens und zwischen in passende Ereignisse.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Das Modell vor der Rechnung prüfen

In den folgenden Beispielen zählt Xdie Treffer in fünf unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit 0,5. Die möglichen Werte sind 0 bis 5. Die Wahrscheinlichkeiten lauten der Reihe nach 1/32,5/32,10/32,10/32,5/32,1/32. Diese eigenen Übungsaufgaben rekonstruieren keine unbekannten Originalaufgabentexte.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

X∼B(5,0,5)\mathsf{X\sim B(5,0{,}5)}

Einzelwahrscheinlichkeiten von B(5,0,5)für die Übungsfamilie.

Erklärung 02

Drei Formulierungen übersetzen

Genau k Treffer verlangt eine Einzelwahrscheinlichkeit. Höchstens kschließt kmit ein; mindestens kbeginnt bei k. Zwischen aund beinschließlich bedeutet die Summe aller ganzen Trefferzahlen in diesem Bereich. Achte darauf, ob die Aufgabe ihre Ränder ausdrücklich einschließt.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

P(a≤X≤b)=F(b)−F(a−1)\mathsf{P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-1)}

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten von B(5,0,5)an ganzzahligen Grenzen.

So geht es am Beispiel

Berechne genau 3 Treffer.

P(X=3)=(53)(12)5=1032=516\mathsf{P(X=3)=\binom53\left(\frac12\right)^5=\frac{10}{32}=\frac5{16}}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit ist 5/16.

So geht es am Beispiel

Berechne mindestens 4 Treffer.

P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=632=316\mathsf{P(X\ge4)=P(X=4)+P(X=5)=\frac6{32}=\frac3{16}}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit ist 3/16.

So geht es am Beispiel

Berechne zwischen 2 und 4 Treffer einschließlich.

P(2≤X≤4)=10+10+532=2532\mathsf{P(2\le X\le4)=\frac{10+10+5}{32}=\frac{25}{32}}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit ist 25/32.

Erklärung 03

Gegenereignis und Mindestanzahl

Für mindestens einen Treffer ist das Gegenereignis kein Treffer besonders kurz. Wenn eine Mindestwahrscheinlichkeit verlangt wird, suchst du die kleinste ganze Versuchszahl, die die Schranke erfüllt. Prüfe dafür auch die unmittelbar kleinere Zahl. Den Aufbau der Einzelwahrscheinlichkeit erläutert das Anschlussthema Bernoulli-Formel.

  1. Prüfe Voraussetzungen und übersetze die Frage in ein Ereignis.

  2. Rechne mit exakten Werten und benenne die Bedeutung des Ergebnisses.

P(X≥1)=1−(1−p)n\mathsf{P(X\ge1)=1-(1-p)^n}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Binomialverteilung Übung · EinstiegBei 5 unabhängigen Versuchen mit p=0,5: Berechne genau 3 Treffer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(X=3)=1032=516\mathsf{P(X=3)=\frac{10}{32}=\frac5{16}}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit516\mathsf{\frac5{16}}
  2. Aufgabe 2Binomialverteilung Übung · EinstiegBerechne in demselben Modell höchstens 2 Treffer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(X≤2)=1+5+1032=12\mathsf{P(X\le2)=\frac{1+5+10}{32}=\frac12}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit12\mathsf{\frac12}
  3. Aufgabe 3Binomialverteilung Übung · StandardBerechne mindestens 4 Treffer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(X≥4)=5+132=316\mathsf{P(X\ge4)=\frac{5+1}{32}=\frac3{16}}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit316\mathsf{\frac3{16}}
  4. Aufgabe 4Binomialverteilung Übung · StandardBerechne zwischen 2 und 4 Treffer einschließlich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(2≤X≤4)=10+10+532=2532\mathsf{P(2\le X\le4)=\frac{10+10+5}{32}=\frac{25}{32}}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit2532\mathsf{\frac{25}{32}}
  5. Aufgabe 5Binomialverteilung Übung · TransferNun ist die Versuchszahl nvariabel, pbleibt 0,5 und die Versuche unabhängig. Wie viele Versuche brauchst du mindestens für eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent, wenigstens einen Treffer zu erzielen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1−0,53=0,875<0,9\mathsf{1-0{,}5^3=0{,}875<0{,}9}
      1−0,54=0,9375≥0,9\mathsf{1-0{,}5^4=0{,}9375\ge0{,}9}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Wahrscheinlichkeit steigt mit n. Damit ist 4 die kleinste passende Versuchszahl.

    Ergebnis

    1. Minimale Versuchszahl4\mathsf{4}
  6. Aufgabe 6Binomialverteilung Übung · TransferZeichne die Einzelwahrscheinlichkeiten für B(5,0,5)als Säulen. Nutze die Werte 1/32,5/32,10/32,10/32,5/32,1/32 für k=0 bis 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Verteilungsdiagramm

    Vorbereitete Darstellung mit gegebenen Achsen oder Knoten.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Verteilung ist symmetrisch; die beiden höchsten Säulen stehen bei 2 und 3. Jede erreicht 10/32=0,3125.

    Ergebnis

    1. VerteilungsdiagrammSechs korrekt skalierte Säulen zu den angegebenen Brüchen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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