Binomische Formeln · Erklären & üben

Binomische Formel hoch 3

Bei der dritten Potenz einer Summe entstehen vier Glieder. Das Pascalsche Dreieck hilft dir, die Koeffizienten zu ordnen; die Potenzen und Vorzeichen musst du zusätzlich beachten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die dritte Potenz entwickeln

Für reelle a und b gilt $\mathsf{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$ . Die Koeffizienten lauten eins, drei, drei, eins. Die Potenz von a nimmt von drei bis null ab, die von b von null bis drei zu. Die beiden Mittelglieder dürfen nicht fehlen. Die Formel entsteht durch Multiplikation von $\mathsf{(a+b)^2}$ mit $\mathsf{(a+b)}$ .

Bilde die vier Glieder in absteigenden a-Potenzen
Prüfe in jedem Glied die Exponentensumme drei.

Dritte Potenz: vier Glieder mit Koeffizienten eins, drei, drei, eins.

Vier Tabellenzeilen: Koeffizienten eins, drei, drei, eins; a-Exponenten drei, zwei, eins, null; b-Exponenten null, eins, zwei, drei. Glieder a hoch drei, drei a Quadrat b, drei a b Quadrat und b hoch drei.

So geht es am Beispiel

Entwickle $\mathsf{(x+2)^3}$ .

$\mathsf{3x^2\cdot2=6x^2}$

$\mathsf{3x\cdot2^2=12x}$

$\mathsf{2^3=8}$

$\mathsf{(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8}$

So geht es am Beispiel

Warum haben die Mittelglieder den Faktor drei?

Multipliziere $\mathsf{(a^2+2ab+b^2)(a+b)}$ aus.

$\mathsf{a^2\cdot a=a^3}$

$\mathsf{a^2\cdot b=a^2b}$

$\mathsf{2ab\cdot a=2a^2b}$

$\mathsf{2ab\cdot b=2ab^2}$

$\mathsf{b^2\cdot a=ab^2}$

$\mathsf{b^2\cdot b=b^3}$

$\mathsf{a^2b+2a^2b=3a^2b}$

$\mathsf{2ab^2+ab^2=3ab^2}$

Erklärung 02

Minuszeichen und größere Grundgrößen

Setze in die Plusformel minus b ein. Dann erhältst du $\mathsf{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$ . Das erste Mittelglied ist negativ, das zweite positiv. Die Differenz der Kuben $\mathsf{a^3-b^3}$ ist ein anderer Term. Steht beispielsweise zwei x anstelle von a, wird der ganze Ausdruck zwei x potenziert.

Übernimm den gesamten Teilausdruck als a beziehungsweise b
Bestimme jedes Vorzeichen aus der Potenz von minus b.

Bei der dritten Minuspotenz wechseln die Vorzeichen: plus, minus, plus, minus.

Die Potenzen von minus b erzeugen die Zeichen plus, minus, plus, minus. Daraus entstehen a hoch drei minus drei a Quadrat b plus drei a b Quadrat minus b hoch drei.

So geht es am Beispiel

Entwickle $\mathsf{(2x-1)^3}$ .

$\mathsf{(2x)^3=8x^3}$

$\mathsf{-3(2x)^2\cdot1=-12x^2}$

$\mathsf{3(2x)\cdot1^2=6x}$

$\mathsf{-1^3=-1}$

$\mathsf{(2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1}$

Erklärung 03

Vierte Potenz

Die Koeffizienten der vierten Potenz sind eins, vier, sechs, vier, eins. Vollständig lautet die Formel $\mathsf{(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$ . Mit minus b entstehen die Vorzeichen plus, minus, plus, minus, plus: $\mathsf{(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4}$ .

Lies Zeile vier des Pascalschen Dreiecks ab
Kombiniere jeden Koeffizienten mit den passenden Potenzen.

Die vierte Potenz enthält fünf Glieder.

So geht es am Beispiel

Entwickle $\mathsf{(x+1)^4}$ .

$\mathsf{(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1}$

Erklärung 04

Fünfte Potenz und Weiterlernen

Die Koeffizienten der fünften Potenz sind eins, fünf, zehn, zehn, fünf, eins. Es gilt $\mathsf{(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5}$ . Mit minus b lautet die vollständige Formel $\mathsf{(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5}$ . Das Pascalsche Dreieck erklärt, wie diese Koeffizienten durch Nachbaraddition entstehen.

Verwende alle sechs Koeffizienten
Prüfe absteigende und aufsteigende Potenzen sowie das letzte Vorzeichen.

Die fünfte Potenz enthält sechs Glieder.

Zeile drei zeigt eins drei drei eins, Zeile vier eins vier sechs vier eins, Zeile fünf eins fünf zehn zehn fünf eins. Jede Zahl steht für einen Koeffizienten eines eigenen Gliedes.

So geht es am Beispiel

Entwickle $\mathsf{(x-1)^5}$ .

$\mathsf{(x-1)^5=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Binomische Formel hoch 3 · 1Entwickle $\mathsf{(x+3)^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{3x^2\cdot3=9x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3x\cdot3^2=27x}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3^3=27}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{(x+3)^3=x^3+9x^2+27x+27}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{x^3+9x^2+27x+27}$
02
Aufgabe 2Binomische Formel hoch 3 · 1Entwickle $\mathsf{(x-2)^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{-3x^2\cdot2=-6x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3x\cdot2^2=12x}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{-2^3=-8}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{x^3-6x^2+12x-8}$
03
Aufgabe 3Binomische Formel hoch 3 · 2Entwickle $\mathsf{(2x+1)^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(2x)^3=8x^3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3(2x)^2\cdot1=12x^2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3(2x)\cdot1^2=6x}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{1^3=1}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{8x^3+12x^2+6x+1}$
04
Aufgabe 4Binomische Formel hoch 3 · 2Bestimme für $\mathsf{(a-3b)^3}$ nur die beiden Mittelglieder, zuerst das Glied mit a Quadrat und dann das Glied mit a.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittelglied mit a Quadrat
Mittelglied mit a
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{-3a^2\cdot3b=-9a^2b}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3a\cdot(3b)^2=27ab^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mittelglied mit a Quadrat $\mathsf{-9a^2b}$
2. Mittelglied mit a $\mathsf{27ab^2}$
05
Aufgabe 5Binomische Formel hoch 3 · 2Berechne $\mathsf{11^3}$ mithilfe der dritten Potenz von zehn plus eins.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{11^3=(10+1)^3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3\cdot10^2\cdot1=300}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3\cdot10\cdot1^2=30}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{10^3=1000}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{1^3=1}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{1000+300=1300}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  $\mathsf{1300+30=1330}$
8. Schritt 8 · Erklärung
  $\mathsf{1330+1=1331}$
Ergebnis
1. Ergebnis1331
06
Aufgabe 6Binomische Formel hoch 3 · 2Entwickle $\mathsf{(x-1)^4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{x^4-4x^3+6x^2-4x+1}$
07
Aufgabe 7Binomische Formel hoch 3 · 3Entwickle $\mathsf{(x+1)^5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1}$
08
Aufgabe 8Binomische Formel hoch 3 · 3Ist $\mathsf{(a-b)^3=a^3-b^3}$ für alle reellen a und b richtig? Berechne beide Seiten für a gleich drei und b gleich eins getrennt und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Wert der linken Seite
Wert der rechten Seite
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(3-1)^3=2^3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2^3=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3^3=27}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{1^3=1}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{27-1=26}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Wert der linken Seite8
3. Wert der rechten Seite26
4. BegründungDie dritte Potenz einer Differenz enthält zusätzlich die beiden Mittelglieder. Das Gegenbeispiel liefert acht und sechsundzwanzig und widerlegt die allgemeine Gleichheit.
09
Aufgabe 9Binomische Formel hoch 3 · 3Entwickle $\mathsf{(x-2)^5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{-5x^4\cdot2=-10x^4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{10x^3\cdot2^2=40x^3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{-10x^2\cdot2^3=-80x^2}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{5x\cdot2^4=80x}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{-2^5=-32}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{(x-2)^5=x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die verwendeten Grundgrößen.
Ich beachte Mittelglieder, Koeffizienten und Vorzeichen.
Ich kann den nächsten Schritt begründen.

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