Binomische Formeln · Erklären & üben

Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche Dreieck entsteht aus einer einfachen Additionsregel. Seine Zeilen liefern die Koeffizienten beim Ausmultiplizieren von Potenzen einer Summe.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bei Zeile null beginnen

Die oberste Zeile heißt Zeile null und enthält eine Eins. Zeile eins enthält zwei Einsen. Jede weitere Zeile hat am linken und rechten Rand eine Eins. Eine innere Zahl ist die Summe der beiden schräg darüberstehenden Zahlen. Zeile n hat n plus eins Einträge.

Beginne mit der Eins in Zeile null
Setze die Ränder und addiere jeweils die beiden Nachbarn darüber.

Der Zeilenindex beginnt bei null.

Sechs Zeilen mit Index null bis fünf. Die Werte sind eins; eins eins; eins zwei eins; eins drei drei eins; eins vier sechs vier eins; eins fünf zehn zehn fünf eins. Unter Zeile fünf stehen die Positionsindizes null bis fünf.

Die Nachbarn vier und sechs aus Zeile vier zeigen mit zwei Linien zum darunterliegenden Eintrag zehn in Zeile fünf. Randwerte bleiben eins.

So geht es am Beispiel

Erzeuge Zeile drei aus Zeile zwei mit den Einträgen eins, zwei, eins.

Setze außen je eine Eins.

Erster innerer Eintrag: $\mathsf{1+2=3}$ .

Zweiter innerer Eintrag: $\mathsf{2+1=3}$ .

Erklärung 02

Koeffizienten einer Binompotenz

Zeile n liefert die Koeffizienten für $\mathsf{(a+b)^n}$ . Die Potenz von a sinkt dabei von n bis null, während die Potenz von b von null bis n steigt. In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten n. Die Randterme sind die reinen Potenzen von a und b.

Lies die gewünschte Zeile ab
Ergänze die absteigenden a- und aufsteigenden b-Potenzen.

Die Zeile zum Exponenten n hat n plus eins Koeffizienten.

So geht es am Beispiel

Lies die Koeffizienten für $\mathsf{(a+b)^3}$ ab.

Zeile drei enthält eins, drei, drei, eins.

Damit gilt $\mathsf{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$ .

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{(a+b)^4}$ mithilfe von Zeile vier aus.

Zeile vier enthält eins, vier, sechs, vier, eins.

Es folgt $\mathsf{(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$ .

Erklärung 03

Einträge als Binomialkoeffizienten

Der Eintrag an Position k der Zeile n heißt Binomialkoeffizient und wird $\mathsf{\binom{n}{k}}$ geschrieben. Auch die Positionen beginnen bei null. Hier gelten die ganzzahligen Indizes $\mathsf{n\ge0}$ und $\mathsf{0\le k\le n}$ . Der Wert zählt unter anderem die Möglichkeiten, k Elemente aus n verschiedenen Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Eine vollständige Kombinatorik wird im Thema Binomialkoeffizient behandelt.

Zähle zuerst die Zeile ab null
Zähle dann die Position innerhalb dieser Zeile ab null.

Zeilenindex und Positionsindex sind verschiedene Angaben.

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{\binom{5}{2}}$ aus dem Dreieck.

Zeile fünf lautet eins, fünf, zehn, zehn, fünf, eins.

Position null ist die erste Eins. Position zwei ist der dritte Eintrag.

Erklärung 04

Symmetrie, Summen und Vorzeichen

Jede Zeile ist spiegelbildlich. Die Summe aller Einträge in Zeile n ist $\mathsf{2^n}$ ; das folgt aus dem Einsetzen von a und b gleich eins in die Binompotenz. Für $\mathsf{(a-b)^n}$ verwendest du dieselben Koeffizienten, setzt aber minus b ein. Dadurch wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied. Das Dreieck selbst enthält weiterhin positive Einträge.

Nutze die Symmetrie zum Ergänzen
Unterscheide Koeffizienten des Dreiecks und Vorzeichen des Terms.

Die Minusvariante entsteht durch Einsetzen von minus b.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Summe der Einträge in Zeile vier.

$\mathsf{1+4+6+4+1=16}$

$\mathsf{2^4=16}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Pascalsches Dreieck · 1Welche Nummer hat die oberste Zeile? Wie viele Einträge enthält Zeile vier?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nummer der obersten Zeile
Anzahl der Einträge in Zeile vier
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Zählung beginnt bei null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für Zeile vier gilt $\mathsf{4+1=5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nummer der obersten Zeile0
2. Anzahl der Einträge in Zeile vier5
02
Aufgabe 2Pascalsches Dreieck · 1Berechne die beiden inneren Einträge von Zeile drei aus Zeile zwei: eins, zwei, eins. Gib sie von links nach rechts getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker innerer Eintrag
Rechter innerer Eintrag
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{1+2=3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2+1=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker innerer Eintrag3
2. Rechter innerer Eintrag3
03
Aufgabe 3Pascalsches Dreieck · 2Ergänze auf der Vorlage alle sechs Einträge von Zeile fünf. Die Zeilen null bis vier sind vorgegeben. Gib zusätzlich die Summe der neuen Zeile an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe der Zeile fünf
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{1+4=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{4+6=10}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{6+4=10}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{4+1=5}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{1+5+10+10+5+1=32}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Die beiden Randwerte sind eins.
Ergebnis
1. Summe der Zeile fünf32
04
Aufgabe 4Pascalsches Dreieck · 2Bestimme $\mathsf{\binom{5}{2}}$ und $\mathsf{\binom{5}{4}}$ aus dem Dreieck.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eintrag an Position zwei
Eintrag an Position vier
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zeile fünf lautet eins, fünf, zehn, zehn, fünf, eins.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Positionen zwei und vier enthalten zehn und fünf.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eintrag an Position zwei10
2. Eintrag an Position vier5
05
Aufgabe 5Pascalsches Dreieck · 2Welche Zeile liefert die Koeffizienten von $\mathsf{(a+b)^4}$ ? Notiere die fünf Koeffizienten in Reihenfolge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeilenindex
Koeffizienten in Reihenfolge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Exponent bestimmt den Zeilenindex.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeile vier lautet eins, vier, sechs, vier, eins.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zeilenindex4
2. Koeffizienten in Reihenfolge1, 4, 6, 4, 1
06
Aufgabe 6Pascalsches Dreieck · 2Bestimme in $\mathsf{(a+b)^5}$ den Koeffizienten von $\mathsf{a^3b^2}$ und den zugehörigen Positionsindex k.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Koeffizient
Positionsindex k
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Potenz von b ist zwei, also ist die Position zwei.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeile fünf enthält an Position zwei den Wert zehn.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Koeffizient10
2. Positionsindex k2
07
Aufgabe 7Pascalsches Dreieck · 3Bestimme die Summe der Einträge von Zeile sechs, ohne alle Einträge einzeln zu addieren. Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeilensumme
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2^6=64}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Summe der Einträge in Zeile n ist zwei hoch n.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zeilensumme64
2. BegründungSetzt man in der Binompotenz beide Größen gleich eins, ergibt die Summe aller Koeffizienten zwei hoch sechs.
08
Aufgabe 8Pascalsches Dreieck · 3Ist $\mathsf{\binom{4}{5}}$ als Eintrag der hier definierten Dreieckszeilen vorhanden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vorhanden?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für Einträge in Zeile vier muss $\mathsf{0\le k\le4}$ gelten.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Position fünf liegt außerhalb dieser Zeile.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vorhanden?Nein
2. BegründungZeile vier hat die Positionen null bis vier. Position fünf gehört nicht zu dieser Zeile; erweiterte Konventionen außerhalb des Dreiecks werden hier nicht verwendet.
09
Aufgabe 9Pascalsches Dreieck · 3Gib die Vorzeichenfolge der fünf Glieder von $\mathsf{(a-b)^4}$ an. Werden dafür negative Zahlen in das Pascalsche Dreieck eingetragen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vorzeichenfolge
Negative Dreieckseinträge nötig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Potenzen von minus b haben abwechselnde Vorzeichen: $\mathsf{(-b)^0,(-b)^1,(-b)^2,(-b)^3,(-b)^4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Gerade Exponenten liefern positive, ungerade negative Vorzeichen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VorzeichenfolgePlus, Minus, Plus, Minus, Plus
2. Negative Dreieckseinträge nötig?Nein
3. BegründungDie Koeffizienten bleiben eins, vier, sechs, vier, eins. Die Vorzeichen entstehen erst durch die Potenzen von minus b.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die verwendeten Grundgrößen.
Ich beachte Mittelglieder, Koeffizienten und Vorzeichen.
Ich kann den nächsten Schritt begründen.

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