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Binomische Formeln · Erklären & üben

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln beschreiben drei häufige Produkte. Sie helfen beim Ausmultiplizieren, beim Rechnen im Kopf und beim Erkennen von Quadraten. Alle drei gelten für beliebige reelle Zahlen a und b.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei Muster erkennen

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern. Beim Quadrieren wird die gesamte Klammer mit sich selbst multipliziert. Die ersten beiden Formeln enthalten daher ein Mittelglied. Bei der dritten Formel haben die beiden Faktoren entgegengesetzte Vorzeichen vor b: Die gemischten Produkte heben sich auf.

  1. Erkenne Quadrat oder Produkt zweier verschiedener Klammern.

  2. Bestimme die vollständigen Ausdrücke an den Stellen von a und b.

  3. Wende das passende Muster an.

(a+b)2=a2+2ab+b2\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2} (a−b)2=a2−2ab+b2\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2} (a+b)(a−b)=a2−b2\mathsf{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}

Die ersten beiden Formeln besitzen ein Mittelglied plus oder minus 2ab. Die dritte ergibt eine Differenz von Quadraten.

So geht es am Beispiel

Multipliziere (x+4)2\mathsf{(x+4)^2} aus.

Das Quadrat ist ein Produkt: (x+4)2=(x+4)(x+4)\mathsf{(x+4)^2=(x+4)(x+4)}

Verteile beide Faktoren: (x+4)(x+4)=x2+4x+4x+16\mathsf{(x+4)(x+4)=x^2+4x+4x+16}

Die gemischten Produkte ergeben 4x+4x=8x\mathsf{4x+4x=8x}

Ergebnis

Es entsteht x2+8x+16\mathsf{x^2+8x+16}.

Erklärung 02

Vorzeichen und ganze Faktoren

Das Mittelglied lautet plus oder minus zweimal a mal b. Auch ein Ausdruck wie 3x wird vollständig quadriert. Bei der zweiten Formel ist das letzte Glied plus b²: Minus b mal minus b ist positiv. Bei der dritten Formel bleibt eine Differenz von Quadraten.

  1. Quadriere den ersten vollständigen Ausdruck.

  2. Berechne das Mittelglied, falls die erste oder zweite Formel vorliegt.

  3. Quadriere den zweiten Ausdruck und beachte das richtige Vorzeichen.

Das Quadrat einer Differenz und die Differenz zweier Quadrate sind verschiedene Terme.

So geht es am Beispiel

Multipliziere (2x−3)2\mathsf{(2x-3)^2} aus.

Erster Quadratteil: (2x)2=4x2\mathsf{(2x)^2=4x^2}

Das Mittelglied ist −2⋅2x⋅3=−12x\mathsf{-2\cdot2x\cdot3=-12x}

Der letzte Quadratteil ist 32=9\mathsf{3^2=9}

Ergebnis

Der vollständige Term lautet 4x2−12x+9\mathsf{4x^2-12x+9}.

So geht es am Beispiel

Vereinfache (y+5)(y−5)\mathsf{(y+5)(y-5)}.

Die Faktoren passen zur dritten Formel: (y+5)(y−5)=y2−52\mathsf{(y+5)(y-5)=y^2-5^2}

Das Zahlenquadrat ist 52=25\mathsf{5^2=25}

Ergebnis

Das Ergebnis ist y2−25\mathsf{y^2-25}.

Erklärung 03

Quadratzahlen im Kopf

Eine Zahl nahe einem Zehner oder Hunderter lässt sich als Summe oder Differenz schreiben. Die Zerlegung muss die Ausgangszahl exakt treffen. Die binomische Formel liefert dann eine exakte Rechnung, keinen Überschlag.

  1. Schreibe die Zahl als einfache Summe oder Differenz.

  2. Berechne beide Quadrate und das doppelte Produkt getrennt.

  3. Addiere oder subtrahiere in der richtigen Reihenfolge.

Das Mittelglied gehört auch bei Zahlen vollständig dazu.

So geht es am Beispiel

Berechne 1032\mathsf{103^2}.

Zerlegung: 1032=(100+3)2\mathsf{103^2=(100+3)^2}

Das erste Quadrat ist 1002=10000\mathsf{100^2=10000}

Das Mittelglied ist 2⋅100⋅3=600\mathsf{2\cdot100\cdot3=600}

Das zweite Quadrat ist 32=9\mathsf{3^2=9}

Zunächst addieren: 10000+600=10600\mathsf{10000+600=10600}

Dann folgt 10600+9=10609\mathsf{10600+9=10609}

Ergebnis

1032=10609\mathsf{103^2=10609}

So geht es am Beispiel

Berechne 982\mathsf{98^2}.

Zerlegung: 982=(100−2)2\mathsf{98^2=(100-2)^2}

Das erste Quadrat ist 1002=10000\mathsf{100^2=10000}

Das doppelte Produkt ist 2⋅100⋅2=400\mathsf{2\cdot100\cdot2=400}

Das zweite Quadrat ist 22=4\mathsf{2^2=4}

Zuerst subtrahieren: 10000−400=9600\mathsf{10000-400=9600}

Dann addieren: 9600+4=9604\mathsf{9600+4=9604}

Ergebnis

982=9604\mathsf{98^2=9604}

Erklärung 04

Rückwärts als Produkt schreiben

Beim Faktorisieren erkennst du die Formel von rechts nach links. Zwei Quadrate allein reichen bei einem dreigliedrigen Term nicht: Auch das Mittelglied muss genau passen. Ein Flächenmodell mit Seiten a und b veranschaulicht die erste Formel für positive Längen. Die algebraischen Formeln gelten auch für negative Zahlen.

Weiterlernen: Die zweite und dritte binomische Formel haben eigene ausführliche Herleitungen. Weitere gemischte Aufgaben findest du im Thema „Binomische Formeln Aufgaben“.

  1. Erkenne die beiden Quadrate.

  2. Prüfe das doppelte Produkt und sein Vorzeichen.

  3. Schreibe den vollständigen Klammerausdruck.

a2+2ab+b2=(a+b)2\mathsf{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}

Ein Quadrat der Seite a plus b besteht aus a Quadrat, zwei Rechtecken mit Fläche ab und b Quadrat. Beide Längen sind positiv.
Die Glieder x Quadrat, 12x und 36 passen vollständig zum Quadrat von x plus 6. Das Mittelglied ist zweimal x mal 6.

So geht es am Beispiel

Faktorisiere x2+12x+36\mathsf{x^2+12x+36}.

Das letzte Glied ist 36=62\mathsf{36=6^2}

Das doppelte Produkt passt: 2⋅x⋅6=12x\mathsf{2\cdot x\cdot6=12x}

Daher gilt x2+12x+36=(x+6)2\mathsf{x^2+12x+36=(x+6)^2}

Ergebnis

Die Produktform ist (x+6)2\mathsf{(x+6)^2}.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Binomische Formeln · BasisMultipliziere (x+2)2\mathsf{(x+2)^2} aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Erstes Quadrat: x2\mathsf{x^2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Mittelglied: 2⋅x⋅2=4x\mathsf{2\cdot x\cdot2=4x}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Letztes Quadrat: 22=4\mathsf{2^2=4}

    Ergebnis

    1. Ausmultiplizierter Termx2+4x+4\mathsf{x^2+4x+4}
  2. Aufgabe 2Binomische Formeln · BasisMultipliziere (y−5)2\mathsf{(y-5)^2} aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Erstes Quadrat: y2\mathsf{y^2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Mittelglied: −2⋅y⋅5=−10y\mathsf{-2\cdot y\cdot5=-10y}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Letztes Quadrat: 52=25\mathsf{5^2=25}

    Ergebnis

    1. Ausmultiplizierter Termy2−10y+25\mathsf{y^2-10y+25}
  3. Aufgabe 3Binomische Formeln · BasisVereinfache (z+7)(z−7)\mathsf{(z+7)(z-7)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Dritte Formel: (z+7)(z−7)=z2−72\mathsf{(z+7)(z-7)=z^2-7^2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zahlenquadrat: 72=49\mathsf{7^2=49}

    Ergebnis

    1. Vereinfachter Termz2−49\mathsf{z^2-49}
  4. Aufgabe 4Binomische Formeln · ÜbungMultipliziere (3a+2)2\mathsf{(3a+2)^2} aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Erstes Quadrat: (3a)2=9a2\mathsf{(3a)^2=9a^2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Mittelglied: 2⋅3a⋅2=12a\mathsf{2\cdot3a\cdot2=12a}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Letztes Quadrat: 22=4\mathsf{2^2=4}

    Ergebnis

    1. Ausmultiplizierter Term9a2+12a+4\mathsf{9a^2+12a+4}
  5. Aufgabe 5Binomische Formeln · ÜbungBerechne 512\mathsf{51^2} mit einer binomischen Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      512=(50+1)2\mathsf{51^2=(50+1)^2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Erstes Quadrat: 502=2500\mathsf{50^2=2500}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Mittelglied: 2⋅50⋅1=100\mathsf{2\cdot50\cdot1=100}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Letztes Quadrat: 12=1\mathsf{1^2=1}

    5. Schritt 5 · Erklärung

      Erste Addition: 2500+100=2600\mathsf{2500+100=2600}

    6. Schritt 6 · Erklärung

      Zweite Addition: 2600+1=2601\mathsf{2600+1=2601}

    Ergebnis

    1. Quadratzahl2601
  6. Aufgabe 6Binomische Formeln · ÜbungFaktorisiere x2−14x+49\mathsf{x^2-14x+49}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      49=72\mathsf{49=7^2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Das Mittelglied passt: −2⋅x⋅7=−14x\mathsf{-2\cdot x\cdot7=-14x}

    Ergebnis

    1. Produktform(x−7)2\mathsf{(x-7)^2}
  7. Aufgabe 7Binomische Formeln · TransferFaktorisiere 9t2−16\mathsf{9t^2-16}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Erstes Quadrat: 9t2=(3t)2\mathsf{9t^2=(3t)^2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zweites Quadrat: 16=42\mathsf{16=4^2}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Dritte Formel rückwärts: (3t)2−42=(3t+4)(3t−4)\mathsf{(3t)^2-4^2=(3t+4)(3t-4)}

    Ergebnis

    1. Produktform(3t+4)(3t−4)\mathsf{(3t+4)(3t-4)}
  8. Aufgabe 8Binomische Formeln · TransferGilt (a+b)2=a2+b2\mathsf{(a+b)^2=a^2+b^2} für alle reellen a und b? Gib den korrekten Term an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Das Ausmultiplizieren liefert a2+ab+ab+b2\mathsf{a^2+ab+ab+b^2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Die beiden gemischten Produkte ergeben ab+ab=2ab\mathsf{ab+ab=2ab}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Die behauptete allgemeine Formel lässt dieses Mittelglied weg.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UrteilNein.
    2. Korrekter Terma2+2ab+b2\mathsf{a^2+2ab+b^2}
    3. BegründungBeim Ausmultiplizieren entstehen zwei gemischte Produkte ab. Sie fehlen in der Behauptung.
  9. Aufgabe 9Binomische Formeln · TransferErgänze die beiden Lücken einzeln: x2+□x+64=(x+8)2\mathsf{x^2+\square x+64=(x+8)^2} und 4y2−12y+□=(2y−3)2\mathsf{4y^2-12y+\square=(2y-3)^2}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Erstes Mittelglied: 2⋅x⋅8=16x\mathsf{2\cdot x\cdot8=16x}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Daher ist der erste Koeffizient 16.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Zweites letztes Quadrat: 32=9\mathsf{3^2=9}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Koeffizient vor x16
    2. Konstantes Glied im zweiten Term9

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide alle drei Formeln.
  • Ich berechne jedes Mittelglied vollständig.
  • Ich nutze Formeln in beiden Richtungen.
  • Ich berechne Quadratzahlen mit einer exakten Zerlegung.

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