Binomische Formeln · Erklären & üben

Binomische Formeln Aufgaben

Erkenne zuerst die Struktur des Terms. Danach setzt du die passenden Größen in eine binomische Formel ein und vereinfachst sorgfältig.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei Muster erkennen

Für reelle Zahlen gelten die drei Muster $\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$ , $\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$ und $\mathsf{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$ . Bei den Quadraten darf das Mittelglied nicht fehlen. Die dritte Formel betrifft zwei Klammern mit gleichen Größen und entgegengesetztem Vorzeichen dazwischen.

Bestimme a und b als ganze Teilausdrücke
Wähle das passende Muster.

Ein Quadrat einer Summe ist nicht die Summe der Quadrate.

Drei beschriftete Zeilen zeigen das Quadrat einer Summe mit positivem Mittelglied, das Quadrat einer Differenz mit negativem Mittelglied und positivem Endquadrat sowie das Produkt aus Summe und Differenz als Differenz der Quadrate.

So geht es am Beispiel

Entwickle $\mathsf{(x+4)^2}$ .

Hier sind $\mathsf{a=x}$ und $\mathsf{b=4}$ .

Das Mittelglied ist $\mathsf{2\cdot x\cdot4=8x}$ .

Das letzte Quadrat ist $\mathsf{4^2=16}$ .

Zusammen ergibt sich $\mathsf{(x+4)^2=x^2+8x+16}$ .

Erklärung 02

Vorzeichen und größere Teilausdrücke

Beim Quadrat einer Differenz ist das Mittelglied negativ und das letzte Quadrat positiv. Wird etwa zwei x quadriert, müssen Zahlfaktor und Variable quadriert werden. Auch ein Bruch kann eine der beiden Größen sein.

Berechne beide Quadrate und das Mittelglied getrennt
Setze danach die Zeichen des Musters ein.

Das letzte Glied eines Differenzquadrats ist positiv.

Das Quadrat von zwei x minus drei zerfällt in vier x Quadrat, das Mittelglied minus zwölf x und das positive Endglied neun. Alle drei Teile sind einzeln beschriftet.

So geht es am Beispiel

Entwickle $\mathsf{(2x-3)^2}$ .

$\mathsf{(2x)^2=4x^2}$

$\mathsf{2\cdot2x\cdot3=12x}$

$\mathsf{3^2=9}$

$\mathsf{(2x-3)^2=4x^2-12x+9}$

So geht es am Beispiel

Entwickle $\mathsf{(3x+2)(3x-2)}$ .

$\mathsf{(3x)^2=9x^2}$

$\mathsf{2^2=4}$

$\mathsf{(3x+2)(3x-2)=9x^2-4}$

Erklärung 03

Ergänzen und rückwärts erkennen

Beim Ergänzen vergleichst du alle Koeffizienten mit dem Muster. Ein passendes Anfangs- und Endquadrat allein genügt nicht: Auch das Mittelglied muss stimmen. Rückwärts kannst du so eine ausmultiplizierte Summe als Quadrat oder eine Differenz zweier Quadrate als Produkt schreiben.

Bestimme die beiden möglichen Grundgrößen
Prüfe das Mittelglied beziehungsweise die Differenzstruktur.

Alle Glieder müssen zum selben Muster passen.

So geht es am Beispiel

Ergänze $\mathsf{x^2+\square x+25=(x+5)^2}$ .

$\mathsf{2\cdot x\cdot5=10x}$

So geht es am Beispiel

Faktorisiere $\mathsf{x^2-49}$ .

$\mathsf{49=7^2}$

$\mathsf{x^2-7^2=(x+7)(x-7)}$

Erklärung 04

Zusammenfassen und geschickt rechnen

Entwickle mehrere Klammern zunächst getrennt. Beim Subtrahieren eines ganzen ausmultiplizierten Terms musst du alle seine Vorzeichen beachten. Für große Quadrate kannst du die Nähe zu einem Zehner oder Hunderter nutzen. Die Themen Binomische Formeln und die einzelnen Formeln erklären die Muster ausführlich; hier steht ihre gemischte Anwendung im Mittelpunkt.

Entwickle jeden Term einzeln
Fasse danach nur gleichartige Terme zusammen.

Eine äußere Minusklammer wirkt auf alle inneren Glieder.

Achtundneunzig Quadrat wird als hundert minus zwei in Klammern zum Quadrat berechnet. Zehntausend minus vierhundert plus vier ergibt neuntausendsechshundertvier.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{98^2}$ mithilfe einer binomischen Formel.

$\mathsf{98^2=(100-2)^2}$

$\mathsf{(100-2)^2=10000-400+4}$

$\mathsf{10000-400=9600}$

$\mathsf{9600+4=9604}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Binomische Formeln Aufgaben · 1Entwickle $\mathsf{(x+6)^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2\cdot x\cdot6=12x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{6^2=36}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(x+6)^2=x^2+12x+36}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{x^2+12x+36}$
02
Aufgabe 2Binomische Formeln Aufgaben · 1Entwickle $\mathsf{(x-5)^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2\cdot x\cdot5=10x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{5^2=25}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(x-5)^2=x^2-10x+25}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{x^2-10x+25}$
03
Aufgabe 3Binomische Formeln Aufgaben · 1Entwickle $\mathsf{(4x+3)(4x-3)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(4x)^2=16x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3^2=9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(4x+3)(4x-3)=16x^2-9}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{16x^2-9}$
04
Aufgabe 4Binomische Formeln Aufgaben · 2Entwickle $\mathsf{(3x-2)^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(3x)^2=9x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2\cdot3x\cdot2=12x}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{2^2=4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{(3x-2)^2=9x^2-12x+4}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{9x^2-12x+4}$
05
Aufgabe 5Binomische Formeln Aufgaben · 2Ergänze den Koeffizienten in $\mathsf{x^2+\square x+64=(x+8)^2}$ . Ergänze anschließend die Konstante in $\mathsf{x^2-14x+\square=(x-7)^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlender Koeffizient der ersten Gleichung
Fehlende Konstante der zweiten Gleichung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2\cdot x\cdot8=16x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{7^2=49}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehlender Koeffizient der ersten Gleichung16
2. Fehlende Konstante der zweiten Gleichung49
06
Aufgabe 6Binomische Formeln Aufgaben · 2Schreibe $\mathsf{4x^2+20x+25}$ als Quadrat. Faktorisiere außerdem $\mathsf{9x^2-16}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quadratdarstellung
Produktdarstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(2x)^2=4x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2\cdot2x\cdot5=20x}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{5^2=25}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{4x^2+20x+25=(2x+5)^2}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{9x^2-16=(3x)^2-4^2}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{(3x)^2-4^2=(3x+4)(3x-4)}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quadratdarstellung $\mathsf{ (2x+5)^2 }$
2. Produktdarstellung $\mathsf{(3x+4)(3x-4)}$
07
Aufgabe 7Binomische Formeln Aufgaben · 3Vereinfache $\mathsf{(x+3)^2-(x-3)^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(x+3)^2=x^2+6x+9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(x-3)^2=x^2-6x+9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(x+3)^2-(x-3)^2=x^2+6x+9-(x^2-6x+9)}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{x^2+6x+9-(x^2-6x+9)=x^2+6x+9-x^2+6x-9}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{x^2+6x+9-x^2+6x-9=12x}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{12x}$
08
Aufgabe 8Binomische Formeln Aufgaben · 3Berechne $\mathsf{103^2}$ und $\mathsf{97^2}$ mithilfe binomischer Formeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quadrat von 103
Quadrat von 97
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{103^2=(100+3)^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(100+3)^2=10000+600+9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{10000+600=10600}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{10600+9=10609}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{97^2=(100-3)^2}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{(100-3)^2=10000-600+9}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  $\mathsf{10000-600=9400}$
8. Schritt 8 · Erklärung
  $\mathsf{9400+9=9409}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quadrat von 10310609
2. Quadrat von 979409
09
Aufgabe 9Binomische Formeln Aufgaben · 3Ist $\mathsf{(x-4)^2=x^2-16}$ für alle reellen x richtig? Korrigiere den rechten Term und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Term
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2\cdot x\cdot4=8x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{4^2=16}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(x-4)^2=x^2-8x+16}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Richtiger Term $\mathsf{x^2-8x+16}$
3. BegründungEs handelt sich um ein Differenzquadrat mit dem Mittelglied minus acht x und positivem Endglied sechzehn. Die Differenz der Quadrate gehört zu zwei verschiedenen Klammern.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die verwendeten Grundgrößen.
Ich beachte Mittelglieder, Koeffizienten und Vorzeichen.
Ich kann den nächsten Schritt begründen.

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