Kreis und Bogenmaß · Erklären & üben

Bogenlänge berechnen

Die Bogenlänge misst den Weg entlang eines Kreisbogens. Sie ist eine Länge, keine Fläche und auch nicht die gerade Verbindung seiner Endpunkte.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Formel aus dem Umfang herleiten

Der ganze Kreis hat Umfang $\mathsf{2\pi r}$ und Mittelpunktswinkel $\mathsf{360^\circ}$ . Ein Kreisbogen erhält denselben Anteil des Umfangs wie sein Winkel am Vollwinkel. Die Formel gilt auch für große Bögen über einem Halbkreis; der gemeinte Bogen muss eindeutig markiert sein.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{b=\frac\alpha{360^\circ}\cdot2\pi r}$

So geht es am Beispiel

Berechne den Bogen für $\mathsf{r=9\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=40^\circ}$ .

\mathsf{b=\frac{40}{360}\cdot2\pi\cdot9=2\pi\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Mit Bogenmaß rechnen und umstellen

Liegt der Winkel im Bogenmaß vor, vereinfacht sich die Rechnung zu Radius mal Winkel. Zum Umstellen teilst du durch den bekannten Faktor. Gradwerte dürfen in diese vereinfachte Formel erst nach Umrechnung eingesetzt werden.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{b=r\varphi,\qquad\varphi=b/r}$

So geht es am Beispiel

Ein Kreisbogen hat $\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\varphi=1{,}2\,\mathsf{rad}}$ . Bestimme seine Länge.

\mathsf{b=5\cdot1{,}2\,\mathsf{cm}=6\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Bogen, Sehne und allgemeine Kurvenlänge

Die Sehne verbindet die Bogenendpunkte geradlinig und ist bei einem echten Kreisbogen kürzer als der Bogen. Für eine beliebige Kurve gilt die Kreisformel nicht. Die Länge eines Funktionsgraphen wird in der weiterführenden Analysis unter zusätzlichen Voraussetzungen mit Ableitung und Integral bestimmt; dieses Kreispaket setzt diese Verfahren nicht voraus.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{b_{\mathsf{Halbkreis}}=\pi r>2r}$

So geht es am Beispiel

Ein Kreisbogen ist $\mathsf{4\pi\,\mathsf{cm}}$ lang und hat Radius $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme den Mittelpunktswinkel.

\mathsf{\alpha=\frac{4\pi}{2\pi\cdot6}\cdot360^\circ=120^\circ}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Bogenlänge berechnen · standard $\mathsf{r=6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=60^\circ}$ . Berechne den Bogen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bogenlänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=\frac16\cdot2\pi\cdot6=2\pi\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Bogenlänge $\mathsf{2\pi\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Bogenlänge berechnen · standardDer Durchmesser beträgt $\mathsf{10\,\mathsf{cm}}$ , der Winkel $\mathsf{90^\circ}$ . Berechne den Bogen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bogenlänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{b=\frac14\cdot2\pi\cdot5=\frac{5\pi}2\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Bogenlänge $\mathsf{\frac{5\pi}2\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3Bogenlänge berechnen · standard $\mathsf{b=3\pi\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=90^\circ}$ . Bestimme den Radius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\pi=\frac14\cdot2\pi r}$
  $\mathsf{r=6\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Radius $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Bogenlänge berechnen · standardZeichne den Kreis um M durch A. Verlängere AM durch M bis zum gegenüberliegenden Kreispunkt B. Markiere den oberen Halbkreisbogen von A nach B und beschrifte seine Länge mithilfe des Radius r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Halbkreiszeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Halbkreiszeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Strecke AB ist ein Durchmesser.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der obere Bogen entspricht dem halben Umfang.
  $\mathsf{b=\pi r}$
Ergebnis
1. HalbkreiszeichnungKreis, gegenüberliegender Punkt B, Durchmesser AB und oberer Bogen mit b=πr.
05
Aufgabe 5Bogenlänge berechnen · standard $\mathsf{r=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\varphi=0{,}75\,\mathsf{rad}}$ . Berechne den Bogen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bogenlänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=8\cdot0{,}75\,\mathsf{cm}=6\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Bogenlänge $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$
06
Aufgabe 6Bogenlänge berechnen · standardVergleiche bei Radius $\mathsf{r=2\,\mathsf{cm}}$ einen Halbkreisbogen mit seiner Sehne. Gib beide Längen exakt an und entscheide, welche größer ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bogen
Sehne
Vergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=\pi r=2\pi\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{s=2r=4\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{2\pi>4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bogen $\mathsf{2\pi\,\mathsf{cm}}$
2. Sehne $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$
3. VergleichDer Bogen ist länger.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Radius, Winkel, Bogenlänge und Fläche.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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