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Kreis und Bogenmaß · Erklären & üben

Kreisgleichung

Eine Kreisgleichung beschreibt alle Punkte mit demselben Abstand vom Mittelpunkt. Sie verbindet die Kreiszeichnung mit Koordinaten und dem Satz des Pythagoras.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mittelpunkt und Radius ablesen

Für M(a∣b)\mathsf{M(a|b)} und r>0\mathsf{r>0} beschreibt die Mittelpunktform alle Punkte der Kreislinie. Manche Darstellungen nennen die ausmultiplizierte Gleichung Normalform: x2+y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0\mathsf{x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0}. Zum Aufstellen setzt du Mittelpunkt und Radius ein; zum Prüfen setzt du die Punktkoordinaten ein.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

(x−a)2+(y−b)2=r2\mathsf{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}

Radius und Durchmesser

So geht es am Beispiel

Stelle den Kreis mit M(2∣−1)\mathsf{M(2|-1)} und r=3\mathsf{r=3} auf.

(x−2)2+(y+1)2=9\mathsf{(x-2)^2+(y+1)^2=9}

Die Koordinate -1 führt zur Klammer y+1.

Ergebnis

(x−2)2+(y+1)2=9\mathsf{(x-2)^2+(y+1)^2=9}

Erklärung 02

Parameter, Halbkreise und Punktlage

Die Parameterform durchläuft den Kreis mit x=a+rcos⁡t\mathsf{x=a+r\cos t}, y=b+rsin⁡t\mathsf{y=b+r\sin t} für 0≤t<2π\mathsf{0\le t<2\pi}. Der gesamte Kreis ist keine eindeutige Funktion von x, denn meist gehören zwei y-Werte dazu. Die Halbkreise lauten y=b±r2−(x−a)2\mathsf{y=b\pm\sqrt{r^2-(x-a)^2}} mit a−r≤x≤a+r\mathsf{a-r\le x\le a+r}. Ein Punkt liegt innen, auf oder außen, wenn seine quadrierte Entfernung zu M kleiner, gleich oder größer als r2\mathsf{r^2} ist.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

x=a+rcos⁡t,y=b+rsin⁡t\mathsf{x=a+r\cos t,\qquad y=b+r\sin t}

So geht es am Beispiel

Beschreibe den Kreis um den Ursprung mit Radius 2 in Parameterform und als Halbkreise.

x=2cos⁡t,y=2sin⁡t\mathsf{x=2\cos t,\quad y=2\sin t}
y=±4−x2,−2≤x≤2\mathsf{y=\pm\sqrt{4-x^2},\quad-2\le x\le2}

Ergebnis

Parameter 0≤t<2π\mathsf{0\le t<2\pi}; oberer und unterer Halbkreis durch die beiden Vorzeichen.

Erklärung 03

Zwei Kreisgleichungen gemeinsam lösen

Ein Schnittpunkt muss beide Gleichungen erfüllen. Subtraktion kann die Quadrate beseitigen und eine Gerade liefern. Setze diese Beziehung in eine Kreisgleichung ein. Zwei verschiedene Kreise haben null, einen oder zwei gemeinsame Punkte; identische Kreise unendlich viele.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

x2+y2=25,(x−6)2+y2=25\mathsf{x^2+y^2=25,\qquad(x-6)^2+y^2=25}

Zwei Kreise: gemeinsame Punkte

So geht es am Beispiel

Bestimme die gemeinsamen Punkte der beiden angegebenen Kreise.

−12x+36=0⇒x=3\mathsf{-12x+36=0\quad\Rightarrow\quad x=3}
9+y2=25⇒y=±4\mathsf{9+y^2=25\quad\Rightarrow\quad y=\pm4}

Ergebnis

S1(3∣4),S2(3∣−4)\mathsf{S_1(3|4),\quad S_2(3|-4)}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kreisgleichung · standardStelle die Kreisgleichung zu M(1∣2)\mathsf{M(1|2)} und r=4\mathsf{r=4} auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x−1)2+(y−2)2=42\mathsf{(x-1)^2+(y-2)^2=4^2}

    Ergebnis

    1. Kreisgleichung(x−1)2+(y−2)2=16\mathsf{(x-1)^2+(y-2)^2=16}
  2. Aufgabe 2Kreisgleichung · standardPrüfe, ob P(1∣7)\mathsf{P(1|7)} auf dem Kreis mit M(−2∣3)\mathsf{M(-2|3)} und r=5\mathsf{r=5} liegt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (1+2)2+(7−3)2=9+16=25=52\mathsf{(1+2)^2+(7-3)^2=9+16=25=5^2}

    Ergebnis

    1. PunktlageP liegt auf dem Kreis.
  3. Aufgabe 3Kreisgleichung · standardOrdne P(1∣1)\mathsf{P(1|1)} und Q(6∣0)\mathsf{Q(6|0)} zum Kreis x2+y2=25\mathsf{x^2+y^2=25} ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      12+12=2<25\mathsf{1^2+1^2=2<25}
      62+02=36>25\mathsf{6^2+0^2=36>25}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Punkt PInnen.
    2. Punkt QAußen.
  4. Aufgabe 4Kreisgleichung · standardZeichne im Raster den Kreis mit Mittelpunkt M(4∣3)\mathsf{M(4|3)} und Radius 2\mathsf{2} Einheiten. Zeichne und beschrifte einen Radius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Kreiszeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Stelle den Zirkel auf zwei Rastereinheiten.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Die äußersten Kreispunkte sind (2|3), (6|3), (4|1) und (4|5).

    Ergebnis

    1. KreiszeichnungKreis um M(4|3) mit Radius2 und einem beschrifteten Radius.
  5. Aufgabe 5Kreisgleichung · standardFür x=3cos⁡t\mathsf{x=3\cos t}, y=3sin⁡t\mathsf{y=3\sin t} sei t=π/2\mathsf{t=\pi/2}. Bestimme den Kreispunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      cos⁡(π/2)=0,sin⁡(π/2)=1\mathsf{\cos(\pi/2)=0,\quad\sin(\pi/2)=1}
      x=0,y=3\mathsf{x=0,\quad y=3}

    Ergebnis

    1. PunktP(0∣3)\mathsf{P(0|3)}
  6. Aufgabe 6Kreisgleichung · standardBerechne die Schnittpunkte von x2+y2=25\mathsf{x^2+y^2=25} und (x−6)2+y2=25\mathsf{(x-6)^2+y^2=25}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x−6)2−x2=0⇒−12x+36=0\mathsf{(x-6)^2-x^2=0\quad\Rightarrow\quad-12x+36=0}
      x=3,y2=25−9=16\mathsf{x=3,\quad y^2=25-9=16}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erster SchnittpunktS1(3∣4)\mathsf{S_1(3|4)}
    2. Zweiter SchnittpunktS2(3∣−4)\mathsf{S_2(3|-4)}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Radius, Winkel, Bogenlänge und Fläche.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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