Brüche umformen · Erklären & üben

Bruch in Prozent

Prozent bedeutet „von hundert“. Ein Bruch und eine Prozentangabe können denselben Anteil beschreiben. Entscheidend ist, dass sie sich auf dasselbe Ganze beziehen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Auf Hundertstel bringen

Ein Prozent ist ein Hundertstel. Wenn du einen Bruch auf den Nenner 100 bringen kannst, liest du seine Prozentzahl am Zähler ab. Beim Erweitern oder Kürzen musst du Zähler und Nenner mit derselben von null verschiedenen Zahl verändern.

Allgemein gilt: Der Zahlenwert der Prozentangabe ist das Hundertfache des Bruchwerts. Die Prozentangabe selbst beschreibt weiterhin denselben Anteil, weil das Prozentzeichen „geteilt durch 100“ bedeutet.

Suche einen Weg zum Nenner 100.
Verändere Zähler und Nenner gleich.
Schreibe den neuen Zähler mit Prozentzeichen.

$\mathsf{\frac{p}{100}=p\,\%}$

Zwanzig gleich große Rechteckfelder bilden ein Ganzes. 7 Felder sind markiert.

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{\frac{7}{20}}$ in Prozent um.

Der Nenner wird mit 5 multipliziert: $\mathsf{20\cdot5=100}$

Der Zähler wird ebenso multipliziert: $\mathsf{7\cdot5=35}$

Der Anteil ist gleich geblieben: $\mathsf{\frac{7}{20}=\frac{35}{100}}$

In Prozent lautet das $\mathsf{\frac{35}{100}=35\,\%}$

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{\frac{45}{300}}$ durch Kürzen in Prozent um.

Der Nenner wird durch 3 geteilt: $\mathsf{300:3=100}$

Der Zähler wird ebenfalls geteilt: $\mathsf{45:3=15}$

Damit gilt $\mathsf{\frac{45}{300}=\frac{15}{100}}$

Die Prozentangabe ist $\mathsf{\frac{15}{100}=15\,\%}$

Erklärung 02

Dezimalzahlen, Perioden und Rundung

Nicht jeder Bruch lässt sich mit einem ganzzahligen Zähler über 100 schreiben. Du kannst den Zähler durch den Nenner teilen und den Dezimalwert mit 100 multiplizieren, um die Prozentzahl zu erhalten.

Ein endlicher Dezimalwert kann eine nichtganze Prozentzahl liefern. Bei periodischen Dezimalwerten kannst du die Prozentangabe exakt als Bruch lassen oder sie auf eine ausdrücklich genannte Stelle runden. Nur das gerundete Ergebnis erhält ein Näherungszeichen.

Teile den Zähler durch den Nenner.
Bestimme daraus die hundertfache Prozentzahl.
Trenne den exakten Wert vom gerundeten Wert.

Runde erst am Ende und nenne die Nachkommastellen.

Zwei gleich lange Ganzesstreifen. Oben drei von acht Teilen, unten 37,5 Prozent der gleichen Länge markiert.

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{\frac{3}{8}}$ in Prozent um.

Die Division ergibt $\mathsf{3:8=0{,}375}$

Die Prozentzahl ist $\mathsf{0{,}375\cdot100=37{,}5}$

Daher gilt exakt $\mathsf{\frac{3}{8}=37{,}5\,\%}$

37,5 ist keine ganze Zahl; der Anteil besteht nicht aus einer ganzen Anzahl Hundertstel.

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{\frac{2}{3}}$ exakt und gerundet auf zwei Nachkommastellen in Prozent um.

Die Prozentzahl ergibt sich als $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot100=\frac{200}{3}}$

Als gemischte Zahl ist $\mathsf{\frac{200}{3}=66\frac{2}{3}}$

Die exakte Prozentangabe lautet $\mathsf{\frac{2}{3}=66\frac{2}{3}\,\%}$

Die Dezimaldarstellung der Prozentzahl beginnt mit 66,666… und setzt die Ziffer 6 periodisch fort.

Die dritte Nachkommastelle ist 6; deshalb wird die zweite Nachkommastelle aufgerundet.

Gerundet gilt $\mathsf{\frac{2}{3}\approx66{,}67\,\%}$

Erklärung 03

Grafiken und das richtige Ganze

Bei Bruchbildern müssen die Teilflächen gleich groß sein. Der ganze dargestellte Bezugsbereich entspricht 100 %. Zähle die markierten Teile, bilde den Bruch und wandle ihn um.

Ein Wert über 100 % ist möglich: 125 % einer Sollmenge bedeutet mehr als die ganze Sollmenge. Negative Prozentangaben können eine gerichtete Änderung beschreiben. Sie sind kein negativer Flächenanteil in einem gewöhnlichen Anteilbild. Die Bezugsgröße und der Kontext müssen genannt werden.

Lege den Bereich fest, der 100 % bedeutet.
Bestimme den Anteil oder den Faktor bezüglich dieses Ganzen.
Deute Werte über 100 % und negative Werte im jeweiligen Kontext.

100 % entsprechen dem Faktor 1 zur Bezugsgröße.

So geht es am Beispiel

Wandle die Faktoren 0,48, 1,25 und −0,15 in passende Prozentangaben um.

Für den Anteil 0,48 ist die Prozentzahl $\mathsf{0{,}48\cdot100=48}$

Damit gilt $\mathsf{0{,}48=48\,\%}$

Für das 1,25-Fache einer Sollmenge ist die Prozentzahl $\mathsf{1{,}25\cdot100=125}$

Damit entspricht der Istwert $\mathsf{1{,}25=125\,\%}$ der Sollmenge.

Für eine gerichtete Änderung um −0,15 der Bezugsgröße ist die Prozentzahl $\mathsf{-0{,}15\cdot100=-15}$

Die Änderung entspricht $\mathsf{-0{,}15=-15\,\%}$ der Bezugsgröße.

Erklärung 04

Prozent zurückverwandeln

Zum Umwandeln einer Prozentangabe in einen Bruch schreibst du die Prozentzahl über 100 und kürzt vollständig. Hat sie Nachkommastellen, mache zunächst Zähler und Nenner ganzzahlig. Als Dezimalzahl erhältst du den Anteil, indem du die Prozentzahl durch 100 teilst.

Ein Anschluss: Der Prozentwert ist eine konkrete Menge. Um ihn zu berechnen, brauchst du neben dem Prozentsatz die Bezugsgröße, den Grundwert. Das Thema Prozentwert berechnen vertieft diesen Zusammenhang.

Schreibe die Prozentzahl als Zähler über 100.
Beseitige gegebenenfalls Dezimalstellen durch Erweitern.
Kürze vollständig oder berechne den Dezimalwert.

$\mathsf{p\,\%=\frac{p}{100}}$

So geht es am Beispiel

Schreibe 18 % als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl.

Die Prozentangabe wird zum Bruch: $\mathsf{18\,\%=\frac{18}{100}}$

Kürzen mit 2 ergibt $\mathsf{\frac{18}{100}=\frac{9}{50}}$

Die Division ergibt $\mathsf{18:100=0{,}18}$

So geht es am Beispiel

Schreibe 12,5 % als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl.

Zunächst gilt $\mathsf{12{,}5\,\%=\frac{12{,}5}{100}}$

Erweitern mit 10 ergibt $\mathsf{\frac{12{,}5}{100}=\frac{125}{1000}}$

Kürzen mit 125 ergibt $\mathsf{\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}}$

Die Division liefert $\mathsf{12{,}5:100=0{,}125}$

So geht es am Beispiel

Ein Anschluss: Wie viel sind 25 % von 80 €?

Der Anteil ist $\mathsf{25\,\%=\frac{1}{4}}$

Ein Viertel von 80 wird berechnet mit $\mathsf{80:4=20}$

Die Bezugsgröße war in Euro angegeben; deshalb ist auch der Prozentwert in Euro.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Bruch in Prozent · BasisWandle $\mathsf{\frac{3}{4}}$ in Prozent um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prozentangabe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner wird mit 25 erweitert: $\mathsf{4\cdot25=100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Zähler wird ebenso erweitert: $\mathsf{3\cdot25=75}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Damit gilt $\mathsf{\frac{3}{4}=75\,\%}$
Ergebnis
1. Prozentangabe $\mathsf{75\,\%}$
02
Aufgabe 2Bruch in Prozent · BasisSchreibe $\mathsf{\frac{9}{25}}$ als Bruch mit Nenner 100 und als Prozentangabe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch mit Nenner 100
Prozentangabe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für den Nenner gilt $\mathsf{25\cdot4=100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für den Zähler gilt $\mathsf{9\cdot4=36}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Umformung ergibt $\mathsf{\frac{9}{25}=\frac{36}{100}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{\frac{36}{100}=36\,\%}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bruch mit Nenner 100 $\mathsf{\frac{36}{100}}$
2. Prozentangabe $\mathsf{36\,\%}$
03
Aufgabe 3Bruch in Prozent · BasisSchreibe $\mathsf{\frac{70}{200}}$ als Bruch mit Nenner 100 und als Prozentangabe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch mit Nenner 100
Prozentangabe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner wird halbiert: $\mathsf{200:2=100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Zähler wird halbiert: $\mathsf{70:2=35}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Bruch lautet $\mathsf{\frac{35}{100}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  In Prozent gilt $\mathsf{\frac{35}{100}=35\,\%}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bruch mit Nenner 100 $\mathsf{\frac{35}{100}}$
2. Prozentangabe $\mathsf{35\,\%}$
04
Aufgabe 4Bruch in Prozent · ÜbungWandle $\mathsf{\frac{7}{8}}$ in eine Dezimalzahl und eine exakte Prozentangabe um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dezimalzahl
Exakte Prozentangabe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Division ergibt $\mathsf{7:8=0{,}875}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Prozentzahl ist $\mathsf{0{,}875\cdot100=87{,}5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Daher gilt $\mathsf{\frac{7}{8}=87{,}5\,\%}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dezimalzahl0,875
2. Exakte Prozentangabe $\mathsf{87{,}5\,\%}$
05
Aufgabe 5Bruch in Prozent · ÜbungWandle $\mathsf{\frac{5}{6}}$ in Prozent um. Gib die exakte Prozentangabe als gemischte Zahl und die auf zwei Nachkommastellen gerundete Prozentangabe an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Exakte Prozentangabe
Gerundete Prozentangabe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Prozentzahl ist $\mathsf{\frac{5}{6}\cdot100=\frac{500}{6}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürzen ergibt $\mathsf{\frac{500}{6}=\frac{250}{3}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Als gemischte Zahl ist das $\mathsf{\frac{250}{3}=83\frac{1}{3}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Dezimaldarstellung beginnt mit 83,333…; die dritte Nachkommastelle ist kleiner als 5.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Gerundet gilt $\mathsf{\frac{5}{6}\approx83{,}33\,\%}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Exakte Prozentangabe $\mathsf{83\frac{1}{3}\,\%}$
2. Gerundete Prozentangabe $\mathsf{\approx83{,}33\,\%}$
06
Aufgabe 6Bruch in Prozent · ÜbungLies den markierten Anteil des Rasters als Bruch mit Nenner 20 und als Prozentangabe ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch mit Nenner 20
Prozentangabe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Ganze besteht aus zwanzig gleich großen Feldern. Sechs sind markiert.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Anteil lautet $\mathsf{\frac{6}{20}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Zähler für Hundertstel ist $\mathsf{6\cdot5=30}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Damit gilt $\mathsf{\frac{6}{20}=30\,\%}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bruch mit Nenner 20 $\mathsf{\frac{6}{20}}$
2. Prozentangabe $\mathsf{30\,\%}$
07
Aufgabe 7Bruch in Prozent · TransferWandle um: den Anteil 0,07; das 1,4-Fache einer Sollmenge; eine gerichtete Änderung um −0,08 der Bezugsgröße. Gib die drei Prozentangaben an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anteil 0,07 in Prozent
1,4-Faches in Prozent des Solls
Gerichtete Änderung in Prozent
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Prozentzahl: $\mathsf{0{,}07\cdot100=7}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite Prozentzahl: $\mathsf{1{,}4\cdot100=140}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Dritte Prozentzahl: $\mathsf{-0{,}08\cdot100=-8}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anteil 0,07 in Prozent $\mathsf{7\,\%}$
2. 1,4-Faches in Prozent des Solls $\mathsf{140\,\%}$
3. Gerichtete Änderung in Prozent $\mathsf{-8\,\%}$
08
Aufgabe 8Bruch in Prozent · TransferSchreibe 35 % und 2,5 % jeweils als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
35 Prozent als Bruch
35 Prozent als Dezimalzahl
2,5 Prozent als Bruch
2,5 Prozent als Dezimalzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Angabe ist $\mathsf{35\,\%=\frac{35}{100}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürzen mit 5 ergibt $\mathsf{\frac{35}{100}=\frac{7}{20}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die erste Dezimalzahl ist $\mathsf{35:100=0{,}35}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die zweite Angabe ist $\mathsf{2{,}5\,\%=\frac{2{,}5}{100}}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Erweitern mit 10 ergibt $\mathsf{\frac{2{,}5}{100}=\frac{25}{1000}}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Kürzen mit 25 ergibt $\mathsf{\frac{25}{1000}=\frac{1}{40}}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  Die zweite Dezimalzahl ist $\mathsf{2{,}5:100=0{,}025}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. 35 Prozent als Bruch $\mathsf{\frac{7}{20}}$
2. 35 Prozent als Dezimalzahl0,35
3. 2,5 Prozent als Bruch $\mathsf{\frac{1}{40}}$
4. 2,5 Prozent als Dezimalzahl0,025
09
Aufgabe 9Bruch in Prozent · TransferMarkiere 65 % des vorbereiteten Rasters. Alle zwanzig Felder sind gleich groß. Gib die benötigte Anzahl markierter Felder an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl markierter Felder
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Anteil ist $\mathsf{65\,\%=\frac{65}{100}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürzen mit 5 ergibt $\mathsf{\frac{65}{100}=\frac{13}{20}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Daher werden dreizehn der zwanzig Felder markiert.
Ergebnis
1. Anzahl markierter Felder13

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich deute Prozent als Hundertstel desselben Ganzen.
Ich wandle Brüche und Dezimalzahlen in Prozent um.
Ich unterscheide exakte Werte von gerundeten Angaben.
Ich schreibe Prozentangaben als gekürzten Bruch.

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