Brüche umformen · Erklären & üben

Verhältnis berechnen

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen in einer festgelegten Reihenfolge. Es zeigt zum Beispiel, wie viele blaue Steine es im Vergleich zu gelben Steinen gibt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Reihenfolge und Einheiten festlegen

Das Verhältnis blau zu gelb wird als blau:gelb geschrieben. Die Reihenfolge ist wichtig: Zwei zu drei ist nicht dasselbe wie drei zu zwei. Bei Größen derselben Art rechnest du zunächst in gleiche Einheiten um, etwa Meter in Zentimeter.

Hier betrachten wir positive Größen und Anzahlen. Der zweite Wert darf bei der Quotientendeutung nicht null sein. Größen verschiedener Art, etwa Strecke pro Zeit, führen zu Größenverhältnissen mit Einheiten; das ist ein eigener Anschluss.

Benenne die erste und zweite Größe.
Verwende für gleichartige Größen dieselbe Einheit.
Schreibe die Werte in der festgelegten Reihenfolge.

Ein Verhältnis ohne benannte Reihenfolge ist leicht missverständlich.

8 blaue mit B beschriftete Steine und 12 gelbe mit G beschriftete Steine.

So geht es am Beispiel

Es gibt acht blaue und zwölf gelbe Steine. Gib blau:gelb in einfacher Form an.

Die Reihenfolge liefert zunächst 8:12.

Der erste Wert wird durch 4 geteilt: $\mathsf{8:4=2}$

Der zweite Wert wird ebenfalls durch 4 geteilt: $\mathsf{12:4=3}$

Damit ist blau:gelb gleich 2:3. Umgekehrt ist gelb:blau gleich 3:2.

So geht es am Beispiel

Bestimme das Verhältnis von 1,5 m zu 60 cm.

1,5 m entsprechen 150 cm.

Mit gleichen Einheiten lautet das Verhältnis 150:60.

Der erste Wert wird durch 30 geteilt: $\mathsf{150:30=5}$

Der zweite Wert wird durch 30 geteilt: $\mathsf{60:30=2}$

Erklärung 02

Gleichwertige Verhältnisse bilden

Gleichwertige Verhältnisse beschreiben denselben Quotienten. Du erhältst sie, indem du beide Glieder mit derselben positiven Zahl multiplizierst oder durch dieselbe positive Zahl teilst. Beim Kürzen ganzzahliger Verhältnisse hilft ein gemeinsamer Teiler.

Suche einen gemeinsamen Faktor oder Teiler.
Verändere beide Verhältnisglieder gleich.
Behalte die Reihenfolge bei.

Nur eines der beiden Glieder zu verändern, verändert gewöhnlich das Verhältnis.

Die erste Verhältniszahl 3 wird 15, die zweite 4 wird 20; beide mit Faktor 5.

So geht es am Beispiel

Erweitere 3:4 so, dass das erste Glied 15 wird.

Der Faktor ist $\mathsf{15:3=5}$

Das erste Glied wird $\mathsf{3\cdot5=15}$

Das zweite Glied wird $\mathsf{4\cdot5=20}$

Erklärung 03

Ein fehlendes Glied finden

Bei einer Proportion sind zwei Verhältnisse ausdrücklich gleich. Suche zuerst den Faktor zwischen den beiden bekannten, entsprechenden Gliedern. Wende ihn dann auf das andere Glied an. Gleichwertigkeit muss vorgegeben oder sachlich begründet sein; aus beliebigen Daten folgt sie nicht automatisch.

Ordne erste Glieder einander und zweite Glieder einander zu.
Bestimme den Faktor aus dem bekannten Paar.
Berechne damit das fehlende Glied.

Der gleiche Faktor muss beide Glieder verbinden.

So geht es am Beispiel

In der Proportion $\mathsf{5:8=20:x}$ fehlt das zweite Glied rechts.

Das erste Glied wächst mit dem Faktor $\mathsf{20:5=4}$

Daher wächst auch das zweite Glied: $\mathsf{8\cdot4=32}$

So geht es am Beispiel

Bestimme x in der Proportion $\mathsf{x:15=4:5}$ .

Von 5 zu 15 ist der Faktor $\mathsf{15:5=3}$

Deshalb wird auch 4 verdreifacht: $\mathsf{4\cdot3=12}$

Erklärung 04

Teil zu Teil ist nicht Teil zum Ganzen

Das Verhältnis 2:3 zwischen zwei Teilen enthält insgesamt fünf gleich große Verhältnisanteile. Der erste Teil ist deshalb $\mathsf{\frac{2}{5}}$ des Ganzen, nicht $\mathsf{\frac{2}{3}}$ . Der Bruch $\mathsf{\frac{2}{3}}$ vergleicht dagegen den ersten mit dem zweiten Teil.

Weiterlernen: Bruchrechnen erklärt das Rechnen mit solchen Anteilen. Für eine Aufteilung brauchst du zusätzlich die Gesamtgröße; das Verhältnis allein nennt noch keine absoluten Mengen.

Addiere die Verhältnisglieder.
Teile das Ganze durch diese Summe.
Multipliziere einen Anteil mit jedem Verhältnisglied.

Bei 2:3 ist der erste Anteil am Ganzen $\mathsf{\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}}$ .

Fünf gleich große Teile zu je 5 Litern. Zwei Teile gehören zu A, drei Teile zu B. A umfasst zwei Fünftel des Ganzen.

So geht es am Beispiel

25 Liter werden im Verhältnis A:B = 2:3 aufgeteilt. Wie viel erhält jeder Teil?

Insgesamt gibt es $\mathsf{2+3=5}$ gleich große Verhältnisanteile

Ein Anteil umfasst in Litern $\mathsf{25:5=5}$

Teil A erhält in Litern $\mathsf{2\cdot5=10}$

Teil B erhält in Litern $\mathsf{3\cdot5=15}$

Der erste Gesamtanteil ist $\mathsf{\frac{10}{25}=\frac{2}{5}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Verhältnis berechnen · BasisDie Abbildung zeigt blaue und gelbe Steine. Gib die Verhältnisse blau:gelb und gelb:blau jeweils vollständig gekürzt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Blau zu gelb
Gelb zu blau
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es sind sechs blaue und neun gelbe Steine.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für das erste Glied gilt $\mathsf{6:3=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für das zweite Glied gilt $\mathsf{9:3=3}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Blau:gelb ist 2:3; beim Vertauschen entsteht 3:2.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Blau zu gelb $\mathsf{2:3}$
2. Gelb zu blau $\mathsf{3:2}$
02
Aufgabe 2Verhältnis berechnen · BasisBestimme das Verhältnis von 1,2 m zu 80 cm. Schreibe zuerst beide Zahlen in Zentimetern als Verhältnis auf und kürze dann vollständig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verhältnis mit beiden Zahlen in Zentimetern
Vollständig gekürztes Verhältnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  1,2 m entsprechen 120 cm.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Verhältnis ist zunächst 120:80.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der erste Wert wird gekürzt: $\mathsf{120:40=3}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der zweite Wert wird ebenso gekürzt: $\mathsf{80:40=2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Verhältnis mit beiden Zahlen in Zentimetern $\mathsf{120:80}$
2. Vollständig gekürztes Verhältnis $\mathsf{3:2}$
03
Aufgabe 3Verhältnis berechnen · BasisKürze das Verhältnis 18:30 vollständig und erkläre die Veränderung beider Glieder.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gekürztes Verhältnis
Erklärung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das erste Glied wird durch 6 geteilt: $\mathsf{18:6=3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das zweite Glied wird durch 6 geteilt: $\mathsf{30:6=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  3 und 5 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gekürztes Verhältnis $\mathsf{3:5}$
2. ErklärungBeide Glieder werden durch denselben gemeinsamen Teiler 6 geteilt.
04
Aufgabe 4Verhältnis berechnen · ÜbungBestimme den Faktor von links nach rechts und x in $\mathsf{4:7=12:x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor von links nach rechts
Fehlendes Glied x
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor ist $\mathsf{12:4=3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das fehlende Glied ergibt sich aus $\mathsf{7\cdot3=21}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor von links nach rechts3
2. Fehlendes Glied x21
05
Aufgabe 5Verhältnis berechnen · ÜbungBestimme den Faktor von rechts nach links und x in $\mathsf{x:24=3:8}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor von rechts nach links
Fehlendes Glied x
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor ist $\mathsf{24:8=3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das fehlende Glied ergibt sich aus $\mathsf{3\cdot3=9}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor von rechts nach links3
2. Fehlendes Glied x9
06
Aufgabe 6Verhältnis berechnen · Übung21 Liter werden im Verhältnis A:B = 2:5 aufgeteilt. Wie viele Liter erhalten A und B?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Menge A
Menge B
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Insgesamt sind es $\mathsf{2+5=7}$ Verhältnisanteile
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein Anteil enthält in Litern $\mathsf{21:7=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  A erhält in Litern $\mathsf{2\cdot3=6}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  B erhält in Litern $\mathsf{5\cdot3=15}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Menge A6 Liter
2. Menge B15 Liter
07
Aufgabe 7Verhältnis berechnen · TransferRot:blau ist 2:3. Jemand behauptet, der rote Anteil am Ganzen sei $\mathsf{\frac{2}{3}}$ . Stimmt das? Gib den richtigen Gesamtanteil an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Roter Anteil am Ganzen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Ganze besteht aus $\mathsf{2+3=5}$ gleich großen Verhältnisanteilen
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rot umfasst zwei dieser fünf Anteile.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der rote Gesamtanteil ist deshalb $\mathsf{\frac{2}{5}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Roter Anteil am Ganzen $\mathsf{\frac{2}{5}}$
3. BegründungDer Nenner für den Gesamtanteil zählt beide Teile zusammen: zwei rote und drei blaue Anteile.
08
Aufgabe 8Verhältnis berechnen · TransferPrüfe für jedes Zahlenpaar, ob sein Verhältnis gleich 2:3 ist: (2,3), (4,6), (6,8). Gib drei Urteile an. Kürze das dritte Verhältnis vollständig und begründe dort dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Paar (2,3): gleich 2 zu 3?
Paar (4,6): gleich 2 zu 3?
Paar (6,8): gleich 2 zu 3?
Drittes Verhältnis gekürzt
Begründung zum dritten Paar
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das erste Paar hat unmittelbar das Verhältnis 2:3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beim zweiten Paar wird das erste Glied halbiert: $\mathsf{4:2=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das zweite Glied wird ebenfalls halbiert: $\mathsf{6:2=3}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Beim dritten Paar wird das erste Glied halbiert: $\mathsf{6:2=3}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das zweite Glied wird ebenfalls halbiert: $\mathsf{8:2=4}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Das dritte Verhältnis ist 3:4 und damit nicht 2:3.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Paar (2,3): gleich 2 zu 3?Ja.
2. Paar (4,6): gleich 2 zu 3?Ja.
3. Paar (6,8): gleich 2 zu 3?Nein.
4. Drittes Verhältnis gekürzt $\mathsf{3:4}$
5. Begründung zum dritten PaarDie gekürzten Verhältnisglieder sind 3 und 4. Ein gemeinsamer Faktor führt nicht von 2 und 3 zu 6 und 8.
09
Aufgabe 9Verhältnis berechnen · TransferBeschrifte die acht gleich großen Felder der Vorlage mit A oder B, sodass A:B = 3:5 gilt. Gib anschließend den Anteil von A und den Anteil von B am ganzen Streifen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anteil A am Ganzen
Anteil B am Ganzen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es gibt insgesamt $\mathsf{3+5=8}$ Verhältnisanteile
2. Schritt 2 · Erklärung
  Drei Felder erhalten A, fünf Felder erhalten B.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Anteil A ist $\mathsf{\frac{3}{8}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Anteil B ist $\mathsf{\frac{5}{8}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anteil A am Ganzen $\mathsf{\frac{3}{8}}$
2. Anteil B am Ganzen $\mathsf{\frac{5}{8}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne die Reihenfolge eines Verhältnisses.
Ich rechne gleiche Größen vor dem Vergleichen in gleiche Einheiten um.
Ich bestimme fehlende Verhältnisglieder.
Ich unterscheide Teil-zu-Teil und Teil-zum-Ganzen.

AT Academy · Version 2026-10-21