Bruchrechnung · Erklären & üben

Bruchrechnen

Brüche beschreiben Anteile und genaue Quotienten. Dieser Überblick verbindet die Grundideen mit den vier Rechenarten.

Erklärung 01

Zähler, Nenner und das Ganze

Der Nenner nennt die Anzahl gleich großer Teile eines Ganzen. Der Zähler zählt die betrachteten Teile. Der Nenner darf nicht null sein. In den Beispielen verwenden wir positive ganze Nenner. Der Bruchstrich bedeutet auch Division: $\mathsf{\frac ab=a:b}$ für $\mathsf{b\ne0}$ . Anteile lassen sich nur unmittelbar vergleichen, wenn sie sich auf dasselbe Ganze beziehen.

Bestimme zuerst das ganze Objekt.
Zähle die gleich großen Teile insgesamt.
Zähle die markierten Teile.

Gleich große Teile und dasselbe Ganze sind die Grundlage des Anteilsmodells.

Drei von fünf gleich großen Teilen. 3 von 5 Teilen: Zähler 3: markierte Teile; Nenner 5: alle Teile. Der gesamte Streifen ist ein Ganzes.

So geht es am Beispiel

Ein Streifen ist in fünf gleich große Teile geteilt. Drei Teile sind gefärbt. Gib den Bruch an.

Der Nenner ist 5, weil das Ganze aus fünf gleich großen Teilen besteht.

Der Zähler ist 3, weil drei dieser Teile gefärbt sind.

Erklärung 02

Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben positiven ganzen Zahl. Beim Kürzen teilst du beide durch einen gemeinsamen positiven Teiler. Der Wert bleibt erhalten, nur die Einteilung ändert sich. Vollständig gekürzt haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.

Wähle denselben Faktor oder Teiler für beide Zahlen.
Schreibe die wertgleiche Bruchdarstellung.

Nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner dürfen gekürzt werden.

Erweitern verändert die Teilung. 2 von 3 Teilen: Zwei Drittel sind markiert.. 8 von 12 Teilen: Jedes Drittel wird in vier Zwölftel geteilt.. Gleiche markierte Länge: gleicher Bruchwert.

So geht es am Beispiel

Erweitere $\mathsf{\frac23}$ mit 4.

Multipliziere den Zähler: $\mathsf{2\cdot4=8}$ .

Multipliziere den Nenner mit derselben Zahl: $\mathsf{3\cdot4=12}$ .

So geht es am Beispiel

Kürze $\mathsf{\frac{15}{20}}$ vollständig.

Der gemeinsame Teiler 5 passt zu beiden Zahlen.

$\mathsf{15:5=3}$ liefert den neuen Zähler.

$\mathsf{20:5=4}$ liefert den neuen Nenner.

3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.

Erklärung 03

Addieren und Subtrahieren

Bringe die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner. Dann addierst oder subtrahierst du nur die Zähler. Der Nenner bleibt gleich, weil die Größe der Teile unverändert bleibt. Die Themen Brüche addieren und Brüche subtrahieren zeigen weitere Wege zum gemeinsamen Nenner.

Mache die Nenner gleich.
Verrechne die Zähler und behalte den Nenner.
Kürze das Ergebnis.

$\mathsf{\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}{b}}$ und $\mathsf{\frac ab-\frac cb=\frac{a-c}{b}}$ für $\mathsf{b\ne0}$ .

Ein Viertel plus ein Halb. 1 von 4 Teilen: Erster Anteil. 2 von 4 Teilen: Ein Halb entspricht zwei Vierteln.. 3 von 4 Teilen: Zusammen drei Viertel. Die Teilgröße bleibt ein Viertel.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac14+\frac12}$ .

Erweitere den zweiten Bruch mit 2: $\mathsf{\frac12=\frac24}$ .

Addiere gleich große Viertel: $\mathsf{\frac14+\frac24=\frac34}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac56-\frac13}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac13=\frac26}$ .

Subtrahiere die Zähler: $\mathsf{\frac56-\frac26=\frac36}$ .

Kürze mit 3: $\mathsf{\frac36=\frac12}$ .

Erklärung 04

Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl besteht hier aus einer nichtnegativen ganzen Zahl und einem echten positiven Bruch. Wandle ganze Einheiten in die entsprechende Anzahl Bruchteile um und addiere den Zähler. Ein echter Bruch hat bei positiven Zahlen einen kleineren Zähler als Nenner; bei einem unechten Bruch ist er mindestens so groß.

Multipliziere den ganzen Anteil mit dem Nenner.
Addiere den bisherigen Zähler.
Behalte den Nenner.

$\mathsf{n\frac ab=\frac{n\cdot b+a}{b}}$ für $\mathsf{n\ge0}$ und $\mathsf{0<a<b}$ .

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{2\frac35}$ in einen unechten Bruch um.

Zwei Ganze enthalten $\mathsf{2\cdot5=10}$ Fünftel.

Mit den drei weiteren Fünfteln ergibt sich $\mathsf{10+3=13}$ .

Erklärung 05

Multiplizieren und über Kreuz kürzen

Multipliziere die Zähler miteinander und die Nenner miteinander. Vorher kannst du gemeinsame Faktoren zwischen einem Zähler und einem Nenner kürzen, auch über Kreuz. Das funktioniert, weil im Gesamtprodukt alle Zählerfaktoren oben und alle Nennerfaktoren unten stehen. Summanden darfst du nicht einzeln wegstreichen.

Wandle gemischte Zahlen vorher in unechte Brüche um.
Kürze gemeinsame Faktoren.
Multipliziere Zähler und Nenner.

$\mathsf{\frac ab\cdot\frac cd=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}}$ für $\mathsf{b\ne0}$ und $\mathsf{d\ne0}$ .

Vier Neuntel mal drei Achtel. Kürze 4 und 8 durch 4 sowie 3 und 9 durch 3. Übrig bleibt ein Drittel mal ein Halb gleich ein Sechstel.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac49\cdot\frac38}$ durch Kürzen vor dem Multiplizieren.

Kürze die Faktoren 4 und 8 durch 4: Es bleiben 1 und 2.

Kürze die Faktoren 3 und 9 durch 3: Es bleiben 1 und 3.

Das Produkt lautet jetzt $\mathsf{\frac13\cdot\frac12=\frac16}$ .

Erklärung 06

Dividieren und typische Fehler

Beim Dividieren durch einen Bruch multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Der erste Bruch bleibt stehen. Der Divisorbruch darf nicht null sein. Alle Nenner müssen ebenfalls ungleich null sein. Addiere niemals die Nenner bei einer Bruchaddition. Bruchrechnen Regeln fasst die Unterschiede der Operationen zusammen.

Prüfe, ob der Divisorbruch ungleich null ist.
Bilde nur vom zweiten Bruch den Kehrwert.
Multipliziere und kürze.

$\mathsf{\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc}$ mit $\mathsf{b\ne0}$ , $\mathsf{d\ne0}$ und $\mathsf{c\ne0}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac35:\frac27}$ .

Ersetze die Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: $\mathsf{\frac35\cdot\frac72}$ .

Multipliziere: $\mathsf{\frac{3\cdot7}{5\cdot2}=\frac{21}{10}}$ .

So geht es am Beispiel

Warum ist $\mathsf{\frac12+\frac12=\frac24}$ falsch?

Zwei Hälften ergeben ein Ganzes.

Die richtige Rechnung ist $\mathsf{\frac12+\frac12=\frac22=1}$ .

Dagegen ist $\mathsf{\frac24=\frac12}$ nur ein halbes Ganzes.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Bruchrechnen · 1Benenne Zähler und Nenner von $\mathsf{\frac47}$ . Was gibt der Nenner im Anteilsmodell an?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zähler
Nenner
Bedeutung des Nenners
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  4 zählt die betrachteten Teile.
2. Schritt 2 · Erklärung
  7 nennt die Anzahl gleich großer Teile des Ganzen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zähler4
2. Nenner7
3. Bedeutung des NennersDas Ganze ist in sieben gleich große Teile geteilt.
02
Aufgabe 2Bruchrechnen · 1Erweitere $\mathsf{\frac35}$ mit 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erweiterter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der neue Zähler ist $\mathsf{3\cdot3=9}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der neue Nenner ist $\mathsf{5\cdot3=15}$ .
Ergebnis
1. Erweiterter Bruch $\mathsf{\frac9{15}}$
03
Aufgabe 3Bruchrechnen · 1Kürze $\mathsf{\frac{18}{24}}$ vollständig. Nenne den verwendeten gemeinsamen Teiler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gemeinsamer Teiler
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der größte gemeinsame Teiler ist 6.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{18:6=3}$ ergibt den Zähler.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{24:6=4}$ ergibt den Nenner.
4. Schritt 4 · Erklärung
  3 und 4 sind teilerfremd.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gemeinsamer Teiler6
2. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac34}$
04
Aufgabe 4Bruchrechnen · 2Berechne $\mathsf{\frac25+\frac1{10}}$ und kürze.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac25=\frac4{10}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac4{10}+\frac1{10}=\frac5{10}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze $\mathsf{\frac5{10}=\frac12}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac12}$
05
Aufgabe 5Bruchrechnen · 2Berechne $\mathsf{\frac78-\frac14}$ und kürze.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac14=\frac28}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Subtrahiere $\mathsf{\frac78-\frac28=\frac58}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac58}$
06
Aufgabe 6Bruchrechnen · 2Wandle $\mathsf{3\frac27}$ in einen unechten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unechter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Drei Ganze sind $\mathsf{3\cdot7=21}$ Siebtel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere die übrigen Siebtel: $\mathsf{21+2=23}$ .
Ergebnis
1. Unechter Bruch $\mathsf{\frac{23}{7}}$
07
Aufgabe 7Bruchrechnen · 2Berechne $\mathsf{\frac5{12}\cdot\frac6{25}}$ durch Kürzen. Gib das vollständig gekürzte Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Kürze 5 und 25 durch 5 zu 1 und 5.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürze 6 und 12 durch 6 zu 1 und 2.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{\frac12\cdot\frac15=\frac1{10}}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac1{10}}$
08
Aufgabe 8Bruchrechnen · 2Berechne $\mathsf{\frac47:\frac23}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bilde den Kehrwert des zweiten Bruchs: $\mathsf{\frac32}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{\frac47\cdot\frac32=\frac{12}{14}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze $\mathsf{\frac{12}{14}=\frac67}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac67}$
09
Aufgabe 9Bruchrechnen · 3Jemand rechnet $\mathsf{\frac13+\frac13=\frac26}$ . Ist das richtig? Gib das richtige Ergebnis an und begründe den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtig?
Richtiges Ergebnis
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Teile sind bereits gleich groß, deshalb gilt $\mathsf{\frac13+\frac13=\frac23}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Nennerzahl 3 beschreibt weiterhin Drittel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Richtig?Nein
2. Richtiges Ergebnis $\mathsf{\frac23}$
3. BegründungEs werden zwei Drittel gezählt. Die Teilgröße bleibt ein Drittel; der Nenner wird nicht addiert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kenne die Bedeutung von Zähler und Nenner.
Ich unterscheide die Regeln der vier Rechenarten.
Ich kürze nur gemeinsame Faktoren.
Ich prüfe Nenner und Divisor auf null.

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