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Bruchrechnung · Erklären & üben

Bruchrechnen Regeln

Welche Regel passt zu welchem Rechenzeichen? Du ordnest Brüche ein und wählst die passende Umformung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Brüche lesen und einordnen

Der Zähler steht über, der Nenner unter dem Bruchstrich. Der Bruchstrich bedeutet geteilt durch. Nenner null ist ausgeschlossen. Bei positiven Zahlen ist ein Bruch echt, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist. Bei einem unechten Bruch ist der Zähler mindestens so groß. Eine gemischte Zahl schreibt ganze Einheiten und einen echten Bruch nebeneinander.

  1. Lies Zähler und Nenner getrennt.

  2. Vergleiche bei positiven Brüchen die beiden Zahlen.

Der Nenner darf niemals null sein.

Ein echter Bruch ist kleiner als eins. 3 von 8 Teilen: Drei Achtel eines Ganzen. 8 von 8 Teilen: Acht Achtel sind ein Ganzes.. Bei positiven Brüchen gilt hier: Zähler kleiner als Nenner.

So geht es am Beispiel

Ordne 38\mathsf{\frac38}, 118\mathsf{\frac{11}{8}} und 138\mathsf{1\frac38} ein.

Beim ersten Bruch ist 3<8\mathsf{3<8}.

Beim zweiten Bruch ist 11>8\mathsf{11>8}.

Der dritte Ausdruck zeigt eine ganze Einheit und drei Achtel.

Ergebnis

38\mathsf{\frac38} ist echt; 118\mathsf{\frac{11}{8}} ist unecht; 138\mathsf{1\frac38} ist eine gemischte Zahl.

So geht es am Beispiel

Schreibe sieben geteilt durch zehn als Bruch und benenne die Teile.

7 wird geteilt und steht als Zähler oben.

10 ist der Divisor und steht als Nenner unten.

Ergebnis

710\mathsf{\frac7{10}}

Erklärung 02

Addition: erst gleiche Teilgröße

Bei gleichnamigen Brüchen addierst du die Zähler und behältst den Nenner. Bei ungleichnamigen Brüchen bildest du zuerst einen gemeinsamen Nenner. Erweitere dazu Zähler und Nenner jedes Bruchs mit demselben positiven Faktor. Ein gemeinsames Vielfaches beider Nenner genügt; das kleinste hält die Zahlen klein.

  1. Bestimme einen gemeinsamen Nenner.

  2. Erweitere beide Brüche passend.

  3. Addiere nur die Zähler.

ab+cd=ad+bcbd\mathsf{\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}} für b≠0\mathsf{b\ne0} und d≠0\mathsf{d\ne0}.

Erst gemeinsame Zwölftel bilden. 2 von 12 Teilen: Ein Sechstel entspricht zwei Zwölfteln.. 3 von 12 Teilen: Ein Viertel entspricht drei Zwölfteln.. 5 von 12 Teilen: Zusammen fünf Zwölftel. Nur die Zähler werden addiert.

So geht es am Beispiel

Berechne 16+14\mathsf{\frac16+\frac14}.

12 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 4.

Erweitere 16=212\mathsf{\frac16=\frac2{12}}.

Erweitere 14=312\mathsf{\frac14=\frac3{12}}.

Addiere 212+312=512\mathsf{\frac2{12}+\frac3{12}=\frac5{12}}.

Ergebnis

512\mathsf{\frac5{12}}

Erklärung 03

Kürzen und Subtraktion

Beim Kürzen teilst du den ganzen Zähler und den ganzen Nenner durch denselben gemeinsamen positiven Teiler. Bei der Subtraktion machst du zuerst die Nenner gleich und subtrahierst die Zähler. Ist der erste Bruch kleiner, ist das Ergebnis negativ.

  1. Kürze gemeinsame Faktoren.

  2. Behalte bei der Subtraktion die Reihenfolge.

ab−cb=a−cb\mathsf{\frac ab-\frac cb=\frac{a-c}{b}} für b≠0\mathsf{b\ne0}.

Kürzen fasst Teilstücke zusammen. 14 von 21 Teilen: Vierzehn Einundzwanzigstel. 2 von 3 Teilen: Je sieben kleine Teile bilden ein Drittel.. Die markierte Länge bleibt unverändert.

So geht es am Beispiel

Kürze 1421\mathsf{\frac{14}{21}} vollständig.

Teile den Zähler durch 7: 14:7=2\mathsf{14:7=2}.

Teile den Nenner durch 7: 21:7=3\mathsf{21:7=3}.

Ergebnis

1421=23\mathsf{\frac{14}{21}=\frac23}

So geht es am Beispiel

Berechne 16−12\mathsf{\frac16-\frac12}.

Erweitere 12=36\mathsf{\frac12=\frac36}.

Subtrahiere 16−36=−26\mathsf{\frac16-\frac36=-\frac26}.

Kürze −26=−13\mathsf{-\frac26=-\frac13}.

Ergebnis

−13\mathsf{-\frac13}

Erklärung 04

Multiplikation: Faktoren verrechnen

Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Gemeinsame Nenner sind hier nicht nötig. Kürzen vor dem Multiplizieren kann Zahlen verkleinern. Gemischte Zahlen werden zuvor in unechte Brüche umgewandelt.

  1. Wandle gemischte Zahlen um.

  2. Kürze gemeinsame Faktoren.

  3. Multipliziere Zähler und Nenner.

ab⋅cd=acbd\mathsf{\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}} für b≠0\mathsf{b\ne0} und d≠0\mathsf{d\ne0}.

So geht es am Beispiel

Berechne 112⋅45\mathsf{1\frac12\cdot\frac45}.

Wandle um: 112=32\mathsf{1\frac12=\frac32}.

Kürze die Faktoren 4 und 2 durch 2 zu 2 und 1.

Multipliziere 31⋅25=65\mathsf{\frac31\cdot\frac25=\frac65}.

Ergebnis

65=115\mathsf{\frac65=1\frac15}

Erklärung 05

Division: nur den zweiten Bruch umkehren

Dividiere durch einen Bruch, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst. Der Divisorbruch muss ungleich null sein. Bei cd\mathsf{\frac cd} bedeutet das zusätzlich zum Nenner d≠0\mathsf{d\ne0} auch c≠0\mathsf{c\ne0}. Eine ganze Zahl wird als Bruch mit Nenner 1 geschrieben.

  1. Prüfe die Nenner und den Divisorbruch.

  2. Kehre nur den zweiten Bruch um.

  3. Multipliziere.

ab:cd=ab⋅dc\mathsf{\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc} mit b≠0\mathsf{b\ne0}, c≠0\mathsf{c\ne0}, d≠0\mathsf{d\ne0}.

Drei durch zwei Fünftel ist drei Eintel mal fünf Halbe, gleich fünfzehn Halbe. Nur der zweite Bruch wird umgekehrt.

So geht es am Beispiel

Berechne 3:25\mathsf{3:\frac25}.

Schreibe 3=31\mathsf{3=\frac31}.

Bilde den Kehrwert des Divisors und multipliziere: 31⋅52\mathsf{\frac31\cdot\frac52}.

Das Produkt ist 152\mathsf{\frac{15}{2}}.

Ergebnis

152=712\mathsf{\frac{15}{2}=7\frac12}

Erklärung 06

Die Regel am Rechenzeichen auswählen

Bringe bei Plus und Minus die Teilgrößen auf einen gemeinsamen Nenner. Bei Mal multiplizierst du die Faktoren. Bei Geteilt verwendest du den Kehrwert des zweiten Bruchs. Kürze am Ende vollständig. Eine kurze Größenüberlegung kann einen Fehler sichtbar machen.

  1. Wähle die Rechenregel anhand des Zeichens.

  2. Beachte Klammern und Punkt vor Strich.

  3. Prüfe, ob das Ergebnis zur Größe der Ausgangswerte passt.

Zuerst das Rechenzeichen lesen, dann die Regel wählen.

So geht es am Beispiel

Ist 23+13=36\mathsf{\frac23+\frac13=\frac36} richtig?

Richtig ist 23+13=33=1\mathsf{\frac23+\frac13=\frac33=1}.

Der behauptete Wert 36=12\mathsf{\frac36=\frac12} ist nur halb so groß.

Ergebnis

Nein. Bei der Addition wird der gemeinsame Nenner 3 beibehalten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Bruchrechnen Regeln · 1Benenne Zähler und Nenner von 913\mathsf{\frac9{13}}. Ist der Bruch echt oder unecht?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      9 ist der Zähler und 13 der Nenner.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Weil 9<13\mathsf{9<13} gilt, ist der positive Bruch echt.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Zähler9
    2. Nenner13
    3. BruchartEchter Bruch
  2. Aufgabe 2Bruchrechnen Regeln · 1Ordne 75\mathsf{\frac75} und 215\mathsf{2\frac15} ein. Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beim ersten Bruch gilt 7>5\mathsf{7>5}, er ist unecht.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der zweite Ausdruck ist eine gemischte Zahl.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Zwei Ganze ergeben 2⋅5=10\mathsf{2\cdot5=10} Fünftel.

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Addiere 10+1=11\mathsf{10+1=11} Fünftel.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Art des ersten AusdrucksUnechter Bruch
    2. Art des zweiten AusdrucksGemischte Zahl
    3. Umgewandelter zweiter Ausdruck115\mathsf{\frac{11}{5}}
  3. Aufgabe 3Bruchrechnen Regeln · 2Berechne 18+16\mathsf{\frac18+\frac16}. Gib auch den kleinsten gemeinsamen Nenner an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      24 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 8 und 6.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Erweitere 18=324\mathsf{\frac18=\frac3{24}}.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Erweitere 16=424\mathsf{\frac16=\frac4{24}}.

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Addiere 324+424=724\mathsf{\frac3{24}+\frac4{24}=\frac7{24}}.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Kleinster gemeinsamer Nenner24
    2. Summe724\mathsf{\frac7{24}}
  4. Aufgabe 4Bruchrechnen Regeln · 1Kürze 2745\mathsf{\frac{27}{45}} vollständig und nenne den gemeinsamen Teiler, den du verwendest.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der größte gemeinsame Teiler ist 9.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      27:9=3\mathsf{27:9=3} liefert den neuen Zähler.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      45:9=5\mathsf{45:9=5} liefert den neuen Nenner.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Teiler9
    2. Gekürzter Bruch35\mathsf{\frac35}
  5. Aufgabe 5Bruchrechnen Regeln · 2Berechne 29−23\mathsf{\frac29-\frac23}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Erweitere 23=69\mathsf{\frac23=\frac69}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Subtrahiere 29−69=−49\mathsf{\frac29-\frac69=-\frac49}.

    Ergebnis

    1. Differenz−49\mathsf{-\frac49}
  6. Aufgabe 6Bruchrechnen Regeln · 2Berechne 38⋅49\mathsf{\frac38\cdot\frac49}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Kürze 3 und 9 durch 3 zu 1 und 3.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Kürze 4 und 8 durch 4 zu 1 und 2.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Multipliziere 12⋅13=16\mathsf{\frac12\cdot\frac13=\frac16}.

    Ergebnis

    1. Produkt16\mathsf{\frac16}
  7. Aufgabe 7Bruchrechnen Regeln · 2Berechne 2:34\mathsf{2:\frac34} und 34:2\mathsf{\frac34:2}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Erster Term: 21⋅43=83\mathsf{\frac21\cdot\frac43=\frac83}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zweiter Term: 34⋅12=38\mathsf{\frac34\cdot\frac12=\frac38}.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erster Quotient83\mathsf{\frac83}
    2. Zweiter Quotient38\mathsf{\frac38}
  8. Aufgabe 8Bruchrechnen Regeln · 3Ist 58:07\mathsf{\frac58:\frac07} definiert? Begründe. Ist 07:58\mathsf{\frac07:\frac58} definiert? Gib bei der zweiten Rechnung auch den Wert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der erste Divisor ist null, deshalb ist die erste Division nicht definiert.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der zweite Divisor ist ungleich null, deshalb ist die zweite Division definiert.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Null geteilt durch einen von null verschiedenen Wert ergibt 07:58=0\mathsf{\frac07:\frac58=0}.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erste Division definiert?Nein
    2. Begründung zur ersten DivisionDer Divisorbruch hat den Wert null. Durch null darf nicht geteilt werden.
    3. Zweite Division definiert?Ja
    4. Wert der zweiten Division0
  9. Aufgabe 9Bruchrechnen Regeln · 3Jemand kürzt in 2+32+5\mathsf{\frac{2+3}{2+5}} die beiden Zweien und erhält 35\mathsf{\frac35}. Ist das erlaubt? Berechne den richtigen Wert und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Berechne den ganzen Zähler: 2+3=5\mathsf{2+3=5}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Berechne den ganzen Nenner: 2+5=7\mathsf{2+5=7}.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Die Zweien sind Summanden, keine gemeinsamen Faktoren.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Kürzen erlaubt?Nein
    2. Richtiger Wert57\mathsf{\frac57}
    3. BegründungGekürzt werden gemeinsame Faktoren des ganzen Zählers und Nenners, keine einzelnen Summanden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich wähle die Regel anhand des Rechenzeichens.
  • Ich kenne echte und unechte Brüche sowie gemischte Zahlen.
  • Ich kürze keine Summanden.
  • Ich unterscheide null als Dividend von null als Divisor.

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