Terme · Erklären & üben

Bruchterme

Bei Bruchtermen können Variablen im Nenner stehen. Vor dem Rechnen bestimmst du deshalb die erlaubten Werte und führst diese Bedingungen bei jeder Umformung mit.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Definitionsmenge zuerst

Wir betrachten reelle Variablen. Ein Bruchterm ist nur dort definiert, wo sein Nenner ungleich null ist. Bestimme die Nullstellen jedes ursprünglichen Nenners und schließe sie aus. Ein Nennerprodukt ist null, sobald mindestens ein Faktor null ist. Auch ein quadrierter Faktor liefert einen Ausschlusswert; die Wiederholung macht daraus keinen zweiten verschiedenen Wert.

Faktorisiere den Nenner, wenn möglich.
Setze jeden Nennerfaktor gleich null.
Schließe die gefundenen Werte aus.

Für $\mathsf{\frac{A(x)}{B(x)}}$ gilt $\mathsf{D=\{x\in\mathbb R\mid B(x)\ne0\}}$ .

Nenner (x − 2)²(x + 3): zwei Ausschlusswerte. Ausgeschlossene Werte: -3, 2. Der doppelte Faktor (x − 2) verbietet nur den Wert 2.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Definitionsmenge von $\mathsf{\frac{5}{x-4}}$ .

Der Nenner wird null, wenn $\mathsf{x-4=0}$ .

Daraus folgt der verbotene Wert $\mathsf{x=4}$ .

So geht es am Beispiel

Bestimme die Definitionsmenge von $\mathsf{\frac1{(x-2)^2(x+3)}}$ .

Der quadrierte Faktor wird bei $\mathsf{x=2}$ null.

Der zweite Faktor wird bei $\mathsf{x=-3}$ null.

Die Wiederholung des Faktors $\mathsf{(x-2)}$ ändert den Ausschlusswert nicht.

Erklärung 02

Nur Faktoren kürzen und wertgleich erweitern

Beim Kürzen teilst du den ganzen Zähler und den ganzen Nenner durch denselben von null verschiedenen Faktor. Summanden darfst du nicht einzeln streichen. Faktorisiere zuerst. Ausschlusswerte des ursprünglichen Terms bleiben erhalten. Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Faktor; dieser darf auf dem betrachteten Bereich nicht null sein. Ein variabler Erweiterungsfaktor kann andernfalls zusätzliche Einschränkungen erzeugen.

Notiere die ursprüngliche Definitionsmenge.
Zerlege in Faktoren.
Kürze oder erweitere nur mit zulässigen gemeinsamen Faktoren.

$\mathsf{\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac AB}$ nur mit $\mathsf{B\ne0}$ und $\mathsf{C\ne0}$ .

x Quadrat minus neun durch x minus drei wird zuerst faktorisiert. Der gemeinsame Faktor x minus drei darf nur für x ungleich drei gekürzt werden. Ergebnis x plus drei mit weiterhin ausgeschlossenem Wert drei.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{x^2-9}{x-3}}$ mit ursprünglicher Definitionsmenge.

Aus dem Nenner folgt $\mathsf{x e3}$ .

Faktorisiere den Zähler: $\mathsf{x^2-9=(x-3)(x+3)}$ .

Kürze den erlaubten gemeinsamen Faktor: $\mathsf{\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3}$ .

Der Wert 3 bleibt ausgeschlossen, obwohl der vereinfachte Ausdruck dort berechenbar wäre.

So geht es am Beispiel

Erweitere $\mathsf{\frac2{x+1}}$ mit 3.

Der ursprüngliche Nenner verlangt $\mathsf{x e-1}$ .

Multipliziere den Zähler: $\mathsf{2\cdot3=6}$ .

Multipliziere den Nenner: $\mathsf{3(x+1)}$ .

Der konstante Faktor 3 ist nie null und erzeugt keinen neuen Ausschluss.

Erklärung 03

Hauptnenner bilden

Faktorisiere alle Nenner. Ein Hauptnenner enthält jeden benötigten Faktor in der höchsten vorkommenden Potenz. Ein einmaliger Faktor genügt nicht, wenn ein Nenner ihn zweimal enthält. Die Definitionsmenge schließt die Nullstellen aller ursprünglichen Nenner aus.

Zerlege Nenner in Faktoren.
Übernimm jeden Faktor mit der höchsten nötigen Potenz.
Ergänze fehlende Faktoren in Zähler und Nenner.

Die nötige Erweiterung ergänzt jeweils die fehlenden Faktoren.

Für den Hauptnenner zählt die höchste Potenz. Erster Nenner: x · (x − 1). Ein Faktor x, ein Faktor (x − 1).. Zweiter Nenner: (x − 1) · (x − 1). Kein Faktor x, zwei Faktoren (x − 1).. Hauptnenner: x · (x − 1)². x einmal, (x − 1) zweimal.. Ursprünglich ausgeschlossen: x = 0 und x = 1.

So geht es am Beispiel

Finde einen Hauptnenner für $\mathsf{\frac1{x(x-1)}}$ und $\mathsf{\frac2{(x-1)^2}}$ .

Die ursprünglichen Nenner schließen $\mathsf{x=0}$ und $\mathsf{x=1}$ aus.

Der Faktor x wird einmal benötigt.

Der Faktor $\mathsf{(x-1)}$ wird höchstens zweimal benötigt.

Ein Hauptnenner ist $\mathsf{x(x-1)^2}$ .

Der erste Bruch wird zu $\mathsf{\frac{x-1}{x(x-1)^2}}$ erweitert.

Der zweite Bruch wird zu $\mathsf{\frac{2x}{x(x-1)^2}}$ erweitert.

Erklärung 04

Addieren und Subtrahieren

Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Verrechne danach die ganzen Zähler und behalte den Nenner. Bei der Subtraktion eines mehrteiligen Zählers muss dessen gesamter Inhalt abgezogen werden; setze dafür eine Klammer. Kürze erst nach dem Zusammenfassen und Faktorisieren.

Bestimme zuerst alle ursprünglichen Ausschlüsse.
Erweitere passend.
Setze bei einem abzuziehenden Zähler eine Klammer.
Fasse zusammen und kürze nur Faktoren.

$\mathsf{\frac AN+\frac BN=\frac{A+B}{N}}$ und $\mathsf{\frac AN-\frac BN=\frac{A-B}{N}}$ für $\mathsf{N\ne0}$ .

Zwei x durch x minus zwei minus x plus eins durch x minus zwei. Der gesamte zweite Zähler wird in Klammern subtrahiert; Ergebnis x minus eins durch x minus zwei. Zwei bleibt ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Addiere $\mathsf{\frac1x+\frac1{x+1}}$ .

Die ursprünglichen Nenner verlangen $\mathsf{x e0}$ und $\mathsf{x e-1}$ .

Ein Hauptnenner ist $\mathsf{x(x+1)}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac1x=\frac{x+1}{x(x+1)}}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac1{x+1}=\frac{x}{x(x+1)}}$ .

Die Zählersumme ist $\mathsf{(x+1)+x=2x+1}$ .

So geht es am Beispiel

Subtrahiere $\mathsf{\frac{2x}{x-2}-\frac{x+1}{x-2}}$ .

Der gemeinsame Nenner verlangt $\mathsf{x e2}$ .

Die Zählerdifferenz lautet $\mathsf{2x-(x+1)}$ .

Löse die Minusklammer: $\mathsf{2x-x-1=x-1}$ .

Erklärung 05

Multiplizieren

Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Durch vorheriges Faktorisieren kannst du gemeinsame Faktoren schon vor dem Ausmultiplizieren kürzen. Die ursprünglichen Nenner bestimmen weiterhin die Ausschlusswerte.

Erhalte alle ursprünglichen Nennerbedingungen.
Faktorisiere Zähler und Nenner.
Kürze gemeinsame Faktoren und multipliziere.

$\mathsf{\frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}}$ für $\mathsf{B\ne0}$ und $\mathsf{D\ne0}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{x^2-4}{x+1}\cdot\frac1{x-2}}$ .

Die ursprünglichen Nenner schließen $\mathsf{x=-1}$ und $\mathsf{x=2}$ aus.

Faktorisiere $\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}$ .

Das Produkt lautet $\mathsf{\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)}}$ .

Kürze den auf diesem Bereich erlaubten Faktor $\mathsf{(x-2)}$ : $\mathsf{\frac{x+2}{x+1}}$ .

Erklärung 06

Dividieren und den Divisor prüfen

Bei Division durch einen Bruchterm multiplizierst du mit dessen Kehrwert. Zusätzlich zu allen ursprünglichen Nennern darf der gesamte Divisorbruch nicht null sein. Sein Zähler liefert daher weitere mögliche Ausschlusswerte. Behalte sämtliche Bedingungen nach dem Kürzen bei. Bruchrechnen erläutert die entsprechenden Grundoperationen mit Zahlenbrüchen.

Prüfe alle ursprünglichen Nenner.
Schließe zusätzlich die Nullstellen des Divisorbruchs aus.
Kehre nur den zweiten Bruch um.
Kürze innerhalb der ursprünglichen Definitionsmenge.

$\mathsf{\frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC}$ mit $\mathsf{B\ne0}$ , $\mathsf{D\ne0}$ und $\mathsf{C\ne0}$ .

Drei Bedingungen vor dem Kehrwert. Erster Nenner: x − 1 darf nicht null sein.. Darum ist x = 1 ausgeschlossen.. Ursprünglicher zweiter Nenner: x + 3. Darum ist x = −3 ausgeschlossen.. Zähler des Divisorbruchs: x + 2. Darum ist auch x = −2 ausgeschlossen.. Alle drei Ausschlüsse bleiben nach dem Kürzen bestehen.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{x+2}{x-1}:\frac{x+2}{x+3}}$ .

Der erste Nenner verlangt $\mathsf{x e1}$ .

Der ursprüngliche Nenner des Divisors verlangt $\mathsf{x e-3}$ .

Der Divisor wird bei $\mathsf{x=-2}$ null, deshalb ist auch dieser Wert ausgeschlossen.

Multipliziere mit dem Kehrwert: $\mathsf{\frac{x+2}{x-1}\cdot\frac{x+3}{x+2}}$ .

Kürze den erlaubten Faktor $\mathsf{(x+2)}$ : $\mathsf{\frac{x+3}{x-1}}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Bruchterme · 1Bestimme die Definitionsmenge von $\mathsf{\frac4{x^2-9}}$ . Gib die ausgeschlossenen Werte getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster ausgeschlossener Wert
Zweiter ausgeschlossener Wert
Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktorisiere den Nenner: $\mathsf{x^2-9=(x-3)(x+3)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der erste Faktor wird bei $\mathsf{x=3}$ null.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der zweite Faktor wird bei $\mathsf{x=-3}$ null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster ausgeschlossener Wert $\mathsf{x=3}$
2. Zweiter ausgeschlossener Wert $\mathsf{x=-3}$
3. Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-3,3\}}$
02
Aufgabe 2Bruchterme · 2Vereinfache $\mathsf{\frac{3x(x-2)}{6(x-2)}}$ . Gib die ursprüngliche Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Ursprüngliche Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner verlangt $\mathsf{x e2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürze den Faktor $\mathsf{(x-2)}$ innerhalb dieses Bereichs.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es bleibt $\mathsf{\frac{3x}{6}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Kürze durch 3: $\mathsf{\frac{3x}{6}=\frac x2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac x2}$
2. Ursprüngliche Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{2\}}$
03
Aufgabe 3Bruchterme · 1Erweitere $\mathsf{\frac3{x-5}}$ mit 4 und gib die Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erweiterter Bruchterm
Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner verlangt $\mathsf{x e5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der neue Zähler ist $\mathsf{3\cdot4=12}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der neue Nenner ist $\mathsf{4(x-5)}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der konstante Faktor 4 erzeugt keine neuen Ausschlüsse.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erweiterter Bruchterm $\mathsf{\frac{12}{4(x-5)}}$
2. Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{5\}}$
04
Aufgabe 4Bruchterme · 2Bestimme einen Hauptnenner für Nenner $\mathsf{x(x-1)^2}$ und $\mathsf{x^2(x-1)}$ . Gib die beiden Erweiterungsfaktoren und die gemeinsame Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptnenner
Erweiterungsfaktor für den ersten Nenner
Erweiterungsfaktor für den zweiten Nenner
Gemeinsame Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor x wird höchstens zweimal benötigt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Faktor $\mathsf{(x-1)}$ wird höchstens zweimal benötigt.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ein Hauptnenner ist $\mathsf{x^2(x-1)^2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Im ersten Nenner fehlt ein Faktor x.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Im zweiten Nenner fehlt ein Faktor $\mathsf{(x-1)}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Die Nenner werden bei null oder eins null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptnenner $\mathsf{x^2(x-1)^2}$
2. Erweiterungsfaktor für den ersten Nenner $\mathsf{x}$
3. Erweiterungsfaktor für den zweiten Nenner $\mathsf{x-1}$
4. Gemeinsame Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0,1\}}$
05
Aufgabe 5Bruchterme · 2Addiere $\mathsf{\frac1x+\frac1{x+2}}$ und gib die ursprüngliche Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Ursprüngliche Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Nenner schließen $\mathsf{x=0}$ und $\mathsf{x=-2}$ aus.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac1x=\frac{x+2}{x(x+2)}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac1{x+2}=\frac{x}{x(x+2)}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Zählersumme ist $\mathsf{(x+2)+x=2x+2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Summe $\mathsf{\frac{2x+2}{x(x+2)}}$
2. Ursprüngliche Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-2,0\}}$
06
Aufgabe 6Bruchterme · 3Subtrahiere $\mathsf{\frac3{x-1}-\frac2{x+1}}$ . Gib das Ergebnis und die ursprüngliche Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Differenz
Ursprüngliche Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Nenner verlangen $\mathsf{x e1}$ und $\mathsf{x e-1}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere den ersten Bruch zu $\mathsf{\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erweitere den zweiten Bruch zu $\mathsf{\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Erster Zähler: $\mathsf{3(x+1)=3x+3}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Abzuziehender Zähler: $\mathsf{2(x-1)=2x-2}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Löse die Minusklammer: $\mathsf{3x+3-(2x-2)=3x+3-2x+2}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Fasse die Variablenterme zusammen: $\mathsf{3x-2x=x}$ .
8. Schritt 8 · Erklärung
  Fasse die Zahlen zusammen: $\mathsf{3+2=5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Differenz $\mathsf{\frac{x+5}{(x-1)(x+1)}}$
2. Ursprüngliche Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}}$
07
Aufgabe 7Bruchterme · 3Vereinfache $\mathsf{\frac{x^2-4}{x+2}\cdot\frac3{x-2}}$ . Gib die ursprüngliche Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Ursprüngliche Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die ursprünglichen Nenner schließen $\mathsf{x=-2}$ und $\mathsf{x=2}$ aus.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Faktorisiere $\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{\frac{3(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-2)}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Beide gemeinsamen Faktoren dürfen auf diesem Bereich gekürzt werden.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Es bleibt der konstante Wert 3.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term3
2. Ursprüngliche Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}}$
08
Aufgabe 8Bruchterme · 3Vereinfache $\mathsf{\frac{x+1}{x-3}:\frac{x+1}{x+2}}$ . Gib den zusätzlichen Ausschluss durch den Divisor und die gesamte ursprüngliche Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Zusätzlicher Ausschluss durch Divisor null
Gesamte ursprüngliche Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der erste Nenner schließt $\mathsf{x=3}$ aus.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der ursprüngliche Nenner des zweiten Bruchs schließt $\mathsf{x=-2}$ aus.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Divisorbruch wird bei $\mathsf{x=-1}$ null und darf dort nicht verwendet werden.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere mit dem Kehrwert: $\mathsf{\frac{x+1}{x-3}\cdot\frac{x+2}{x+1}}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Kürze den erlaubten Faktor $\mathsf{(x+1)}$ : $\mathsf{\frac{x+2}{x-3}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac{x+2}{x-3}}$
2. Zusätzlicher Ausschluss durch Divisor null $\mathsf{x=-1}$
3. Gesamte ursprüngliche Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-2,-1,3\}}$
09
Aufgabe 9Bruchterme · 3Jemand kürzt in $\mathsf{\frac{x+3}{x+5}}$ das x und erhält $\mathsf{\frac35}$ . Ist das allgemein erlaubt? Berechne beide Ausdrücke für $\mathsf{x=1}$ und begründe. Gib außerdem die ursprüngliche Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kürzen allgemein erlaubt?
Ursprünglicher Wert bei eins
Behaupteter Wert bei eins
Begründung
Ursprüngliche Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei eins ergibt der Zähler $\mathsf{1+3=4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner ergibt $\mathsf{1+5=6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze den Wert: $\mathsf{\frac46=\frac23}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der behauptete Term hat den Wert $\mathsf{\frac35}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Diese beiden Brüche sind verschieden.
6. Schritt 6 · Erklärung
  x ist in Zähler und Nenner ein Summand, kein gemeinsamer Faktor.
7. Schritt 7 · Erklärung
  Der ursprüngliche Nenner verlangt $\mathsf{x e-5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kürzen allgemein erlaubt?Nein
2. Ursprünglicher Wert bei eins $\mathsf{\frac23}$
3. Behaupteter Wert bei eins $\mathsf{\frac35}$
4. BegründungNur gemeinsame Faktoren dürfen gekürzt werden. Hier ist x jeweils ein Summand.
5. Ursprüngliche Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-5\}}$
10
Aufgabe 10Bruchterme · 3Vereinfache $\mathsf{\frac{t^2-6t+9}{t-3}}$ . Gib die ursprüngliche Definitionsmenge an. Ist der ursprüngliche Term bei $\mathsf{t=3}$ definiert? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Ursprüngliche Definitionsmenge
Ursprünglicher Term bei drei definiert?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der ursprüngliche Nenner verlangt $\mathsf{t e3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Faktorisiere den Zähler: $\mathsf{t^2-6t+9=(t-3)^2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze einen Faktor: $\mathsf{\frac{(t-3)^2}{t-3}=t-3}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der ursprüngliche Nenner ist bei drei weiterhin null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{t-3}$
2. Ursprüngliche Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{3\}}$
3. Ursprünglicher Term bei drei definiert?Nein
4. BegründungKürzen entfernt den ursprünglichen Ausschlusswert nicht. Der Ausgangsnenner wird bei drei null.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bestimme Ausschlusswerte vor dem Umformen.
Ich kürze nur gemeinsame Faktoren.
Ich beachte die höchste Potenz jedes Hauptnennerfaktors.
Ich prüfe bei Division zusätzlich, ob der Divisorbruch null wird.
Ich behalte weggefallene Ausschlusswerte bei.

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