Terme · Erklären & üben

Terme berechnen

Einen Term berechnest du, indem du für jede Variable den vorgegebenen Wert einsetzt und danach in der richtigen Reihenfolge rechnest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Jede Variable durch ihren Wert ersetzen

Ein Term ist ein Rechenausdruck, keine Gleichung. Sein Wert hängt von den eingesetzten Zahlen ab. Dieselbe Variable bekommt überall denselben Wert. Unterschiedliche Variablen können unterschiedliche Werte haben. Wir verwenden reelle Zahlen, soweit die enthaltenen Rechenoperationen definiert sind.

Schreibe die Zuordnung jeder Variable auf.
Ersetze alle Vorkommen.
Berechne den entstandenen Zahlenterm.

Ersetze jedes Vorkommen einer Variable.

Dasselbe x bekommt überall denselben Wert. 3x + 2x + 4 mit x = 2. Beide Vorkommen von x werden durch 2 ersetzt.. 3 · 2 + 2 · 2 + 4. Zuerst die Produkte berechnen.. 6 + 4 + 4 = 14. Danach die Werte addieren.. Nicht nur das erste Vorkommen der Variable ersetzen.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3x+2x+4}$ für $\mathsf{x=2}$ .

Setze überall dieselbe Zahl ein: $\mathsf{3\cdot2+2\cdot2+4}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{3\cdot2=6}$ .

Zweites Produkt: $\mathsf{2\cdot2=4}$ .

Addiere die ersten Werte: $\mathsf{6+4=10}$ .

Addiere zuletzt $\mathsf{10+4=14}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2a+3b}$ für $\mathsf{a=4}$ und $\mathsf{b=5}$ .

Setze ein: $\mathsf{2\cdot4+3\cdot5}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{2\cdot4=8}$ .

Zweites Produkt: $\mathsf{3\cdot5=15}$ .

Addiere $\mathsf{8+15=23}$ .

Erklärung 02

Negative Zahlen mit Klammern einsetzen

Setze negative Werte in Klammern ein, damit ihr Vorzeichen zur Zahl gehört. Unterscheide das Quadrat einer negativen Zahl vom Minus vor einer Potenz. Potenzen werden vor einem außen stehenden Minus berechnet.

Klammere eingesetzte negative Werte.
Bestimme die gesamte Basis jeder Potenz.
Beachte das äußere Vorzeichen.

Für $\mathsf{x=-3}$ ist $\mathsf{x^2=(-3)^2=9}$ , aber $\mathsf{-x^2=-9}$ .

Die ganze Potenzbasis erkennen. −x² mit x = 3: −(3²) = −9. Das Minus steht außerhalb der Potenz.. (-x)² mit x = 3: (−3)² = 9. Die negative Zahl ist hier die ganze Basis.. Klammern entscheiden, was quadriert wird.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{x^2-2x}$ für $\mathsf{x=-4}$ .

Setze mit Klammern ein: $\mathsf{(-4)^2-2\cdot(-4)}$ .

Berechne die Potenz: $\mathsf{(-4)^2=16}$ .

Berechne das Produkt: $\mathsf{2\cdot(-4)=-8}$ .

Subtrahiere den negativen Wert: $\mathsf{16-(-8)=24}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{-x^2}$ und $\mathsf{(-x)^2}$ für $\mathsf{x=3}$ .

Beim ersten Term zuerst $\mathsf{3^2=9}$ .

Das äußere Minus liefert $\mathsf{-9}$ .

Beim zweiten Term ist die ganze Basis $\mathsf{-3}$ .

Das Quadrat ist $\mathsf{(-3)^2=9}$ .

Erklärung 03

Klammern und Rechenreihenfolge

Berechne innere Klammern zuerst. Danach folgen Potenzen, anschließend Multiplikation und Division gleichrangig von links nach rechts und zuletzt Addition und Subtraktion gleichrangig von links nach rechts. Ein Bruchstrich klammert den gesamten Zähler und Nenner.

Löse Klammern von innen.
Berechne Potenzen vor Punktoperationen.
Behandle Zähler und Nenner als ganze Ausdrücke.

Eine Klammer gehört zu dem vollständigen eingesetzten Termteil.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2(x+3)^2}$ für $\mathsf{x=1}$ .

Setze ein: $\mathsf{2(1+3)^2}$ .

Berechne die Klammer: $\mathsf{1+3=4}$ .

Berechne die Potenz: $\mathsf{4^2=16}$ .

Multipliziere $\mathsf{2\cdot16=32}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{a+b}{2}}$ für $\mathsf{a=5}$ und $\mathsf{b=7}$ .

Setze ein: $\mathsf{\frac{5+7}{2}}$ .

Berechne den gesamten Zähler: $\mathsf{5+7=12}$ .

Teile $\mathsf{12:2=6}$ .

Erklärung 04

Zulässige Werte und Sachgrößen

Nicht jeder Wert ist in jedem Term erlaubt. Ein Nenner oder sonstiger Divisor darf nicht null werden. Prüfe deshalb vor der Division den eingesetzten Divisor. In Sachaufgaben gehören die angegebenen Einheiten zur Bedeutung des Ergebnisses.

Prüfe zunächst die Divisoren.
Setze nur zulässige Werte ein.
Gib bei Sachgrößen die passende Einheit an.

Ein Wert außerhalb der Definitionsmenge hat keinen Termwert.

12 geteilt durch (x − 2): x = 2 ist ausgeschlossen. Ausgeschlossene Werte: 2. Bei x = 5 ist der Nenner 3 und der Termwert 4.

Rechteck mit maßstäblichen Seiten sieben Zentimeter und vier Zentimeter. Jede Seitenlänge ist beschriftet. Der Umfang beträgt zweiundzwanzig Zentimeter.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{12}{x-2}}$ für $\mathsf{x=5}$ . Ist auch $\mathsf{x=2}$ erlaubt?

Für fünf ist der Nenner $\mathsf{5-2=3}$ .

Die Division ergibt $\mathsf{12:3=4}$ .

Für zwei ist der Nenner $\mathsf{2-2=0}$ .

Division durch null ist nicht definiert.

So geht es am Beispiel

Der Umfang eines Rechtecks ist $\mathsf{U=2l+2b}$ . Berechne ihn für $\mathsf{l=7\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{b=4\,\mathsf{cm}}$ .

Die beiden langen Seiten ergeben $\mathsf{2\cdot7=14}$ Zentimeter.

Die beiden kurzen Seiten ergeben $\mathsf{2\cdot4=8}$ Zentimeter.

Der Umfang ist $\mathsf{14+8=22}$ Zentimeter.

Erklärung 05

Vereinfachen kann helfen

Du kannst vor dem Einsetzen mit gültigen Rechengesetzen vereinfachen. Der vereinfachte Term hat auf der ursprünglichen Definitionsmenge dieselben Werte. Ausmultiplizieren und Ausklammern vertieft solche Umformungen. Die Gültigkeit folgt aus den Gesetzen, nicht aus einer einzelnen passenden Zahlenprobe.

Vereinfache nur wertgleich.
Setze denselben Wert in den gewählten Term ein.
Erhalte ursprüngliche Definitionsbedingungen.

Direktes Einsetzen und gültiges vorheriges Vereinfachen liefern denselben Wert.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{4x+6x}$ für $\mathsf{x=1{,}5}$ auf zwei Wegen.

Fasse zuerst zusammen: $\mathsf{4x+6x=10x}$ .

Setze ein: $\mathsf{10\cdot1{,}5=15}$ .

Direkt ist das erste Produkt $\mathsf{4\cdot1{,}5=6}$ .

Das zweite Produkt ist $\mathsf{6\cdot1{,}5=9}$ .

Addiere $\mathsf{6+9=15}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Terme berechnen · 1Berechne $\mathsf{5x+3}$ für $\mathsf{x=4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Termwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{5\cdot4+3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{5\cdot4=20}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{20+3=23}$ .
Ergebnis
1. Termwert23
02
Aufgabe 2Terme berechnen · 1Berechne $\mathsf{2a+4b}$ für $\mathsf{a=3}$ und $\mathsf{b=6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Termwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{2\cdot3+4\cdot6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Produkt: $\mathsf{2\cdot3=6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweites Produkt: $\mathsf{4\cdot6=24}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{6+24=30}$ .
Ergebnis
1. Termwert30
03
Aufgabe 3Terme berechnen · 2Berechne $\mathsf{x^2+3x}$ für $\mathsf{x=-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Termwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze mit Klammern ein: $\mathsf{(-2)^2+3\cdot(-2)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Potenz ergibt $\mathsf{(-2)^2=4}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{3\cdot(-2)=-6}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{4+(-6)=-2}$ .
Ergebnis
1. Termwert−2
04
Aufgabe 4Terme berechnen · 2Berechne $\mathsf{-t^2}$ und $\mathsf{(-t)^2}$ für $\mathsf{t=5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert des ersten Terms
Wert des zweiten Terms
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Term: $\mathsf{-(5^2)=-25}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Im zweiten Term ist die Basis minus fünf.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Quadrat ergibt $\mathsf{(-5)^2=25}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert des ersten Terms−25
2. Wert des zweiten Terms25
05
Aufgabe 5Terme berechnen · 2Berechne $\mathsf{3(y-1)^2}$ für $\mathsf{y=-1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Termwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{3((-1)-1)^2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Klammer ist $\mathsf{(-1)-1=-2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Quadriere $\mathsf{(-2)^2=4}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{3\cdot4=12}$ .
Ergebnis
1. Termwert12
06
Aufgabe 6Terme berechnen · 2Berechne $\mathsf{\frac{2a+b}{3}}$ für $\mathsf{a=4}$ und $\mathsf{b=7}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Termwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{\frac{2\cdot4+7}{3}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Produkt im Zähler ist $\mathsf{2\cdot4=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Zähler ergibt $\mathsf{8+7=15}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Teile $\mathsf{15:3=5}$ .
Ergebnis
1. Termwert5
07
Aufgabe 7Terme berechnen · 2Berechne $\mathsf{\frac{20}{x+1}}$ für $\mathsf{x=3}$ . Ist $\mathsf{x=-1}$ zulässig? Begründe die zweite Antwort.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert bei x gleich 3
Ist x gleich minus 1 zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei drei ist der Nenner $\mathsf{3+1=4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Termwert ist $\mathsf{20:4=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei minus eins ist der Nenner $\mathsf{(-1)+1=0}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Division durch null ist nicht definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert bei x gleich 35
2. Ist x gleich minus 1 zulässig?Nein
3. BegründungBei minus eins wird der Nenner null.
08
Aufgabe 8Terme berechnen · 2Ein Rechteck hat den Umfang $\mathsf{U=2l+2b}$ . Setze $\mathsf{l=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{b=3\,\mathsf{cm}}$ ein. Gib den Umfang mit Einheit an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die langen Seiten ergeben $\mathsf{2\cdot8=16}$ Zentimeter.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die kurzen Seiten ergeben $\mathsf{2\cdot3=6}$ Zentimeter.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{16+6=22}$ Zentimeter.
Ergebnis
1. Umfang22 cm
09
Aufgabe 9Terme berechnen · 3Vereinfache $\mathsf{7z-2z+4}$ und berechne den Wert für $\mathsf{z=-3}$ . Gib beide Ergebnisse getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Wert bei z gleich minus 3
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gleichartige Summanden ergeben $\mathsf{7z-2z=5z}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der vereinfachte Term ist $\mathsf{5z+4}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{5\cdot(-3)+4}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{5\cdot(-3)=-15}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{-15+4=-11}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{5z+4}$
2. Wert bei z gleich minus 3−11

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ersetze jedes Vorkommen derselben Variable durch denselben Wert.
Ich setze negative Werte mit Klammern ein.
Ich unterscheide ein äußeres Minus von einer negativen Potenzbasis.
Ich prüfe Nenner und behalte Einheiten bei.

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