Bruchrechnung · Erklären & üben

Brüche erweitern

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Wert bleibt gleich. Das hilft, Brüche in einer gemeinsamen Einteilung darzustellen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Das gleiche Ganze feiner unterteilen

Wir erweitern hier mit einer positiven natürlichen Zahl. Jeder bisherige Teil wird in entsprechend viele gleich große kleinere Teile zerlegt. Deshalb werden sowohl die ausgewählten Teile als auch die Teile pro Ganzes mehr. Die markierte Gesamtfläche bleibt gleich. Mit null darfst du nicht erweitern, weil ein Nenner null entstehen würde.

Wähle die positive Erweiterungszahl.
Multipliziere den Zähler mit ihr.
Multipliziere auch den Nenner mit ihr.

$\mathsf{\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}\quad(b\ne0,\ k>0)}$

Gleich lange Ganze mit 3 beziehungsweise 12 gleich großen Teilen. Oben 2, unten 8 Teile markiert.

So geht es am Beispiel

Erweitere $\mathsf{\frac{2}{3}}$ mit 4.

Der neue Zähler ist $\mathsf{2\cdot4=8}$

Der neue Nenner ist $\mathsf{3\cdot4=12}$

Damit gilt $\mathsf{\frac{2}{3}=\frac{8}{12}}$

Erklärung 02

Die Erweiterungszahl bestimmen

Ist der gewünschte Nenner vorgegeben, teilst du ihn durch den bisherigen Nenner. Das Ergebnis muss im hier behandelten Verfahren eine positive ganze Zahl sein. Mit dieser Zahl multiplizierst du auch den Zähler.

Teile den gewünschten Nenner durch den alten Nenner.
Prüfe, ob der Faktor positiv und ganzzahlig ist.
Multipliziere damit den Zähler.

Ein Zielnenner muss ein positives ganzzahliges Vielfaches des Ausgangsnenners sein.

Ausgangsbruch: 3 durch 5. 35 geteilt durch 5 ergibt 7; Zielbruch: 21 durch 35. Zähler ebenfalls mal 7

So geht es am Beispiel

Erweitere $\mathsf{\frac{3}{5}}$ auf den Nenner 35.

Die Erweiterungszahl ist $\mathsf{35:5=7}$

Der neue Zähler ist $\mathsf{3\cdot7=21}$

Der neue Bruch ist $\mathsf{\frac{21}{35}}$

So geht es am Beispiel

Kann $\mathsf{\frac{5}{12}}$ mit einem positiven ganzzahligen Faktor auf den Nenner 18 erweitert werden?

Der benötigte Faktor wäre $\mathsf{18:12=1{,}5}$

1,5 ist keine ganze Zahl. Deshalb ist diese Erweiterung im behandelten Ganzzahlverfahren nicht möglich.

Erklärung 03

Einen Hauptnenner verwenden

Ein gemeinsamer Nenner macht die Teile verschiedener Brüche gleich groß. Der kleinste positive gemeinsame Nenner der vorliegenden Nenner heißt hier Hauptnenner. Du findest ihn mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kurz kgV. Jeder Bruch hat seine eigene Erweiterungszahl. Bei kürzbaren Ausgangsbrüchen kann vorheriges Kürzen die Nenner vereinfachen.

Finde das kgV der vorliegenden Nenner.
Bestimme für jeden Bruch die Erweiterungszahl.
Erweitere jeden Bruch mit seinem passenden Faktor.

Gleicher Zielnenner bedeutet nicht automatisch gleiche Erweiterungszahl.

Gleich lange Ganze mit 24 beziehungsweise 24 gleich großen Teilen. Oben 4, unten 9 Teile markiert.

So geht es am Beispiel

Erweitere $\mathsf{\frac{1}{6}}$ und $\mathsf{\frac{3}{8}}$ auf ihren Hauptnenner.

Vielfache von 6 sind 6, 12, 18 und 24. Vielfache von 8 sind 8, 16 und 24. Das kleinste gemeinsame ist 24.

Für Sechstel ist der Faktor $\mathsf{24:6=4}$

Der erste Zähler wird $\mathsf{1\cdot4=4}$

Der erste Bruch ist $\mathsf{\frac{4}{24}}$

Für Achtel ist der Faktor $\mathsf{24:8=3}$

Der zweite Zähler wird $\mathsf{3\cdot3=9}$

Der zweite Bruch ist $\mathsf{\frac{9}{24}}$

Erklärung 04

Erweitern und Kürzen sind Gegenwege

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner multipliziert, beim Kürzen werden beide geteilt. Beide Verfahren erhalten den Wert, wenn der verwendete Faktor zulässig ist. Ein negatives Vorzeichen bleibt beim Erweitern mit einem positiven Faktor erhalten. Ein Zähler null ist ebenfalls erlaubt.

Unterscheide Multiplizieren und Dividieren.
Verändere immer beide Zahlen am Bruchstrich gleich.
Behalte das Vorzeichen bei.

Mehr Teile bedeuten beim Erweitern kleinere Teile, nicht mehr vom Ganzen.

Gleich lange Ganze mit 10 beziehungsweise 50 gleich großen Teilen. Oben 3, unten 15 Teile markiert.

So geht es am Beispiel

Erweitere $\mathsf{\frac{3}{10}}$ mit 5 und kürze das Ergebnis wieder mit 5.

Erweiterter Zähler: $\mathsf{3\cdot5=15}$

Erweiterter Nenner: $\mathsf{10\cdot5=50}$

Der Zwischenbruch ist $\mathsf{\frac{15}{50}}$

Zurück im Zähler: $\mathsf{15:5=3}$

Zurück im Nenner: $\mathsf{50:5=10}$

So geht es am Beispiel

Erweitere $\mathsf{\frac{-2}{7}}$ mit 3 und $\mathsf{\frac{0}{5}}$ mit 4.

Erster neuer Zähler: $\mathsf{-2\cdot3=-6}$

Erster neuer Nenner: $\mathsf{7\cdot3=21}$

Damit gilt $\mathsf{\frac{-2}{7}=\frac{-6}{21}}$

Zweiter neuer Zähler: $\mathsf{0\cdot4=0}$

Zweiter neuer Nenner: $\mathsf{5\cdot4=20}$

Damit gilt $\mathsf{\frac{0}{5}=\frac{0}{20}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Brüche erweitern · BasisErweitere $\mathsf{\frac{3}{4}}$ mit 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erweiterter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Neuer Zähler: $\mathsf{3\cdot3=9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Neuer Nenner: $\mathsf{4\cdot3=12}$
Ergebnis
1. Erweiterter Bruch $\mathsf{\frac{9}{12}}$
02
Aufgabe 2Brüche erweitern · BasisErweitere $\mathsf{\frac{2}{7}}$ auf den Nenner 35. Gib Erweiterungszahl und Bruch an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erweiterungszahl
Erweiterter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor ist $\mathsf{35:7=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der neue Zähler ist $\mathsf{2\cdot5=10}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erweiterungszahl5
2. Erweiterter Bruch $\mathsf{\frac{10}{35}}$
03
Aufgabe 3Brüche erweitern · BasisErweitere $\mathsf{\frac{5}{6}}$ auf den Nenner 48. Gib Erweiterungszahl und Bruch an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erweiterungszahl
Erweiterter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Faktor ist $\mathsf{48:6=8}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der neue Zähler ist $\mathsf{5\cdot8=40}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erweiterungszahl8
2. Erweiterter Bruch $\mathsf{\frac{40}{48}}$
04
Aufgabe 4Brüche erweitern · ÜbungErweitere $\mathsf{\frac{3}{4}}$ und $\mathsf{\frac{5}{6}}$ auf den Hauptnenner. Gib den Hauptnenner und beide neuen Brüche an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptnenner
Erweiterte drei Viertel
Erweiterte fünf Sechstel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist 12.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der erste Faktor ist $\mathsf{12:4=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der erste Zähler wird $\mathsf{3\cdot3=9}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der zweite Faktor ist $\mathsf{12:6=2}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der zweite Zähler wird $\mathsf{5\cdot2=10}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptnenner12
2. Erweiterte drei Viertel $\mathsf{\frac{9}{12}}$
3. Erweiterte fünf Sechstel $\mathsf{\frac{10}{12}}$
05
Aufgabe 5Brüche erweitern · ÜbungErweitere $\mathsf{\frac{-3}{5}}$ mit 4 und $\mathsf{\frac{0}{9}}$ mit 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erweiterte minus drei Fünftel
Erweiterte null Neuntel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Zähler: $\mathsf{-3\cdot4=-12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erster Nenner: $\mathsf{5\cdot4=20}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweiter Zähler: $\mathsf{0\cdot2=0}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zweiter Nenner: $\mathsf{9\cdot2=18}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erweiterte minus drei Fünftel $\mathsf{\frac{-12}{20}}$
2. Erweiterte null Neuntel $\mathsf{\frac{0}{18}}$
06
Aufgabe 6Brüche erweitern · ÜbungOben sind zwei Fünftel markiert. Übertrage genau denselben Anteil durch Schraffieren auf den gleich langen Zehntelstreifen darunter. Gib den Bruch in Zehnteln an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anteil in Zehnteln
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jedes Fünftel entspricht zwei Zehnteln.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die neue Anzahl markierter Teile ist $\mathsf{2\cdot2=4}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die neue Gesamtzahl ist $\mathsf{5\cdot2=10}$
Ergebnis
1. Anteil in Zehnteln $\mathsf{\frac{4}{10}}$
07
Aufgabe 7Brüche erweitern · TransferJemand erweitert $\mathsf{\frac{3}{7}}$ mit 2 und erhält $\mathsf{\frac{6}{7}}$ . Ist das richtig? Gib den richtigen Bruch an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtig erweiterter Bruch
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der neue Zähler ist $\mathsf{3\cdot2=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Auch der Nenner muss verändert werden: $\mathsf{7\cdot2=14}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nur den Zähler zu verdoppeln würde den Wert des Bruchs verdoppeln.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtig erweiterter Bruch $\mathsf{\frac{6}{14}}$
3. BegründungZähler und Nenner müssen mit derselben Zahl multipliziert werden, damit der Wert gleich bleibt.
08
Aufgabe 8Brüche erweitern · TransferKann $\mathsf{\frac{2}{3}}$ mit einer positiven ganzzahligen Erweiterungszahl auf den Nenner 10 gebracht werden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der nötige Faktor wäre $\mathsf{10:3=\frac{10}{3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehn Drittel sind keine ganze Zahl. 10 ist kein ganzzahliges Vielfaches von 3.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDer Zielnenner 10 ist kein ganzzahliges Vielfaches von 3; die benötigte Erweiterungszahl wäre nicht ganzzahlig.
09
Aufgabe 9Brüche erweitern · TransferErweitere $\mathsf{\frac{4}{9}}$ mit 5. Kürze den erhaltenen Bruch anschließend vollständig. Gib beide Brüche an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erweiterter Bruch
Vollständig gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweiterter Zähler: $\mathsf{4\cdot5=20}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweiterter Nenner: $\mathsf{9\cdot5=45}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Zwischenbruch ist $\mathsf{\frac{20}{45}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Kürzen im Zähler: $\mathsf{20:5=4}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Kürzen im Nenner: $\mathsf{45:5=9}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  4 und 9 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erweiterter Bruch $\mathsf{\frac{20}{45}}$
2. Vollständig gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{4}{9}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erweitere Zähler und Nenner mit demselben positiven ganzzahligen Faktor.
Ich finde eine passende Erweiterungszahl.
Ich stelle zwei Brüche mit Hauptnenner dar.

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