Bruchrechnung · Erklären & üben

Brüche kürzen

Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe von null verschiedene Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt erhalten; seine Darstellung wird einfacher.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gemeinsam teilen erhält den Wert

Wir kürzen ganzzahlige Zähler und positive Nenner mit einem gemeinsamen positiven Teiler. So bleiben Zähler und Nenner ganzzahlig. Anschaulich werden mehrere kleine Teile zu einem größeren Teil gebündelt. Der Anteil am gleichen Ganzen ändert sich nicht.

Suche einen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Teile den ganzen Zähler durch ihn.
Teile den ganzen Nenner durch ihn.

Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl geteilt.

Gleich lange Ganze mit 10 beziehungsweise 5 gleich großen Teilen. Oben 6, unten 3 Teile markiert.

So geht es am Beispiel

Kürze $\mathsf{\frac{6}{10}}$ .

Der gemeinsame Teiler ist 2; im Zähler gilt $\mathsf{6:2=3}$

Im Nenner gilt $\mathsf{10:2=5}$

Daher ist $\mathsf{\frac{6}{10}=\frac{3}{5}}$

Erklärung 02

In Schritten oder mit dem ggT

Du kannst mehrfach nacheinander kürzen. Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr haben. Der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, führt direkt zum vollständig gekürzten Bruch.

Kürze mit einem erkannten gemeinsamen Teiler.
Suche danach erneut einen gemeinsamen Teiler.
Oder teile sofort beide Zahlen durch ihren ggT.

Nach dem Kürzen mit dem ggT bleibt kein gemeinsamer Teiler größer als 1.

Ausgangsbruch: 36 durch 60. Zähler und Nenner durch 2; Zwischenbruch: 18 durch 30. Zähler und Nenner durch 6; Vollständig gekürzt: 3 durch 5. Kein gemeinsamer Teiler > 1

So geht es am Beispiel

Kürze $\mathsf{\frac{36}{60}}$ in zwei Schritten.

Zuerst im Zähler durch 2 teilen: $\mathsf{36:2=18}$

Auch den Nenner durch 2 teilen: $\mathsf{60:2=30}$

Der Zwischenbruch ist $\mathsf{\frac{18}{30}}$

Dann den Zähler durch 6 teilen: $\mathsf{18:6=3}$

Auch den Nenner durch 6 teilen: $\mathsf{30:6=5}$

So geht es am Beispiel

Kürze $\mathsf{\frac{42}{70}}$ mit dem ggT.

Die gemeinsamen positiven Teiler von 42 und 70 sind 1, 2, 7 und 14. Der größte ist 14.

Den Zähler teilen: $\mathsf{42:14=3}$

Den Nenner teilen: $\mathsf{70:14=5}$

Erklärung 03

Gemeinsame Primfaktoren erkennen

Mit der Primfaktorzerlegung schreibst du Zähler und Nenner als Produkte von Primzahlen. Für jedes gemeinsame Vorkommen kannst du oben und unten denselben Faktor entfernen. Dabei wird durch diesen Faktor geteilt; ein leer gewordenes Produkt hat den Wert 1.

Zerlege Zähler und Nenner in Primfaktoren.
Ordne gemeinsame Faktoren paarweise zu.
Multipliziere die verbleibenden Faktoren.

Nur gleich viele Vorkommen desselben Faktors oben und unten entfernen.

84 hat die Faktoren2,2,3,7;126 die Faktoren2,3,3,7. Gemeinsam sind je eine2,3,7;übrig bleiben2und3.

So geht es am Beispiel

Kürze $\mathsf{\frac{84}{126}}$ mit Primfaktoren.

Der Zähler zerfällt in $\mathsf{84=2\cdot2\cdot3\cdot7}$

Der Nenner zerfällt in $\mathsf{126=2\cdot3\cdot3\cdot7}$

Ein Faktor 2, ein Faktor 3 und ein Faktor 7 sind gemeinsam.

Ihr Produkt wird zuerst teilweise berechnet: $\mathsf{2\cdot3=6}$

Mit dem letzten Faktor ergibt sich $\mathsf{6\cdot7=42}$

Den Zähler durch diesen gemeinsamen Faktor teilen: $\mathsf{84:42=2}$

Den Nenner ebenso teilen: $\mathsf{126:42=3}$

Erklärung 04

Vorzeichen, null und Summen

Ein negatives Vorzeichen bleibt beim Kürzen mit einer positiven Zahl erhalten. Ein Zähler null ist erlaubt; ein Nenner null ist verboten. Die Kürzungszahl darf ebenfalls nicht null sein.

Kürzen betrifft den gesamten Zähler und Nenner. Einzelne Summanden darfst du nicht streichen. Berechne eine Summe zunächst oder klammere einen gemeinsamen Faktor des gesamten Ausdrucks aus. Weiterlernen: Beim Addieren von Brüchen hilft eine einfache, wertgleiche Darstellung.

Behalte das Vorzeichen bei.
Prüfe, ob der Bruch bereits vollständig gekürzt ist.
Unterscheide Faktoren und Summanden.

Aus Summen darfst du keine einzelnen Summanden wegkürzen.

So geht es am Beispiel

Kürze $\mathsf{\frac{-18}{30}}$ und $\mathsf{\frac{0}{8}}$ .

Der negative Zähler wird durch 6 geteilt: $\mathsf{-18:6=-3}$

Der Nenner wird durch 6 geteilt: $\mathsf{30:6=5}$

Damit gilt $\mathsf{\frac{-18}{30}=\frac{-3}{5}}$

Beim zweiten Bruch wird der Zähler durch 8 geteilt: $\mathsf{0:8=0}$

Der Nenner wird ebenfalls geteilt: $\mathsf{8:8=1}$

Damit gilt $\mathsf{\frac{0}{8}=\frac{0}{1}=0}$

So geht es am Beispiel

Kann $\mathsf{\frac{5}{8}}$ noch gekürzt werden?

5 ist eine Primzahl.

Der Nenner enthält nur Faktoren 2: $\mathsf{8=2\cdot2\cdot2}$

Es gibt keinen gemeinsamen Primfaktor.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Brüche kürzen · BasisKürze $\mathsf{\frac{8}{12}}$ in einem Schritt vollständig. Gib die Kürzungszahl und das Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kürzungszahl
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der größte gemeinsame Teiler ist 4; oben gilt $\mathsf{8:4=2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Unten gilt $\mathsf{12:4=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kürzungszahl4
2. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{2}{3}}$
02
Aufgabe 2Brüche kürzen · BasisKürze $\mathsf{\frac{30}{42}}$ zuerst mit 2 und danach mit 3. Gib Zwischenbruch und Endergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zwischenbruch
Endergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Zähler: $\mathsf{30:2=15}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erster Nenner: $\mathsf{42:2=21}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Zwischenbruch lautet $\mathsf{\frac{15}{21}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zweiter Zähler: $\mathsf{15:3=5}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zweiter Nenner: $\mathsf{21:3=7}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zwischenbruch $\mathsf{\frac{15}{21}}$
2. Endergebnis $\mathsf{\frac{5}{7}}$
03
Aufgabe 3Brüche kürzen · BasisBestimme den ggT von 45 und 75 und kürze damit $\mathsf{\frac{45}{75}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
ggT
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die gemeinsamen positiven Teiler sind 1, 3, 5 und 15. Ihr größter ist 15.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zähler teilen: $\mathsf{45:15=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nenner teilen: $\mathsf{75:15=5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. ggT15
2. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{3}{5}}$
04
Aufgabe 4Brüche kürzen · ÜbungKürze $\mathsf{\frac{72}{120}}$ mithilfe der Primfaktorzerlegung. Gib beide Zerlegungen und den gekürzten Bruch an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Primfaktoren von 72
Primfaktoren von 120
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zähler ist $\mathsf{72=2^3\cdot3^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner ist $\mathsf{120=2^3\cdot3\cdot5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der gemeinsame Faktor enthält $\mathsf{2^3=8}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Mit dem gemeinsamen Faktor 3 ergibt sich $\mathsf{8\cdot3=24}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Den Zähler teilen: $\mathsf{72:24=3}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Den Nenner teilen: $\mathsf{120:24=5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Primfaktoren von 72 $\mathsf{2^3\cdot3^2}$
2. Primfaktoren von 120 $\mathsf{2^3\cdot3\cdot5}$
3. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{3}{5}}$
05
Aufgabe 5Brüche kürzen · ÜbungKürze $\mathsf{\frac{-24}{36}}$ und $\mathsf{\frac{0}{9}}$ vollständig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Minus 24 Sechsunddreißigstel
Null Neuntel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ersten Zähler durch 12 teilen: $\mathsf{-24:12=-2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ersten Nenner durch 12 teilen: $\mathsf{36:12=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweiten Zähler durch 9 teilen: $\mathsf{0:9=0}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zweiten Nenner durch 9 teilen: $\mathsf{9:9=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Minus 24 Sechsunddreißigstel $\mathsf{\frac{-2}{3}}$
2. Null Neuntel $\mathsf{\frac{0}{1}}$
06
Aufgabe 6Brüche kürzen · ÜbungIst $\mathsf{\frac{15}{28}}$ bereits vollständig gekürzt? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zähler hat die Primfaktoren $\mathsf{15=3\cdot5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner hat die Primfaktoren $\mathsf{28=2\cdot2\cdot7}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gibt keinen gemeinsamen Primfaktor.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilJa.
2. BegründungZähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Primfaktor und damit keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.
07
Aufgabe 7Brüche kürzen · TransferIm Streifen sind sechs von zehn gleich großen Teilen markiert. Bündle direkt in der Vorlage jeweils zwei benachbarte Teile durch einen Rahmen. Gib den Anteil in der gröberen Einteilung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anteil nach dem Bündeln
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zehn kleine Teile werden zu fünf Zweiergruppen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die sechs markierten Teile bilden drei vollständig markierte Zweiergruppen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Daher gilt $\mathsf{\frac{6}{10}=\frac{3}{5}}$
Ergebnis
1. Anteil nach dem Bündeln $\mathsf{\frac{3}{5}}$
08
Aufgabe 8Brüche kürzen · TransferJemand streicht in $\mathsf{\frac{6+3}{6+9}}$ beide Summanden 6 und erhält $\mathsf{\frac{3}{9}}$ . Ist das erlaubt? Gib den richtig gekürzten Ausgangsbruch an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Bruch
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der gesamte Zähler ist $\mathsf{6+3=9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der gesamte Nenner ist $\mathsf{6+9=15}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürzen mit 3 ergibt $\mathsf{\frac{9}{15}=\frac{3}{5}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die gemeinsamen Summanden 6 sind keine gemeinsamen Faktoren der gesamten Summen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtiger Bruch $\mathsf{\frac{3}{5}}$
3. BegründungNur gemeinsame Faktoren des gesamten Zählers und Nenners dürfen gekürzt werden, keine einzelnen Summanden.
09
Aufgabe 9Brüche kürzen · TransferKürze $\mathsf{\frac{14}{35}}$ mit 7. Darf man stattdessen null als Kürzungszahl wählen? Gib Ergebnis, Urteil und Begründung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Kürzungszahl null zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Den Zähler teilen: $\mathsf{14:7=2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Den Nenner teilen: $\mathsf{35:7=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürzen mit null würde Division durch null verlangen. Diese ist nicht definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis $\mathsf{\frac{2}{5}}$
2. Kürzungszahl null zulässig?Nein.
3. BegründungBeim Kürzen wird dividiert; Division durch null ist nicht definiert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich teile Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler.
Ich kürze vollständig und begründe das Ende.
Ich unterscheide Faktoren und Summanden.

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