Bruchrechnung · Erklären & üben

Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen multiplizierst du die Zähler miteinander und die Nenner miteinander. Gemeinsame Faktoren darfst du vorher oder nachher kürzen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bruch mal Bruch

Für zwei Brüche bildest du getrennt das Zählerprodukt und das Nennerprodukt. Alle Nenner müssen ungleich null sein. Einen gemeinsamen Nenner brauchst du für die Multiplikation nicht. Bei positiven Anteilen kann „mal“ auch „von“ bedeuten: Zwei Drittel von drei Fünfteln sind zwei Fünftel des ganzen Ausgangsrechtecks.

Multipliziere die Zähler.
Multipliziere die Nenner.
Kürze das Ergebnis vollständig.

$\mathsf{\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\quad(b\ne0,\ d\ne0)}$

3 Reihen und 5 Spalten. Erste 3 Spalten schraffiert. In den ersten 2 Reihen sind die schraffierten Felder zusätzlich angekreuzt.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}}$ .

Das Zählerprodukt ist $\mathsf{2\cdot3=6}$

Das Nennerprodukt ist $\mathsf{3\cdot5=15}$

Der Ergebnisbruch ist $\mathsf{\frac{6}{15}}$

Kürzen mit 3 ergibt $\mathsf{\frac{6}{15}=\frac{2}{5}}$

Erklärung 02

Vorher und über Kreuz kürzen

In einem Produkt stehen alle Zählerfaktoren oben und alle Nennerfaktoren unten. Deshalb kannst du einen gemeinsamen Faktor auch zwischen verschiedenen Brüchen kürzen. Dabei teilst du den gewählten Zählerfaktor und Nennerfaktor durch dieselbe Zahl. Die übrigen Faktoren bleiben erhalten. Summanden darfst du nicht einfach streichen.

Suche einen gemeinsamen Teiler eines Zähler- und Nennerfaktors.
Teile beide Faktoren durch diesen Teiler.
Multipliziere die verbleibenden Faktoren.

Über Kreuz kürzen ist gewöhnliches Kürzen im gemeinsamen Produktbruch.

Zählerprodukt: 12 durch 1. 4 mal 3 ergibt 12; Nennerprodukt: 72 durch 1. 9 mal 8 ergibt 72; Gekürzt: 1 durch 6. Beide Produkte durch 12

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}}$ durch vorheriges Kürzen.

Kürze 4 und 8 mit 4: $\mathsf{\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{2}}$

Kürze 3 und 9 mit 3: $\mathsf{\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}$

Das Zählerprodukt ist $\mathsf{1\cdot1=1}$

Das Nennerprodukt ist $\mathsf{3\cdot2=6}$

Erklärung 03

Ganze und gemischte Zahlen

Eine ganze Zahl wird als Bruch mit Nenner 1 geschrieben. Eine gemischte Zahl wandelst du zuerst in einen unechten Bruch um. Erst dann wendest du die Produktregel an. Multipliziere nicht nur den Bruchteil einer gemischten Zahl.

Schreibe ganze Zahlen mit Nenner 1.
Wandle gemischte Zahlen in einen Bruch um.
Multipliziere und kürze.

Eine gemischte Zahl beschreibt eine Summe aus Ganzem und Bruchteil.

Ein Ganzes: 3 durch 3. Drei Drittel; Plus zwei Drittel: 5 durch 3. Fünf Drittel insgesamt; Mal drei Zehntel: 1 durch 2. Gekürztes Produkt

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{5}{12}\cdot6}$ .

Schreibe den ganzen Faktor als Bruch: $\mathsf{6=\frac{6}{1}}$

Kürze 6 und 12 mit 6: $\mathsf{\frac{5}{12}\cdot\frac{6}{1}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{1}}$

Das Produkt ist $\mathsf{\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{5}{2}}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{1\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}}$ .

Ein Ganzes enthält drei Drittel; insgesamt sind es $\mathsf{3+2=5}$ Drittel

Daher gilt $\mathsf{1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}}$

Kürze die beiden Faktoren 3: $\mathsf{\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{10}=\frac{5}{1}\cdot\frac{1}{10}}$

Kürze 5 und 10 mit 5: $\mathsf{\frac{5}{1}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}}$

Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}$

Erklärung 04

Vorzeichen und mehrere Faktoren

Bei zwei von null verschiedenen Faktoren ergeben gleiche Vorzeichen ein positives Produkt und verschiedene Vorzeichen ein negatives Produkt. Ein Faktor null macht das gesamte Produkt null. Bei mehreren Brüchen kannst du schrittweise multiplizieren und kürzen.

Weiterlernen: Beim Dividieren von Brüchen wird der zweite Bruch durch seinen Kehrwert ersetzt; danach wird multipliziert.

Bestimme das Vorzeichen.
Multipliziere bei mehreren Faktoren schrittweise.
Kürze Zwischenergebnisse, damit die Zahlen übersichtlich bleiben.

Ein Faktor null genügt für ein Produkt null.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{-2}{7}\cdot\frac{3}{4}}$ und $\mathsf{0\cdot\frac{2}{9}}$ .

Das Zählerprodukt ist $\mathsf{(-2)\cdot3=-6}$

Das Nennerprodukt ist $\mathsf{7\cdot4=28}$

Kürzen mit 2 ergibt $\mathsf{\frac{-6}{28}=\frac{-3}{14}}$

Das zweite Produkt hat einen Nullfaktor: $\mathsf{0\cdot\frac{2}{9}=0}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{6}{5}}$ .

Die ersten beiden Faktoren ergeben $\mathsf{\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{36}}$

Kürzen mit 6 ergibt $\mathsf{\frac{6}{36}=\frac{1}{6}}$

Der dritte Faktor ergibt $\mathsf{\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{5}=\frac{6}{30}}$

Kürzen mit 6 ergibt $\mathsf{\frac{6}{30}=\frac{1}{5}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Brüche multiplizieren · BasisBerechne $\mathsf{\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7}}$ vollständig gekürzt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zähler multiplizieren: $\mathsf{2\cdot3=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nenner multiplizieren: $\mathsf{5\cdot7=35}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  6 und 35 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Ergebnis
1. Produkt $\mathsf{\frac{6}{35}}$
02
Aufgabe 2Brüche multiplizieren · BasisBerechne $\mathsf{\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9}}$ durch vorheriges Kürzen. Begründe, warum du über Kreuz kürzen darfst.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Kürzen mit 4 ergibt $\mathsf{\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{9}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürzen mit 3 ergibt $\mathsf{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt $\mathsf{\frac{1}{6}}$
2. BegründungIm gemeinsamen Produktbruch stehen die Zählerfaktoren oben und die Nennerfaktoren unten. Je ein gemeinsamer Faktor wird oben und unten geteilt.
03
Aufgabe 3Brüche multiplizieren · BasisBerechne $\mathsf{\frac{7}{10}\cdot5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die ganze Zahl wird als $\mathsf{5=\frac{5}{1}}$ geschrieben
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürzen mit 5 ergibt $\mathsf{\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{1}=\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{1}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{\frac{7}{2}}$
Ergebnis
1. Produkt $\mathsf{\frac{7}{2}}$
04
Aufgabe 4Brüche multiplizieren · ÜbungBerechne $\mathsf{2\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}}$ . Notiere zuerst die gemischte Zahl als unechten Bruch und danach das Produkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unechter Ausgangsbruch
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwei Ganze enthalten $\mathsf{2\cdot4=8}$ Viertel
2. Schritt 2 · Erklärung
  Mit dem weiteren Viertel sind es $\mathsf{8+1=9}$ Viertel
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die gemischte Zahl ist $\mathsf{\frac{9}{4}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{9}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{18}{12}}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Kürzen mit 6 ergibt $\mathsf{\frac{18}{12}=\frac{3}{2}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Unechter Ausgangsbruch $\mathsf{\frac{9}{4}}$
2. Produkt $\mathsf{\frac{3}{2}}$
05
Aufgabe 5Brüche multiplizieren · ÜbungBerechne $\mathsf{\frac{-3}{5}\cdot\frac{5}{6}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Faktoren 5 lassen sich kürzen: $\mathsf{\frac{-3}{5}\cdot\frac{5}{6}=\frac{-3}{1}\cdot\frac{1}{6}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{\frac{-3}{6}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürzen mit 3 ergibt $\mathsf{\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}}$
Ergebnis
1. Produkt $\mathsf{\frac{-1}{2}}$
06
Aufgabe 6Brüche multiplizieren · ÜbungBerechne $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{8}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die ersten beiden Faktoren ergeben $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{6}{21}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürzen mit 3 ergibt $\mathsf{\frac{6}{21}=\frac{2}{7}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der dritte Faktor ergibt $\mathsf{\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{8}=\frac{14}{56}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Kürzen mit 14 ergibt $\mathsf{\frac{14}{56}=\frac{1}{4}}$
Ergebnis
1. Produkt $\mathsf{\frac{1}{4}}$
07
Aufgabe 7Brüche multiplizieren · TransferDrei von vier Spalten sind in der Vorlage schraffiert. Markiere mit Kreuzen zwei Drittel dieser schraffierten Fläche. Gib ihren Anteil am ganzen Rechteck vollständig gekürzt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anteil am ganzen Rechteck
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Wähle zwei der drei gleich hohen Reihen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Markiere darin nur die drei schraffierten Spalten. Das sind sechs Felder.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Anteil am ganzen Rechteck ist $\mathsf{\frac{6}{12}=\frac{1}{2}}$
Ergebnis
1. Anteil am ganzen Rechteck $\mathsf{\frac{1}{2}}$
08
Aufgabe 8Brüche multiplizieren · TransferJemand „kürzt“ $\mathsf{\frac{2+3}{6}}$ zu $\mathsf{\frac{1+3}{3}}$ . Ist das richtig? Gib den richtigen Wert des Ausgangsbruchs an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Wert
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der gesamte Zähler ist $\mathsf{2+3=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Ausgangsbruch ist daher $\mathsf{\frac{5}{6}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die 2 ist nur ein Summand und kein Faktor des gesamten Zählers. Sie darf nicht allein gekürzt werden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtiger Wert $\mathsf{\frac{5}{6}}$
3. BegründungKürzen teilt den gesamten Zähler und Nenner durch denselben Faktor. Einzelne Summanden dürfen nicht gestrichen werden.
09
Aufgabe 9Brüche multiplizieren · TransferBerechne $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}}$ . Stimmt die Behauptung, ein Produkt sei immer größer als sein erster Faktor? Begründe anhand dieser Rechnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{6}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürzen ergibt $\mathsf{\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{\frac{1}{3}<\frac{2}{3}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt $\mathsf{\frac{1}{3}}$
2. UrteilNein.
3. BegründungDie Multiplikation mit einem Halb halbiert hier den positiven Ausgangswert. Das Produkt ist kleiner.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich multipliziere Zähler und Nenner getrennt.
Ich kürze nur gemeinsame Faktoren.
Ich wandle gemischte Zahlen vor dem Multiplizieren um.

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