Bruchrechnung · Erklären & üben

Brüche dividieren

Beim Dividieren durch einen Bruch multiplizierst du mit seinem Kehrwert. Nur der zweite Bruch wird umgekehrt. Durch null darfst du nicht teilen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nur den Divisor umkehren

Der erste Bruch ist der Dividend, der zweite der Divisor. Der Divisor muss von null verschieden sein. Seine Umkehrung macht aus der Division eine Multiplikation. Die ursprünglichen Nenner müssen ebenfalls ungleich null sein.

Prüfe, ob der Divisor zulässig ist.
Bilde nur vom Divisor den Kehrwert.
Multipliziere den unveränderten Dividenden mit diesem Kehrwert.

$\mathsf{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\quad(b\ne0,\ c\ne0,\ d\ne0)}$

Dividend bleibt: 3 durch 4. Drei Viertel; Divisor vorher: 2 durch 5. Zwei Fünftel; Kehrwert danach: 5 durch 2. Nun damit multiplizieren

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{3}{4}:\frac{2}{5}}$ .

Der Kehrwert des Divisors ist $\mathsf{\frac{5}{2}}$

Die Rechnung wird zu $\mathsf{\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}}$

Das Zählerprodukt ist $\mathsf{3\cdot5=15}$

Das Nennerprodukt ist $\mathsf{4\cdot2=8}$

Erklärung 02

Ganze und gemischte Zahlen zuerst umschreiben

Eine ganze Zahl wird als Bruch mit Nenner 1 geschrieben, egal an welcher Stelle sie steht. Eine gemischte Zahl wird zuerst in einen unechten Bruch umgewandelt. Danach bleibt die Regel gleich: nur den zweiten Bruch umkehren.

Schreibe beide Zahlen als einzelne Brüche.
Kehre den zweiten Bruch um.
Multipliziere und kürze.

Der Platz in der Rechnung entscheidet, welche Zahl umgekehrt wird.

Dividend 3: 3 durch 1. Bleibt drei Eintel; Divisor 4: 4 durch 1. Wird umgekehrt; Kehrwert von 4: 1 durch 4. Ein Viertel

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{5}{6}:4}$ .

Der Divisor ist $\mathsf{4=\frac{4}{1}}$

Sein Kehrwert ist $\mathsf{\frac{1}{4}}$

Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{24}}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3:\frac{2}{7}}$ .

Der Dividend wird als $\mathsf{3=\frac{3}{1}}$ geschrieben

Der Kehrwert des Divisors ist $\mathsf{\frac{7}{2}}$

Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{3}{1}\cdot\frac{7}{2}=\frac{21}{2}}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{1\frac{1}{2}:2\frac{1}{4}}$ .

Die erste gemischte Zahl ist $\mathsf{1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}}$

Die zweite gemischte Zahl ist $\mathsf{2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}}$

Die Division wird zu $\mathsf{\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{9}}$

Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{9}=\frac{12}{18}}$

Kürzen mit 6 ergibt $\mathsf{\frac{12}{18}=\frac{2}{3}}$

Erklärung 03

Null, Vorzeichen und Größe des Ergebnisses

Ein Dividend null ist erlaubt, sofern der Divisor nicht null ist. Das Ergebnis ist dann null. Ein Divisor null ist immer unzulässig. Bei von null verschiedenen Zahlen gelten die üblichen Vorzeichenregeln.

Division macht einen positiven Wert nicht immer kleiner. Beispielsweise fragt das Teilen durch ein Achtel danach, wie viele Achtelportionen in der Ausgangsmenge stecken.

Unterscheide Dividend und Divisor.
Prüfe insbesondere einen Nullwert beim Divisor.
Deute die Division bei Mengen als Anzahl von Portionen.

Ein kleiner positiver Divisor kann zu einem größeren Quotienten führen.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{-4}{9}:\frac{2}{3}}$ und $\mathsf{0:\frac{2}{3}}$ .

Die erste Division wird zu $\mathsf{\frac{-4}{9}\cdot\frac{3}{2}}$

Das Produkt ist $\mathsf{\frac{-12}{18}}$

Kürzen mit 6 ergibt $\mathsf{\frac{-12}{18}=\frac{-2}{3}}$

Die zweite Division hat einen zulässigen Divisor: $\mathsf{0:\frac{2}{3}=0}$

Erklärung 04

Mit der Multiplikation prüfen

Für die Probe multiplizierst du deinen Quotienten mit dem ursprünglichen Divisor. Dann muss der ursprüngliche Dividend herauskommen. Weiterlernen: Gemischte Bruchrechnungsaufgaben verbinden die vier Rechenarten; beachte dort zusätzlich die Rechenreihenfolge.

Berechne den Quotienten.
Multipliziere ihn mit dem ursprünglichen Divisor.
Vergleiche mit dem ursprünglichen Dividenden.

Quotient mal Divisor ergibt den Dividenden.

Quotient: 5 durch 6. Aus fünf Achteln geteilt; Mal Divisor: 3 durch 4. Drei Viertel; Ergebnis der Probe: 5 durch 8. Wieder der Dividend

So geht es am Beispiel

Berechne und prüfe $\mathsf{\frac{5}{8}:\frac{3}{4}}$ .

Die Division wird zu $\mathsf{\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{3}}$

Das Produkt ist $\mathsf{\frac{20}{24}}$

Kürzen mit 4 ergibt $\mathsf{\frac{20}{24}=\frac{5}{6}}$

Die Probe ergibt $\mathsf{\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}=\frac{15}{24}}$

Kürzen mit 3 ergibt $\mathsf{\frac{15}{24}=\frac{5}{8}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Brüche dividieren · BasisBerechne $\mathsf{\frac{2}{3}:\frac{4}{5}}$ . Gib den verwendeten Kehrwert und das Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kehrwert des Divisors
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Kehrwert des Divisors ist $\mathsf{\frac{5}{4}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürzen mit 2 ergibt $\mathsf{\frac{10}{12}=\frac{5}{6}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kehrwert des Divisors $\mathsf{\frac{5}{4}}$
2. Quotient $\mathsf{\frac{5}{6}}$
02
Aufgabe 2Brüche dividieren · BasisBerechne $\mathsf{\frac{7}{10}:7}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Divisor wird als $\mathsf{7=\frac{7}{1}}$ geschrieben
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Rechnung wird zu $\mathsf{\frac{7}{10}\cdot\frac{1}{7}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{7}{70}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Kürzen mit 7 ergibt $\mathsf{\frac{7}{70}=\frac{1}{10}}$
Ergebnis
1. Quotient $\mathsf{\frac{1}{10}}$
03
Aufgabe 3Brüche dividieren · BasisBerechne $\mathsf{4:\frac{2}{3}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Dividend ist $\mathsf{\frac{4}{1}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Multiplikation lautet $\mathsf{\frac{4}{1}\cdot\frac{3}{2}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{12}{2}=6}$
Ergebnis
1. Quotient6
04
Aufgabe 4Brüche dividieren · ÜbungBerechne $\mathsf{2\frac{1}{2}:1\frac{1}{4}}$ . Gib beide umgewandelten Ausgangsbrüche und den Quotienten an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dividend als Bruch
Divisor als Bruch
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Dividend wird zu $\mathsf{2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Divisor wird zu $\mathsf{1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Rechnung wird zu $\mathsf{\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{5}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{\frac{20}{10}=2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dividend als Bruch $\mathsf{\frac{5}{2}}$
2. Divisor als Bruch $\mathsf{\frac{5}{4}}$
3. Quotient2
05
Aufgabe 5Brüche dividieren · ÜbungBerechne $\mathsf{\frac{-3}{8}:\frac{1}{4}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Kehrwert des Divisors ist $\mathsf{\frac{4}{1}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{-3}{8}\cdot\frac{4}{1}=\frac{-12}{8}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürzen mit 4 ergibt $\mathsf{\frac{-12}{8}=\frac{-3}{2}}$
Ergebnis
1. Quotient $\mathsf{\frac{-3}{2}}$
06
Aufgabe 6Brüche dividieren · ÜbungBerechne $\mathsf{0:\frac{3}{5}}$ . Ist auch $\mathsf{\frac{3}{5}:0}$ zulässig? Gib das Ergebnis der ersten Rechnung, ein Urteil zur zweiten und die Begründung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis der ersten Rechnung
Zweite Rechnung zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Rechnung ergibt $\mathsf{0:\frac{3}{5}=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei der zweiten Rechnung ist null der Divisor. Division durch null ist nicht definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis der ersten Rechnung0
2. Zweite Rechnung zulässig?Nein.
3. BegründungEin Dividend null ist erlaubt; ein Divisor null hat keinen Kehrwert und ist unzulässig.
07
Aufgabe 7Brüche dividieren · TransferJemand wandelt $\mathsf{\frac{3}{4}:\frac{2}{3}}$ in $\mathsf{\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3}}$ um. Ist das richtig? Berechne das richtige Ergebnis und erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiges Ergebnis
Fehlererklärung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Hier wurde fälschlich der erste Bruch umgekehrt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Richtig ist $\mathsf{\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{2}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{9}{8}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtiges Ergebnis $\mathsf{\frac{9}{8}}$
3. FehlererklärungNur der zweite Bruch, also der Divisor, wird umgekehrt. Der Dividend bleibt unverändert.
08
Aufgabe 8Brüche dividieren · Transfer $\mathsf{\frac{3}{4}}$ Liter Saft werden in Portionen zu $\mathsf{\frac{1}{8}}$ Liter abgefüllt. Wie viele volle Portionen entstehen? Nutze die gleichmäßige Skala.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl voller Portionen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Dreiviertellitermenge entspricht $\mathsf{\frac{3}{4}=\frac{6}{8}}$ Liter
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jede Portion ist ein Achtelliter. Sechs solche Portionen passen in sechs Achtelliter.
Ergebnis
1. Anzahl voller Portionen6
09
Aufgabe 9Brüche dividieren · TransferBerechne $\mathsf{\frac{5}{6}:\frac{2}{3}}$ . Notiere den Quotienten und die vollständige Multiplikationsprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Multiplikationsprobe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Rechnung wird zu $\mathsf{\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{\frac{15}{12}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürzen mit 3 ergibt $\mathsf{\frac{15}{12}=\frac{5}{4}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Probe ergibt $\mathsf{\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{12}}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Kürzen mit 2 ergibt $\mathsf{\frac{10}{12}=\frac{5}{6}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient $\mathsf{\frac{5}{4}}$
2. Multiplikationsprobe $\mathsf{\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{6}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kehre nur den Divisor um.
Ich unterscheide null als Dividend und als Divisor.
Ich prüfe einen Quotienten durch Multiplikation.

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