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Bruchrechnung anwenden · Erklären & üben

Brüche vergleichen und ordnen

Beim Ordnen suchst du die Reihenfolge der Zahlen, nicht die Größe ihrer geschriebenen Ziffern. Gemeinsame Nenner und Zahlengeraden helfen dir, Brüche exakt zu vergleichen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleicher positiver Nenner

Bei gleichem positiven Nenner entscheidet der Zähler. Der größere Zähler bedeutet die größere Zahl. Das gilt auch für negative Zähler, wenn du deren Reihenfolge beachtest. Auf der Zahlengeraden ist eine weiter rechts liegende Zahl größer.

  1. Prüfe den gemeinsamen positiven Nenner.

  2. Vergleiche die Zähler als Zahlen.

Bei gleichem positiven Nenner entscheidet die Reihenfolge der Zähler.

So geht es am Beispiel

Vergleiche 27\mathsf{\frac{2}{7}} und 57\mathsf{\frac{5}{7}}.

Beide Brüche zählen Siebtel.

2<5\mathsf{2<5}

27<57\mathsf{\frac{2}{7}<\frac{5}{7}}

Ergebnis

27<57\mathsf{\frac{2}{7}<\frac{5}{7}}

Erklärung 02

Gleicher positiver Zähler

Bei gleichem positiven Zähler und positiven Nennern ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Ein Ganzes wird dann in weniger und damit größere Teile geteilt. Diese Regel darfst du nicht unverändert auf negative Zähler übertragen. Bei gleichem Zähler null haben alle zulässigen Brüche den Wert null.

  1. Prüfe, dass der gemeinsame Zähler positiv ist.

  2. Vergleiche die Größe der gleich oft genommenen Teile.

Weniger Teile pro Ganzem bedeuten größere Einzelteile.

Zwei gleich lange Streifen zeigen drei Viertel und drei Achtel. Die drei gefärbten Viertel umfassen die doppelte Länge der drei gefärbten Achtel.

So geht es am Beispiel

Vergleiche 34\mathsf{\frac{3}{4}} und 38\mathsf{\frac{3}{8}}.

Drei Viertel umfassen mehr als drei Achtel desselben Ganzen.

34=68\mathsf{\frac{3}{4}=\frac{6}{8}}

68>38\mathsf{\frac{6}{8}>\frac{3}{8}}

Ergebnis

34>38\mathsf{\frac{3}{4}>\frac{3}{8}}

Erklärung 03

Verschiedene Nenner exakt vergleichen

Mache Brüche gleichnamig und vergleiche dann ihre Zähler. Alternativ vergleichst du die Kreuzprodukte: Bei positiven Nennern b und d hat der Vergleich von a/b und c/d dieselbe Richtung wie der Vergleich von a·d und c·b. Das entspricht dem gemeinsamen Nenner b·d.

Gleiche Werte bekommen ein Gleichheitszeichen. Eine aufsteigende Liste darf deshalb Gleichheiten enthalten.

  1. Bringe beide Nenner in positive Form.

  2. Bilde einen gemeinsamen Nenner oder die Kreuzprodukte.

  3. Übernimm das exakte Vergleichszeichen.

Kreuzprodukte vergleichen setzt hier positive Nenner voraus.

Drei Fünftel und sieben Zwölftel werden über die Kreuzprodukte sechsunddreißig und fünfunddreißig verglichen. Drei Fünftel ist größer. Beide Nenner sind positiv.

So geht es am Beispiel

Vergleiche 58\mathsf{\frac{5}{8}} und 23\mathsf{\frac{2}{3}}.

58=1524\mathsf{\frac{5}{8}=\frac{15}{24}}

23=1624\mathsf{\frac{2}{3}=\frac{16}{24}}

15<16\mathsf{15<16}

Ergebnis

58<23\mathsf{\frac{5}{8}<\frac{2}{3}}

So geht es am Beispiel

Vergleiche 35\mathsf{\frac{3}{5}} und 712\mathsf{\frac{7}{12}} mit Kreuzprodukten.

3⋅12=36\mathsf{3\cdot12=36}

7⋅5=35\mathsf{7\cdot5=35}

36>35\mathsf{36>35}

Ergebnis

35>712\mathsf{\frac{3}{5}>\frac{7}{12}}

Erklärung 04

Gemischte und negative Zahlen

Bei positiven gemischten Zahlen vergleichst du zuerst die ganzen Anteile. Sind diese gleich, vergleichst du die Bruchanteile. Bei negativen gemischten Zahlen bezieht sich das Minuszeichen auf die gesamte Summe: −1 12\mathsf{-1\,\frac{1}{2}} bedeutet −(1+12)\mathsf{-(1+\frac{1}{2})}. Wandle solche Zahlen bei Bedarf in Brüche um.

Von zwei negativen Zahlen ist diejenige mit dem kleineren Betrag größer. Grob gerundete Kommazahlen können verschiedene Brüche gleich erscheinen lassen. Vergleiche dann exakt. Das Thema Bruch in Dezimalzahl erklärt die Umwandlung; zum sicheren Ordnen ist sie nicht erforderlich.

  1. Beachte das Vorzeichen der gesamten Zahl.

  2. Wandle gemischte Zahlen bei Bedarf in Brüche um.

  3. Ordne exakt; kontrolliere die Richtung auf der Zahlengeraden.

Weiter rechts bedeutet größer, auch bei negativen Zahlen.

Zahlengerade von minus eins bis null in Achtelschritten. Minus drei Viertel liegt links von minus drei Achteln und ist deshalb kleiner.

So geht es am Beispiel

Vergleiche −1 12\mathsf{-1\,\frac{1}{2}} und −1 14\mathsf{-1\,\frac{1}{4}}.

−1 12=−(1+12)\mathsf{-1\,\frac{1}{2}=-(1+\frac{1}{2})}

−(1+12)=−32\mathsf{-(1+\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}}

−32=−64\mathsf{-\frac{3}{2}=-\frac{6}{4}}

−1 14=−54\mathsf{-1\,\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}}

−6<−5\mathsf{-6<-5}

Ergebnis

−1 12<−1 14\mathsf{-1\,\frac{1}{2}<-1\,\frac{1}{4}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Brüche vergleichen und ordnen · 1Setze zwischen 311\mathsf{\frac{3}{11}} und 811\mathsf{\frac{8}{11}} das passende Vergleichszeichen. Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beide Nenner sind positiv und gleich.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      3<8\mathsf{3<8}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Vergleichszeichen<\mathsf{<}
    2. BegründungBei gleichen positiven Nennern entscheidet der Zähler. Drei ist kleiner als acht.
  2. Aufgabe 2Brüche vergleichen und ordnen · 1Vergleiche 56\mathsf{\frac{5}{6}} und 59\mathsf{\frac{5}{9}}. Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beide positiven Zähler sind fünf.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Sechstel desselben Ganzen sind größer als Neuntel.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Vergleichszeichen>\mathsf{>}
    2. BegründungEs werden jeweils fünf Teile genommen. Ein Sechstel ist größer als ein Neuntel, deshalb sind fünf Sechstel größer.
  3. Aufgabe 3Brüche vergleichen und ordnen · 2Vergleiche 712\mathsf{\frac{7}{12}} und 58\mathsf{\frac{5}{8}}. Gib beide Brüche mit Nenner 24 und das Vergleichszeichen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      712=1424\mathsf{\frac{7}{12}=\frac{14}{24}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      58=1524\mathsf{\frac{5}{8}=\frac{15}{24}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      14<15\mathsf{14<15}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erster Bruch1424\mathsf{\frac{14}{24}}
    2. Zweiter Bruch1524\mathsf{\frac{15}{24}}
    3. Vergleichszeichen<\mathsf{<}
  4. Aufgabe 4Brüche vergleichen und ordnen · 2Vergleiche 47\mathsf{\frac{4}{7}} und 712\mathsf{\frac{7}{12}} durch Kreuzprodukte. Nenne das Produkt erster Zähler mal zweiter Nenner, das andere Kreuzprodukt und das Vergleichszeichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      4⋅12=48\mathsf{4\cdot12=48}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      7⋅7=49\mathsf{7\cdot7=49}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      48<49\mathsf{48<49}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erstes Kreuzprodukt48
    2. Zweites Kreuzprodukt49
    3. Vergleichszeichen<\mathsf{<}
  5. Aufgabe 5Brüche vergleichen und ordnen · 2Ordne 2 34\mathsf{2\,\frac{3}{4}}, 1 56\mathsf{1\,\frac{5}{6}} und 2 23\mathsf{2\,\frac{2}{3}} aufsteigend.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Zahl mit dem ganzen Anteil eins ist die kleinste.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      34=912\mathsf{\frac{3}{4}=\frac{9}{12}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      23=812\mathsf{\frac{2}{3}=\frac{8}{12}}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      8<9\mathsf{8<9}

    Ergebnis

    1. Aufsteigende Reihenfolge1 56<2 23<2 34\mathsf{1\,\frac{5}{6}<2\,\frac{2}{3}<2\,\frac{3}{4}}
  6. Aufgabe 6Brüche vergleichen und ordnen · 3Vergleiche −34\mathsf{-\frac{3}{4}} und −38\mathsf{-\frac{3}{8}}. Darfst du die Regel für gleiche positive Zähler unverändert anwenden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      −34=−68\mathsf{-\frac{3}{4}=-\frac{6}{8}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      −6<−3\mathsf{-6<-3}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Minus drei Viertel liegt weiter links auf der Zahlengeraden.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Vergleichszeichen<\mathsf{<}
    2. Positive Zählerregel unverändert anwendbar?Nein
    3. BegründungDie Zähler sind negativ. Minus sechs Achtel ist kleiner als minus drei Achtel; die Zahl mit größerem Betrag liegt hier weiter links.
  7. Aufgabe 7Brüche vergleichen und ordnen · 2Ordne 12\mathsf{\frac{1}{2}}, 34\mathsf{\frac{3}{4}}, 24\mathsf{\frac{2}{4}} und −14\mathsf{-\frac{1}{4}} aufsteigend. Verwende auch Gleichheitszeichen, wenn nötig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      12=24\mathsf{\frac{1}{2}=\frac{2}{4}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      −1<2\mathsf{-1<2}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      2<3\mathsf{2<3}

    Ergebnis

    1. Aufsteigende Reihenfolge−14<12=24<34\mathsf{-\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=\frac{2}{4}<\frac{3}{4}}
  8. Aufgabe 8Brüche vergleichen und ordnen · 3Wandle −1 13\mathsf{-1\,\frac{1}{3}} und −1 14\mathsf{-1\,\frac{1}{4}} in Brüche um. Vergleiche beide Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      −1 13=−(1+13)\mathsf{-1\,\frac{1}{3}=-(1+\frac{1}{3})}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      −(1+13)=−43\mathsf{-(1+\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      −1 14=−(1+14)\mathsf{-1\,\frac{1}{4}=-(1+\frac{1}{4})}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      −(1+14)=−54\mathsf{-(1+\frac{1}{4})=-\frac{5}{4}}

    5. Schritt 5 · Erklärung

      −43=−1612\mathsf{-\frac{4}{3}=-\frac{16}{12}}

    6. Schritt 6 · Erklärung

      −54=−1512\mathsf{-\frac{5}{4}=-\frac{15}{12}}

    7. Schritt 7 · Erklärung

      −16<−15\mathsf{-16<-15}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erster Bruch−43\mathsf{-\frac{4}{3}}
    2. Zweiter Bruch−54\mathsf{-\frac{5}{4}}
    3. Vergleichszeichen<\mathsf{<}
  9. Aufgabe 9Brüche vergleichen und ordnen · 3Vergleiche 715\mathsf{\frac{7}{15}} und 919\mathsf{\frac{9}{19}} exakt. Nenne beide Kreuzprodukte und das Vergleichszeichen. Reicht die Rundung beider Werte auf eine Nachkommastelle zur Unterscheidung? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      7⋅19=133\mathsf{7\cdot19=133}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      9⋅15=135\mathsf{9\cdot15=135}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      133<135\mathsf{133<135}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Beide Brüche liegen zwischen 0,45 und 0,5. Beide runden sich auf eine Nachkommastelle zu 0,5.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erstes Kreuzprodukt133
    2. Zweites Kreuzprodukt135
    3. Vergleichszeichen<\mathsf{<}
    4. Reicht die genannte Rundung?Nein
    5. BegründungBeide Werte runden sich zu 0,5, obwohl der erste Bruch exakt kleiner ist. Die Kreuzprodukte unterscheiden sie sicher.
  10. Aufgabe 10Brüche vergleichen und ordnen · 2Markiere −12\mathsf{-\frac{1}{2}}, 14\mathsf{\frac{1}{4}} und 34\mathsf{\frac{3}{4}} auf der Viertelzahlengeraden. Notiere ihre aufsteigende Reihenfolge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Zahlengerade von minus eins bis eins mit identischen Viertelschritten. Die drei gefragten Brüche als Punkte einzeichnen und beschriften.
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      −12=−24\mathsf{-\frac{1}{2}=-\frac{2}{4}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Markiere zwei Viertelschritte links von null sowie einen und drei Viertelschritte rechts von null.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Lies die Punkte von links nach rechts.

    Ergebnis

    1. Aufsteigende Reihenfolge−12<14<34\mathsf{-\frac{1}{2}<\frac{1}{4}<\frac{3}{4}}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Bedingungen einer Vergleichsregel.
  • Ich lasse Gleichheiten in einer geordneten Liste zu.
  • Ich runde nahe Werte nicht vor dem Vergleich.

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