Bruchrechnung anwenden · Erklären & üben

Brüche gleichnamig machen

Gleichnamige Brüche haben denselben Nenner. Du stellst gleich große Bruchteile her, ohne den Wert der einzelnen Brüche zu verändern.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleich große Teile

Der Nenner gibt die Einteilung des Ganzen an. Brüche mit demselben Nenner heißen gleichnamig. Ihre Zähler müssen nicht gleich sein. Hier verwenden wir positive Nenner; ein Minuszeichen steht vor dem Bruch oder im Zähler.

Vergleiche die Nenner.
Sind sie gleich, ist keine Erweiterung nötig.

Gleichnamig bedeutet: gleicher Nenner.

Zwei Drittel wird mit vier erweitert. Zwei mal vier ergibt acht, drei mal vier ergibt zwölf. Beide Brüche haben denselben Wert.

So geht es am Beispiel

Sind $\mathsf{\frac{2}{9}}$ und $\mathsf{\frac{7}{9}}$ gleichnamig?

Beide Nenner sind neun.

Die verschiedenen Zähler ändern daran nichts.

Erklärung 02

Das Produkt der Nenner

Multipliziere die beiden positiven Nenner. Ihr Produkt ist immer ein gemeinsamer Nenner. Erweitere den ersten Bruch mit dem zweiten Nenner und den zweiten mit dem ersten. Das Produkt muss nicht der kleinste gemeinsame Nenner sein.

Multipliziere die Nenner.
Erweitere jeden Zähler mit dem passenden Faktor.

Auch der Zähler wird mit dem Erweiterungsfaktor multipliziert.

Vier gleich lange Streifen zeigen zwei Drittel und acht Zwölftel sowie ein Viertel und drei Zwölftel. Die zugehörigen gefärbten Längen bleiben unverändert.

So geht es am Beispiel

Mache $\mathsf{\frac{2}{3}}$ und $\mathsf{\frac{1}{4}}$ mit dem Nennerprodukt gleichnamig.

$\mathsf{3\cdot4=12}$

$\mathsf{\frac{2}{3}=\frac{8}{12}}$

$\mathsf{\frac{1}{4}=\frac{3}{12}}$

Erklärung 03

Den kleinsten gemeinsamen Nenner finden

Das kleinste gemeinsame Vielfache der positiven Nenner heißt Hauptnenner. Suche in ihren Vielfachenreihen die kleinste gemeinsame positive Zahl. Teile den Hauptnenner durch den jeweiligen Nenner, um den Erweiterungsfaktor zu erhalten. Ist ein Nenner bereits der Hauptnenner, ist der Faktor eins.

Warum nicht immer das Produkt nehmen? Es ist richtig, kann aber größere Zahlen erzeugen als nötig. Das kgV hilft, übersichtlich zu rechnen.

Bestimme das kgV der Nenner.
Bestimme für jeden Bruch seinen eigenen Faktor.
Erweitere jeden Bruch wertgleich.

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame positive Vielfache.

Die ersten sechs positiven Vielfachen von sechs und neun sind zeilenweise angeordnet. Achtzehn ist in beiden Reihen hervorgehoben; es ist das kleinste gemeinsame positive Vielfache.

So geht es am Beispiel

Mache $\mathsf{\frac{5}{6}}$ und $\mathsf{\frac{2}{9}}$ mit dem Hauptnenner gleichnamig.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{kgV}}(6,9)=18}$

$\mathsf{18:6=3}$

$\mathsf{\frac{5}{6}=\frac{15}{18}}$

$\mathsf{18:9=2}$

$\mathsf{\frac{2}{9}=\frac{4}{18}}$

Erklärung 04

Mit gleichnamigen Brüchen weiterrechnen

Gleichnamige Brüche lassen sich addieren, subtrahieren und durch ihre Zähler vergleichen. Der gemeinsame Nenner bleibt bei Addition und Subtraktion erhalten. Ein Minuszeichen ändert den Erweiterungsfaktor nicht; es wird mit übernommen. Das Thema Brüche addieren führt die Addition weiter, Brüche vergleichen und ordnen vertieft die Reihenfolge.

Zuerst gleichnamig machen.
Danach die verlangte Operation ausführen.
Am Ende bei Bedarf kürzen.

Gleichnamig machen bereitet den nächsten Rechenschritt vor.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{1}{6}+\frac{3}{8}}$ .

$\mathsf{\operatorname{\textsf{kgV}}(6,8)=24}$

$\mathsf{\frac{1}{6}=\frac{4}{24}}$

$\mathsf{\frac{3}{8}=\frac{9}{24}}$

$\mathsf{\frac{4}{24}+\frac{9}{24}=\frac{13}{24}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Brüche gleichnamig machen · 1Sind $\mathsf{\frac{3}{7}}$ und $\mathsf{\frac{5}{7}}$ gleichnamig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beide Brüche haben den Nenner sieben.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilJa
2. BegründungBeide Nenner sind sieben. Die Zähler dürfen verschieden sein.
02
Aufgabe 2Brüche gleichnamig machen · 1Mache $\mathsf{\frac{1}{4}}$ und $\mathsf{\frac{2}{3}}$ mit dem Produkt der Nenner gleichnamig. Nenne das Produkt und beide umgeformten Brüche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nennerprodukt
Erster umgeformter Bruch
Zweiter umgeformter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{4\cdot3=12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{1}{4}=\frac{3}{12}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{2}{3}=\frac{8}{12}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nennerprodukt12
2. Erster umgeformter Bruch $\mathsf{\frac{3}{12}}$
3. Zweiter umgeformter Bruch $\mathsf{\frac{8}{12}}$
03
Aufgabe 3Brüche gleichnamig machen · 2Mache $\mathsf{\frac{5}{6}}$ und $\mathsf{\frac{7}{9}}$ erst mit dem Nennerprodukt und dann mit dem Hauptnenner gleichnamig. Nenne jeweils den Nenner und beide Brüche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nennerprodukt
Erster Bruch mit Nennerprodukt
Zweiter Bruch mit Nennerprodukt
Hauptnenner
Erster Bruch mit Hauptnenner
Zweiter Bruch mit Hauptnenner
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{6\cdot9=54}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{5}{6}=\frac{45}{54}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{7}{9}=\frac{42}{54}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{kgV}}(6,9)=18}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{5}{6}=\frac{15}{18}}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{7}{9}=\frac{14}{18}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nennerprodukt54
2. Erster Bruch mit Nennerprodukt $\mathsf{\frac{45}{54}}$
3. Zweiter Bruch mit Nennerprodukt $\mathsf{\frac{42}{54}}$
4. Hauptnenner18
5. Erster Bruch mit Hauptnenner $\mathsf{\frac{15}{18}}$
6. Zweiter Bruch mit Hauptnenner $\mathsf{\frac{14}{18}}$
04
Aufgabe 4Brüche gleichnamig machen · 2Mache $\mathsf{\frac{3}{8}}$ und $\mathsf{\frac{5}{12}}$ mit dem Hauptnenner gleichnamig. Nenne diesen und beide Brüche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptnenner
Erster Bruch
Zweiter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{kgV}}(8,12)=24}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{3}{8}=\frac{9}{24}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{5}{12}=\frac{10}{24}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptnenner24
2. Erster Bruch $\mathsf{\frac{9}{24}}$
3. Zweiter Bruch $\mathsf{\frac{10}{24}}$
05
Aufgabe 5Brüche gleichnamig machen · 2Mache $\mathsf{\frac{1}{4}}$ , $\mathsf{\frac{5}{6}}$ und $\mathsf{\frac{7}{8}}$ mit dem Hauptnenner gleichnamig. Nenne diesen und alle drei Brüche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptnenner
Erster Bruch
Zweiter Bruch
Dritter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{kgV}}(4,6,8)=24}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{1}{4}=\frac{6}{24}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{5}{6}=\frac{20}{24}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{7}{8}=\frac{21}{24}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptnenner24
2. Erster Bruch $\mathsf{\frac{6}{24}}$
3. Zweiter Bruch $\mathsf{\frac{20}{24}}$
4. Dritter Bruch $\mathsf{\frac{21}{24}}$
06
Aufgabe 6Brüche gleichnamig machen · 2Mache $\mathsf{\frac{2}{5}}$ und $\mathsf{\frac{1}{10}}$ gleichnamig. Nenne den Hauptnenner, beide Erweiterungsfaktoren und beide Brüche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptnenner
Faktor für den ersten Bruch
Faktor für den zweiten Bruch
Erster Bruch
Zweiter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{kgV}}(5,10)=10}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{10:5=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{10:10=1}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{2}{5}=\frac{4}{10}}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{1}{10}=\frac{1}{10}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptnenner10
2. Faktor für den ersten Bruch2
3. Faktor für den zweiten Bruch1
4. Erster Bruch $\mathsf{\frac{4}{10}}$
5. Zweiter Bruch $\mathsf{\frac{1}{10}}$
07
Aufgabe 7Brüche gleichnamig machen · 3Ist $\mathsf{\frac{2}{3}=\frac{2}{12}}$ richtig? Korrigiere den Bruch mit Nenner zwölf und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Korrigierter Bruch
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{12:3=4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2\cdot4=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{2}{3}=\frac{8}{12}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Korrigierter Bruch $\mathsf{\frac{8}{12}}$
3. BegründungDer Nenner wurde mit vier multipliziert. Auch der Zähler muss mit vier multipliziert werden, damit der Wert gleich bleibt.
08
Aufgabe 8Brüche gleichnamig machen · 3Berechne $\mathsf{\frac{3}{10}+\frac{1}{4}}$ . Nenne den Hauptnenner, beide gleichnamigen Brüche und die Summe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptnenner
Erster Bruch
Zweiter Bruch
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{kgV}}(10,4)=20}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{3}{10}=\frac{6}{20}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{1}{4}=\frac{5}{20}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{6}{20}+\frac{5}{20}=\frac{11}{20}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptnenner20
2. Erster Bruch $\mathsf{\frac{6}{20}}$
3. Zweiter Bruch $\mathsf{\frac{5}{20}}$
4. Summe $\mathsf{\frac{11}{20}}$
09
Aufgabe 9Brüche gleichnamig machen · 3Mache $\mathsf{-\frac{2}{9}}$ und $\mathsf{\frac{5}{12}}$ mit dem Hauptnenner gleichnamig. Nenne diesen und beide Brüche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptnenner
Erster Bruch
Zweiter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{kgV}}(9,12)=36}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{-\frac{2}{9}=-\frac{8}{36}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{5}{12}=\frac{15}{36}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptnenner36
2. Erster Bruch $\mathsf{-\frac{8}{36}}$
3. Zweiter Bruch $\mathsf{\frac{15}{36}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide gemeinsamen Nenner und Hauptnenner.
Ich bestimme jeden Erweiterungsfaktor einzeln.
Ich verändere den Wert eines Bruchs nicht.

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