Dreiecke und Winkelfunktionen · Erklären & üben

Cosinus

Der Cosinus eines spitzen Winkels beschreibt im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse. Die Hypotenuse bleibt beim Wechsel des Bezugswinkels dieselbe; die Katheten tauschen ihre Rollen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ankathete geteilt durch Hypotenuse

Die Ankathete berührt den Bezugswinkel und ist keine Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel. Für einen spitzen Winkel ist der Cosinus positiv und kleiner als1. Die Bezeichnungen Gegen- und Ankathete sind immer auf den markierten Winkel bezogen.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{\cos\alpha=\frac{A}{H}}$

So geht es am Beispiel

Es gilt $\mathsf{A=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{H=5\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme $\mathsf{\cos\alpha}$ .

\mathsf{\cos\alpha=4/5=0{,}8}

Beide Längen besitzen dieselbe Einheit; ihr Verhältnis ist einheitenlos.

Erklärung 02

Cosinus als waagerechte Koordinate

Am Einheitskreis ist der Cosinus die x-Koordinate. Der Winkel beginnt an der positiven x-Achse und läuft gegen den Uhrzeigersinn. Der Graph $\mathsf{y=\cos x}$ beginnt bei $\mathsf{x=0}$ mit dem Wert1. Seine Werte liegen zwischen minus eins und eins; seine kleinste positive Periode ist $\mathsf{2\pi}$ im Bogenmaß.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{P=(\cos\alpha,\sin\alpha)}$

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{\cos180^\circ}$ .

Der Kreispunkt liegt bei (-1|0).

Seine x-Koordinate ist minus eins.

Erklärung 03

Ankathete, Hypotenuse oder Winkel

Für eine gesuchte Seite stellst du die Verhältnisgleichung um. Für den spitzen Winkel verwendest du $\mathsf{\arccos(A/H)}$ . Gradaufgaben erfordern DEG; im Bogenmaß gilt RAD. $\mathsf{\arccos}$ ist die Umkehrfunktion und nicht der Kehrwert des Cosinus. Die Dreiecksbeziehung gilt nur, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.

Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.
Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

$\mathsf{A=H\cos\alpha,\qquad H=\frac{A}{\cos\alpha}}$

So geht es am Beispiel

Berechne H für $\mathsf{A=6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=60^\circ}$ .

\mathsf{H=6/\cos60^\circ=6/0{,}5}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Cosinus · standardZum spitzen Winkel gehören $\mathsf{A=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{H=5\,\mathsf{cm}}$ . Berechne den Cosinus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Cosinus
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\cos\alpha=A/H=4/5}$
Ergebnis
1. Cosinus $\mathsf{0{,}8}$
02
Aufgabe 2Cosinus · standardBerechne die Ankathete für $\mathsf{H=14\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=60^\circ}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ankathete
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=14\cos60^\circ=14\cdot0{,}5}$
Ergebnis
1. Ankathete $\mathsf{A=7\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3Cosinus · standardBerechne H für $\mathsf{A=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=60^\circ}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{H=8/0{,}5}$
Ergebnis
1. Hypotenuse $\mathsf{H=16\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Cosinus · standardBestimme den spitzen Winkel bei $\mathsf{A=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{H=10\,\mathsf{cm}}$ auf eine Nachkommastelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\cos\alpha=8/10=0{,}8}$
  $\mathsf{\alpha=\arccos(0{,}8)\approx36{,}9^\circ}$
Ergebnis
1. Winkel $\mathsf{\alpha\approx36{,}9^\circ}$
05
Aufgabe 5Cosinus · standardBeschrifte im vorbereiteten Dreieck die Gegenkathete G, die Ankathete A und die Hypotenuse H zum markierten Winkel $\mathsf{\alpha}$ . Notiere die Cosinusbeziehung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung
Beziehung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  AC ist die Ankathete, BC die Gegenkathete und AB die Hypotenuse.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ZeichnungAC:A; BC:G; AB:H.
2. Beziehung $\mathsf{\cos\alpha=A/H}$
06
Aufgabe 6Cosinus · standardBestimme $\mathsf{\cos180^\circ}$ und $\mathsf{\cos0^\circ}$ anhand der x-Koordinate am Einheitskreis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Cosinus180°
Cosinus0°
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die zugehörigen Punkte sind (-1|0) und (1|0).
Ergebnisse & Teilantworten
1. Cosinus180° $\mathsf{-1}$
2. Cosinus0° $\mathsf{1}$
07
Aufgabe 7Cosinus · standardIm rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten3cm und4cm, die Hypotenuse5cm. $\mathsf{\alpha}$ liegt gegenüber3cm, $\mathsf{\beta}$ gegenüber4cm. Berechne beide Cosinuswerte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Cosinus α
Cosinus β
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Zu α ist die 4cm-Seite die Ankathete; zu β ist es die 3cm-Seite.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Cosinus α $\mathsf{\cos\alpha=4/5=0{,}8}$
2. Cosinus β $\mathsf{\cos\beta=3/5=0{,}6}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verwechsle die Ankathete nicht mit der Hypotenuse.
Ich bestimme den Cosinus am Einheitskreis aus der x-Koordinate.
Ich berechne Winkel mit arccos im passenden Modus.

AT Academy · Version 2026-10-21