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Dreiecke und Winkelfunktionen · Erklären & üben

Sinus

Der Sinus verbindet in einem rechtwinkligen Dreieck einen spitzen Winkel mit zwei Seitenlängen. Entscheidend ist der Bezugswinkel: Seine Gegenkathete steht im Zähler, die Hypotenuse im Nenner.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse

Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite. Die Gegenkathete liegt gegenüber dem gewählten spitzen Winkel α\mathsf{\alpha}. Die andere Kathete heißt Ankathete. Ähnliche rechtwinklige Dreiecke besitzen zum gleichen Winkel dasselbe Seitenverhältnis. Im rechtwinkligen Dreieck gilt 0∘<α<90∘\mathsf{0^\circ<\alpha<90^\circ} und damit 0<sin⁡α<1\mathsf{0<\sin\alpha<1}.

  1. Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.

  2. Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

sin⁡α=GH\mathsf{\sin\alpha=\frac{G}{H}}

Seiten zum Bezugswinkel α

So geht es am Beispiel

Zu α\mathsf{\alpha} gehören die Gegenkathete G=3 cm\mathsf{G=3\,\mathsf{cm}} und die Hypotenuse H=5 cm\mathsf{H=5\,\mathsf{cm}}. Berechne den Sinus.

sin⁡α=35=0,6\mathsf{\sin\alpha=\frac35=0{,}6}

Die Längeneinheiten kürzen sich; der Sinus ist einheitenlos.

Ergebnis

sin⁡α=0,6\mathsf{\sin\alpha=0{,}6}

Erklärung 02

Sinus als Höhe am Einheitskreis

Am Einheitskreis mit Radius1 ist der Sinus die y-Koordinate des Kreispunkts. Der Winkel beginnt an der positiven x-Achse und läuft gegen den Uhrzeigersinn. So erweitert sich die Definition auf beliebige Winkel. Der Graph y=sin⁡x\mathsf{y=\sin x} hat Werte zwischen minus eins und eins und wiederholt sich nach 2π\mathsf{2\pi} im Bogenmaß beziehungsweise 360∘\mathsf{360^\circ}.

  1. Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.

  2. Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

P=(cos⁡α,sin⁡α)\mathsf{P=(\cos\alpha,\sin\alpha)}

Einheitskreis und Sinus
Funktionsgraph im Bogenmaß

So geht es am Beispiel

Welchen Wert hat sin⁡90∘\mathsf{\sin90^\circ}?

Der Kreispunkt liegt oben auf der y-Achse bei (0|1).

Seine y-Koordinate ist1.

Ergebnis

sin⁡90∘=1\mathsf{\sin90^\circ=1}

Erklärung 03

Seiten oder Winkel bestimmen

Eine gesuchte Gegenkathete erhältst du durch Multiplikation mit H; eine gesuchte Hypotenuse durch Division durch den Sinus. Für den Winkel verwendest du arcsin⁡(G/H)\mathsf{\arcsin(G/H)}, am Taschenrechner oft als inverse Sinusfunktion bezeichnet. Das ist nicht 1/sin⁡α\mathsf{1/\sin\alpha}. Für Gradwinkel wähle DEG. Es gilt 180∘=π\mathsf{180^\circ=\pi}; Winkel ohne Gradzeichen in Funktionsgleichungen verwenden hier RAD.

  1. Markiere die gegebenen Größen und den Bezugswinkel.

  2. Wähle die Beziehung, stelle um und kontrolliere den Winkelmodus.

G=Hsin⁡α,H=Gsin⁡α\mathsf{G=H\sin\alpha,\qquad H=\frac{G}{\sin\alpha}}

So geht es am Beispiel

Berechne G bei H=10 cm\mathsf{H=10\,\mathsf{cm}} und α=30∘\mathsf{\alpha=30^\circ}.

G=10sin⁡30∘=10⋅12\mathsf{G=10\sin30^\circ=10\cdot\frac12}

Ergebnis

G=5 cm\mathsf{G=5\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Sinus · standardEin rechtwinkliges Dreieck hat zum Winkel α\mathsf{\alpha} die Gegenkathete3cm und Hypotenuse5cm. Berechne sin⁡α\mathsf{\sin\alpha}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡α=3/5=0,6\mathsf{\sin\alpha=3/5=0{,}6}

    Ergebnis

    1. Sinus0,6\mathsf{0{,}6}
  2. Aufgabe 2Sinus · standardBerechne die Gegenkathete für H=12 cm\mathsf{H=12\,\mathsf{cm}} und α=30∘\mathsf{\alpha=30^\circ}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=Hsin⁡α=12⋅0,5\mathsf{G=H\sin\alpha=12\cdot0{,}5}

    Ergebnis

    1. GegenkatheteG=6 cm\mathsf{G=6\,\mathsf{cm}}
  3. Aufgabe 3Sinus · standardBerechne die Hypotenuse für G=7 cm\mathsf{G=7\,\mathsf{cm}} und α=30∘\mathsf{\alpha=30^\circ}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      H=G/sin⁡α=7/0,5\mathsf{H=G/\sin\alpha=7/0{,}5}

    Ergebnis

    1. HypotenuseH=14 cm\mathsf{H=14\,\mathsf{cm}}
  4. Aufgabe 4Sinus · standardEs gilt G=6 cm\mathsf{G=6\,\mathsf{cm}} und H=10 cm\mathsf{H=10\,\mathsf{cm}}. Berechne den spitzen Winkel auf eine Nachkommastelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡α=6/10=0,6\mathsf{\sin\alpha=6/10=0{,}6}
      α=arcsin⁡(0,6)≈36,9∘\mathsf{\alpha=\arcsin(0{,}6)\approx36{,}9^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Rechner steht auf DEG.

    Ergebnis

    1. Winkelα≈36,9∘\mathsf{\alpha\approx36{,}9^\circ}
  5. Aufgabe 5Sinus · standardDie Vorlage zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit Bezugswinkel α\mathsf{\alpha} bei A. Ergänze die Seitenbezeichnungen G, A und H bezogen auf diesen Winkel und notiere die Sinusbeziehung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Beschriftete Zeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      BC liegt gegenüber α und ist G. AC berührt α und ist die Ankathete A. AB liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist H.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Beschriftete ZeichnungBC:G; AC:A; AB:H.
    2. Beziehungsin⁡α=G/H\mathsf{\sin\alpha=G/H}
  6. Aufgabe 6Sinus · standardBestimme sin⁡270∘\mathsf{\sin270^\circ} mit dem Einheitskreis. Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Kreispunkt liegt unten bei (0|-1); der Sinus ist seine y-Koordinate.

    Ergebnis

    1. Sinussin⁡270∘=−1\mathsf{\sin270^\circ=-1}
  7. Aufgabe 7Sinus · standardWarum liefern sin⁡30∘\mathsf{\sin30^\circ} im DEG-Modus und sin⁡(π/6)\mathsf{\sin(\pi/6)} im RAD-Modus denselben Wert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      30∘=30180π=π/6\mathsf{30^\circ=\frac{30}{180}\pi=\pi/6}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Es handelt sich um denselben Winkel in zwei Einheiten.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Wert1/2\mathsf{1/2}
    2. BegründungDie Winkel sind gleich; nur die Darstellung und der passende Rechnermodus unterscheiden sich.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich erkenne Gegenkathete und Hypotenuse zum Bezugswinkel.
  • Ich unterscheide Sinus und Arkussinus.
  • Ich stelle DEG für Gradwinkel und RAD für Bogenmaß ein.

AT Academy · Version 2026-10-21

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