Funktionsbegriffe · Erklären & üben

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich enthält alle erlaubten Eingaben einer Funktion. Wir bestimmen hier maximale reelle Definitionsbereiche von Termen, sofern kein kleinerer Bereich durch die Aufgabe oder den Sachzusammenhang vorgegeben ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundmenge und Schreibweise

Unsere Grundmenge ist zunächst $\mathsf{\mathbb R}$ . Ein Term darf nur für Werte eingesetzt werden, für die alle Rechenschritte reelle, definierte Ergebnisse liefern.

$\mathsf{[a,b]}$ enthält beide Randpunkte, $\mathsf{(a,b)}$ keinen. Gemischte Klammern enthalten nur den jeweils eckig geklammerten Rand. Bei $\mathsf{\infty}$ und $\mathsf{-\infty}$ steht immer eine runde Klammer.

$\mathsf{\mathbb R\setminus\{2\}}$ bedeutet alle reellen Zahlen außer 2. Es kann auch als $\mathsf{(-\infty,2)\cup(2,\infty)}$ geschrieben werden.

Übersicht der Bedingungen für Nenner, Wurzel und Logarithmus.

Erklärung 02

Polynome und Nenner

Polynome wie $\mathsf{3x^4-2x+1}$ sind für alle reellen x definiert. Bei einem Bruch darf der Nenner nicht 0 werden.

Prüfe den ursprünglichen Term vor dem Kürzen. Eine dadurch sichtbar werdende einfachere Formel ergänzt ausgeschlossene Stellen nicht automatisch.

So geht es am Beispiel

Bestimme D für $\mathsf{f(x)=\frac{x+1}{x^2-9}}$ .

\mathsf{x^2-9\ne0}

\mathsf{(x-3)(x+3)\ne0}

\mathsf{x\ne-3\quad\textsf{und}\quad x\ne3}

Erklärung 03

Wurzeln und Randpunkte

Unter einer geraden Wurzel muss der Radikand nichtnegativ sein. Für $\mathsf{\sqrt{g(x)}}$ gilt deshalb $\mathsf{g(x)\ge0}$ .

Steht die Wurzel im Nenner, muss sie zusätzlich ungleich 0 sein: Bei $\mathsf{1/\sqrt{g(x)}}$ ist also $\mathsf{g(x)>0}$ nötig.

Ungerade Wurzeln wie $\mathsf{\sqrt[3]{x}}$ sind auch für negative Radikanden reell definiert.

Zwei Zahlenstrahlen zeigen x≥3 mit geschlossenem und x>3 mit offenem Randpunkt.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{f(x)=\sqrt{2x-6}}$ und $\mathsf{g(x)=1/\sqrt{2x-6}}$ .

Für f: $\mathsf{2x-6\ge0}$ .

\mathsf{x\ge3}

Für g: $\mathsf{2x-6>0}$ .

\mathsf{x>3}

Erklärung 04

Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen

$\mathsf{e^x}$ , $\mathsf{\operatorname{\textsf{sin}}x}$ und $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}x}$ sind für alle reellen x definiert. Beim Logarithmus muss das Argument strikt positiv sein.

Für $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}x=\operatorname{\textsf{sin}}x/\operatorname{\textsf{cos}}x}$ muss $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}x\ne0}$ gelten. Im Bogenmaß sind daher $\mathsf{x=\pi/2+k\pi}$ für $\mathsf{k\in\mathbb Z}$ ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Bestimme D für $\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}(5-2x)}$ .

\mathsf{5-2x>0}

\mathsf{-2x>-5}

\mathsf{x<5/2}

Erklärung 05

Mehrere Bedingungen gleichzeitig

Bei zusammengesetzten Termen müssen alle Bedingungen zugleich erfüllt sein. Bilde die Schnittmenge der erlaubten Bereiche.

Ein Sachmodell kann den rechnerisch möglichen Bereich weiter einschränken: Eine Anzahl ist ganzzahlig, eine seit dem Start vergangene Zeit nicht negativ.

So geht es am Beispiel

Bestimme D für $\mathsf{f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}}$ .

\mathsf{x-1\ge0\Rightarrow x\ge1}

\mathsf{x-3\ne0\Rightarrow x\ne3}

Beide Bedingungen müssen gelten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Definitionsbereich · EinstiegBestimme den maximalen reellen Definitionsbereich von $\mathsf{f(x)=4x^5-x+7}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Term ist ein Polynom.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Keine Nenner, Wurzeln oder Logarithmen schränken ihn ein.
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=\mathbb R}$ .
02
Aufgabe 2Definitionsbereich · EinstiegBestimme D für $\mathsf{f(x)=1/(x-4)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-4\ne0}$
  $\mathsf{x\ne4}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{4\}}$ .
03
Aufgabe 3Definitionsbereich · StandardBestimme D für $\mathsf{f(x)=\frac2{x^2-x}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-x=x(x-1)}$
  $\mathsf{x(x-1)\ne0}$
  $\mathsf{x\ne0,\quad x\ne1}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0,1\}}$ .
04
Aufgabe 4Definitionsbereich · StandardBestimme D für $\mathsf{f(x)=\sqrt{7-x}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7-x\ge0}$
  $\mathsf{x\le7}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=(-\infty,7]}$ ; 7 ist erlaubt.
05
Aufgabe 5Definitionsbereich · StandardBestimme D für $\mathsf{f(x)=1/\sqrt{x+2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Radikand muss positiv sein, weil die Wurzel im Nenner steht.
  $\mathsf{x+2>0}$
  $\mathsf{x>-2}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=(-2,\infty)}$ .
06
Aufgabe 6Definitionsbereich · StandardBestimme D für $\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}(3x-6)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x-6>0}$
  $\mathsf{3x>6}$
  $\mathsf{x>2}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=(2,\infty)}$ ; 2 ist nicht erlaubt.
07
Aufgabe 7Definitionsbereich · StandardBestimme D für $\mathsf{f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ge0}$
  $\mathsf{x\ne2}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=[0,2)\cup(2,\infty)}$ .
08
Aufgabe 8Definitionsbereich · VertiefungDer Term $\mathsf{f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$ lässt sich kürzen. Gib seinen ursprünglichen Definitionsbereich an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-1\ne0\Rightarrow x\ne1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x+1}$ gilt nur für $\mathsf{x\ne1}$ .
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{1\}}$ ; Kürzen schließt die Lücke nicht.
09
Aufgabe 9Definitionsbereich · VertiefungBestimme D für $\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}(x^2-4)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-4>0}$
  $\mathsf{x^2>4}$
  $\mathsf{x<-2\quad\textsf{oder}\quad x>2}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Begründung $\mathsf{D=(-\infty,-2)\cup(2,\infty)}$ .
10
Aufgabe 10Definitionsbereich · VertiefungVergleiche die reellen Definitionsbereiche von $\mathsf{e^x}$ , $\mathsf{\sqrt[3]{x}}$ und $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^x}$ ist für alle reellen x definiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die dritte Wurzel erlaubt auch negative x.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Beim Tangens sind Nullstellen des Kosinus ausgeschlossen.
Ergebnis
1. Bearbeitung und BegründungErste zwei: $\mathsf{D=\mathbb R}$ . Tangens: $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb Z\}}$ im Bogenmaß.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die eindeutige Zuordnung jeder erlaubten Eingabe.
Ich unterscheide Eingabe, Ausgabe und Definitionsbereich.
Ich beachte alle Definitionsbedingungen und kennzeichne Randpunkte korrekt.

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