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Funktionsbegriffe · Erklären & üben

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ordnet jeder erlaubten Eingabe genau eine Ausgabe zu. Diese Eindeutigkeit ist entscheidend – unabhängig davon, ob die Zuordnung als Text, Tabelle, Pfeilbild oder Graph dargestellt wird.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Jede erlaubte Eingabe hat genau eine Ausgabe

Eine Funktion f:D→Z\mathsf{f:D\to Z} ordnet jedem Element von D genau ein Element aus Z zu. D heißt Definitionsbereich, Z heißt Zielmenge.

Verschiedene Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe haben. Eine einzelne Eingabe darf aber nicht zwei verschiedene Ausgaben erhalten. Auch darf für keine Eingabe aus D die Ausgabe fehlen.

Die tatsächlich erreichten Ausgaben bilden die Bildmenge f(D)\mathsf{f(D)}; sie kann kleiner als die Zielmenge sein.

Eindeutiges Pfeilbild: −1 und 1 führen beide zur Ausgabe 1, die Eingabe 0 zur Ausgabe 0.

So geht es am Beispiel

Prüfe die Zuordnung auf D={−1,0,1}\mathsf{D=\{-1,0,1\}}: −1 wird 1, 0 wird 0 und 1 wird 1 zugeordnet.

Jede der drei Eingaben hat eine Ausgabe.

Keine Eingabe besitzt zwei verschiedene Ausgaben.

Die Ausgabe 1 wird von zwei Eingaben erreicht.

Ergebnis

Es ist eine Funktion. Die doppelt erreichte Ausgabe 1 ist erlaubt.

Erklärung 02

Eine Rechenvorschrift verstehen

Bei f(x)=2x+3\mathsf{f(x)=2x+3} steht x für die Eingabe. f(x)\mathsf{f(x)} bezeichnet die zugehörige Ausgabe; es bedeutet nicht f mal x.

Ein Punkt des Graphen wird als (x∣f(x))\mathsf{(x\mid f(x))} geschrieben: Eingabe zuerst, Ausgabe danach.

So geht es am Beispiel

Berechne für f(x)=2x+3\mathsf{f(x)=2x+3} die Ausgabe zur Eingabe 4.

f(4)=2⋅4+3\mathsf{f(4)=2\cdot4+3}
f(4)=8+3\mathsf{f(4)=8+3}
f(4)=11\mathsf{f(4)=11}

Ergebnis

Zur Eingabe 4 gehört die Ausgabe 11; (4∣11)\mathsf{(4\mid11)} liegt auf dem Graphen.

Erklärung 03

Funktionen im Alltag

Kostet ein Heft 2 Euro, ist der Gesamtpreis für n Hefte P(n)=2n\mathsf{P(n)=2n}. Hier sind die erlaubten Eingaben ganze nichtnegative Anzahlen, nicht beliebige reelle Zahlen.

Eine Modellbeschreibung muss sagen, welche Größen zusammengehören. Eine Zuordnung „Person → Telefonnummer“ ist ohne Einschränkung nicht eindeutig, wenn eine Person mehrere Telefonnummern hat.

So geht es am Beispiel

Ein Verleih verlangt 3 Euro Grundgebühr und 4 Euro pro angefangener, hier nur ganzzahlig gebuchter Stunde. Es werden 1 bis 5 Stunden angeboten. Beschreibe die Preisfunktion.

D={1,2,3,4,5}\mathsf{D=\{1,2,3,4,5\}}
P(n)=3+4n\mathsf{P(n)=3+4n}
P(2)=3+8=11\mathsf{P(2)=3+8=11}

Ergebnis

Jeder buchbaren Stundenzahl wird genau ein Preis zugeordnet. Zwei Stunden kosten 11 Euro.

Erklärung 04

Der Graphentest

Ein Graph einer Funktion y von x besitzt zu jedem x im Definitionsbereich genau einen y-Wert. Eine senkrechte Gerade darf den Graphen daher höchstens einmal schneiden.

Eine waagerechte Gerade darf mehrere Schnittpunkte haben. Das bedeutet nur, dass verschiedene Eingaben denselben Funktionswert besitzen.

Ein vollständiger Kreis ist kein Graph einer Funktion y von x: Bei vielen x-Werten gibt es einen oberen und einen unteren Kreispunkt. Der obere Halbkreis kann dagegen als Funktion beschrieben werden.

Eine senkrechte Testgerade schneidet einen Parabelgraphen einmal, einen Kreis zweimal.

Erklärung 05

Darstellung und Bereich gehören zusammen

Eine Funktion muss nicht durch eine einzige kurze Formel gegeben sein. Eine vollständige Tabelle für einen endlichen Definitionsbereich kann die Funktion ebenfalls festlegen.

Der gleiche Term mit verschiedenen Definitionsbereichen beschreibt unterschiedliche Funktionen. Bei x2\mathsf{x^2} auf R\mathsf{\mathbb R} sind negative Eingaben erlaubt; auf [0,∞)\mathsf{[0,\infty)} nicht.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Was ist eine Funktion? · EinstiegIst die Zuordnung 1↦4\mathsf{1\mapsto4}, 2↦5\mathsf{2\mapsto5}, 3↦4\mathsf{3\mapsto4} auf D={1,2,3}\mathsf{D=\{1,2,3\}} eine Funktion?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jede Eingabe hat genau eine Ausgabe.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Ausgabe 4 darf mehrfach erreicht werden.

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und BegründungJa, es ist eine Funktion.
  2. Aufgabe 2Was ist eine Funktion? · EinstiegZu D={1,2}\mathsf{D=\{1,2\}} gehören die Paare (1∣3)\mathsf{(1\mid3)}, (1∣5)\mathsf{(1\mid5)} und (2∣4)\mathsf{(2\mid4)}. Liegt eine Funktion vor?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Eingabe 1 erhält zwei verschiedene Ausgaben: 3 und 5.

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und BegründungNein, die Zuordnung ist nicht eindeutig.
  3. Aufgabe 3Was ist eine Funktion? · StandardFür D={0,1,2}\mathsf{D=\{0,1,2\}} stehen nur 0↦7\mathsf{0\mapsto7} und 1↦8\mathsf{1\mapsto8} fest. Ist damit eine Funktion auf ganz D vollständig angegeben?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zur erlaubten Eingabe 2 fehlt die Ausgabe.

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und BegründungNein. Eine Ausgabe für 2 muss noch festgelegt werden.
  4. Aufgabe 4Was ist eine Funktion? · StandardBerechne f(−2)\mathsf{f(-2)} und f(3)\mathsf{f(3)} für f(x)=3x−1\mathsf{f(x)=3x-1}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−2)=3⋅(−2)−1=−7\mathsf{f(-2)=3\cdot(-2)-1=-7}
      f(3)=9−1=8\mathsf{f(3)=9-1=8}

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und Begründungf(−2)=−7\mathsf{f(-2)=-7} und f(3)=8\mathsf{f(3)=8}.
  5. Aufgabe 5Was ist eine Funktion? · StandardPrüfe, ob P(2∣5)\mathsf{P(2\mid5)} und Q(3∣8)\mathsf{Q(3\mid8)} auf dem Graphen von f(x)=x2+1\mathsf{f(x)=x^2+1} liegen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(2)=4+1=5\mathsf{f(2)=4+1=5}
      f(3)=9+1=10≠8\mathsf{f(3)=9+1=10\ne8}

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und BegründungP liegt auf dem Graphen, Q nicht.
  6. Aufgabe 6Was ist eine Funktion? · StandardWarum ist f(x)=5\mathsf{f(x)=5} auf R\mathsf{\mathbb R} eine Funktion, obwohl alle Ausgaben gleich sind?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jede reelle Eingabe erhält genau die Ausgabe 5.

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und BegründungDie Eindeutigkeit betrifft die Ausgabe pro Eingabe; verschiedene Ausgaben sind nicht vorgeschrieben.
  7. Aufgabe 7Was ist eine Funktion? · StandardEin Graph wird von einer senkrechten Geraden an zwei verschiedenen Stellen getroffen. Was folgt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die zwei Schnittpunkte haben denselben x-Wert, aber verschiedene y-Werte.

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und BegründungDer Graph beschreibt keine Funktion y von x.
  8. Aufgabe 8Was ist eine Funktion? · VertiefungEine Kinokarte kostet 9 Euro. Für Gruppen von 1 bis 6 Personen gilt K(n)=9n\mathsf{K(n)=9n}. Gib D und den Preis für 4 Personen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      D={1,2,3,4,5,6}\mathsf{D=\{1,2,3,4,5,6\}}
      K(4)=9⋅4=36\mathsf{K(4)=9\cdot4=36}

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und BegründungDer Definitionsbereich enthält die sechs Gruppengrößen; 4 Personen zahlen 36 Euro.
  9. Aufgabe 9Was ist eine Funktion? · VertiefungFür f:D→R\mathsf{f:D\to\mathbb R} mit D={−2,0,2}\mathsf{D=\{-2,0,2\}} und f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2}: Bestimme die tatsächlich erreichten Ausgaben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−2)=4\mathsf{f(-2)=4}
      f(0)=0\mathsf{f(0)=0}
      f(2)=4\mathsf{f(2)=4}

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und Begründungf(D)={0,4}\mathsf{f(D)=\{0,4\}}; die Zielmenge R\mathsf{\mathbb R} ist größer.
  10. Aufgabe 10Was ist eine Funktion? · VertiefungIst die Zuordnung „ganze Zahl → ihr Quadrat“ eindeutig? Ist ihre Umkehrung „Quadratzahl → eine ganze Zahl mit diesem Quadrat“ ohne weitere Festlegung eindeutig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jede ganze Zahl hat genau ein Quadrat.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Quadratzahl 9 kann zu 3 oder −3 gehören.

    Ergebnis

    1. Bearbeitung und BegründungDie erste Zuordnung ist eine Funktion. Die beschriebene Umkehrung ist ohne Auswahlregel nicht eindeutig.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die eindeutige Zuordnung jeder erlaubten Eingabe.
  • Ich unterscheide Eingabe, Ausgabe und Definitionsbereich.
  • Ich beachte alle Definitionsbedingungen und kennzeichne Randpunkte korrekt.

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