Brüche: Arten · Erklären & üben

Dezimalbrüche

Du erkennst Dezimalbrüche an ihrem Nenner und verbindest sie mit endlichen Kommazahlen. Dabei unterscheidest du eine Zahl von ihrer jeweiligen Schreibweise.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Nenner aus Zehnerpotenzen

Ein Dezimalbruch ist hier ein Bruch mit einem Nenner wie zehn, hundert oder tausend, also einer positiven Zehnerpotenz. Die Zahl $\mathsf{\frac{35}{100}}$ ist zum Beispiel als Dezimalbruch geschrieben. Dieselbe Zahl lässt sich gekürzt als $\mathsf{\frac{7}{20}}$ darstellen; in dieser Schreibweise ist der Nenner keine Zehnerpotenz.

Jeder Dezimalbruch hat eine endliche Dezimaldarstellung. Eine Ganzzahl kann ebenfalls mit einem solchen Nenner geschrieben werden.

Betrachte den geschriebenen Nenner.
Unterscheide die Bruchdarstellung vom Wert der Zahl.

Ein Zehnerpotenznenner kennzeichnet die Dezimalbruchdarstellung.

Erklärung 02

Zwischen Bruch und Kommazahl wechseln

Erweitere einen geeigneten Bruch auf einen Zehnerpotenznenner. Bei hundert stehen zwei, bei tausend drei Nachkommastellen. Fehlende Stellen werden durch Nullen ergänzt.

Umgekehrt zählt bei einer endlichen Kommazahl die Anzahl ihrer Nachkommastellen: Schreibe die Ziffern ohne Komma als Zähler und die passende Zehnerpotenz als Nenner. Danach kannst du kürzen. Die vorhandenen Themen Dezimalzahl in Bruch und Bruch in Dezimalzahl erklären die vollständigen Umwandlungsverfahren; hier steht die Bruchart mit Zehnerpotenznenner im Mittelpunkt.

Wähle einen passenden Zehnerpotenznenner.
Erweitere Zähler und Nenner mit derselben Zahl.
Ordne die Nachkommastellen zu.

Tausendstel benötigen drei Nachkommastellen.

Siebenunddreißig Tausendstel werden als null Komma null drei sieben geschrieben. Einer null, Zehntel null, Hundertstel drei, Tausendstel sieben.

Drei Achtel werden mit hundertfünfundzwanzig erweitert. Der Zähler wird dreihundertfünfundsiebzig, der Nenner tausend.

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{\frac{3}{8}}$ und $\mathsf{\frac{7}{20}}$ in Dezimalbrüche und Kommazahlen um.

Erweitere den ersten Bruch mit 125: $\mathsf{\frac{3}{8}=\frac{375}{1000}}$ .

Lies die Tausendstel: $\mathsf{\frac{375}{1000}=0{,}375}$ .

Erweitere den zweiten Bruch mit 5: $\mathsf{\frac{7}{20}=\frac{35}{100}}$ .

Lies die Hundertstel: $\mathsf{\frac{35}{100}=0{,}35}$ .

So geht es am Beispiel

Schreibe 0,064 als Dezimalbruch und kürze.

Drei Nachkommastellen bedeuten Tausendstel: $\mathsf{0{,}064=\frac{64}{1000}}$ .

Teile Zähler und Nenner durch 8: $\mathsf{\frac{64}{1000}=\frac{8}{125}}$ .

Erklärung 03

Endlich oder periodisch?

Kürze einen Bruch vollständig. Besteht der positive Nenner danach nur aus Primfaktoren zwei und fünf, lässt sich der Bruch auf einen Zehnerpotenznenner erweitern. Er besitzt dann eine endliche Dezimaldarstellung. Das gilt auch für den Nenner eins.

Enthält der vollständig gekürzte Nenner einen anderen Primfaktor, endet die Dezimaldarstellung nicht. Bei rationalen Zahlen wiederholt sich dann eine Ziffernfolge periodisch. Eine solche Darstellung ist kein endlicher Dezimalbruch im hier verwendeten Sinn. Ein Periodenstrich kennzeichnet die unendlich oft wiederholten Ziffern.

Kürze zuerst vollständig.
Betrachte erst dann die Primfaktoren des Nenners.
Unterscheide endliche Stellen von einer unendlichen Periode.

Erst der vollständig gekürzte Nenner entscheidet.

Nach vollständigem Kürzen erlauben nur Zweier und Fünfer im Nenner eine endliche Darstellung; der Nenner eins ebenfalls. Zwei Fünftel enden, ein Sechstel wiederholt die Ziffer sechs.

So geht es am Beispiel

Hat $\mathsf{\frac{12}{30}}$ eine endliche Dezimaldarstellung?

Kürze mit 6: $\mathsf{\frac{12}{30}=\frac{2}{5}}$ .

Der gekürzte Nenner enthält nur den Primfaktor fünf.

Erweitere $\mathsf{\frac{2}{5}=\frac{4}{10}}$ .

Damit gilt $\mathsf{\frac{4}{10}=0{,}4}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{\frac{1}{6}}$ und $\mathsf{\frac{3}{16}}$ .

Im ersten Nenner gilt $\mathsf{6=2\cdot3}$ .

Der zusätzliche Primfaktor drei verhindert eine endliche Darstellung: $\mathsf{\frac{1}{6}=0{,}1\overline{6}}$ .

Der zweite Nenner ist $\mathsf{16=2^4}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac{3}{16}=\frac{1875}{10000}}$ .

Also gilt $\mathsf{\frac{1875}{10000}=0{,}1875}$ .

Erklärung 04

Vorzeichen und Weiterlernen

Ein Minuszeichen verändert nicht die Anzahl der Nachkommastellen. Du kannst zunächst den positiven Betrag umwandeln und danach das Minuszeichen vor das gesamte Ergebnis setzen. Auch null lässt sich als Dezimalbruch schreiben.

Das Thema Dividieren von Dezimalzahlen erklärt, wie du anschließend mit Kommazahlen dividierst. Es ist ein eigener Rechenschritt, nicht die Definition dieser Bruchart.

Wandle den Betrag um.
Übernimm das Vorzeichen des gesamten Bruchs.

Das Vorzeichen bleibt bei einer wertgleichen Umformung erhalten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Dezimalbrüche · 1Schreibe $\mathsf{\frac{37}{1000}}$ als Kommazahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kommazahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner tausend verlangt drei Nachkommastellen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Siebenunddreißig Tausendstel ergeben $\mathsf{\frac{37}{1000}=0{,}037}$ .
Ergebnis
1. Kommazahl0,037
02
Aufgabe 2Dezimalbrüche · 1Schreibe 0,508 als Dezimalbruch und anschließend vollständig gekürzt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dezimalbruch
Vollständig gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Drei Nachkommastellen: $\mathsf{0{,}508=\frac{508}{1000}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürze mit 4: $\mathsf{\frac{508}{1000}=\frac{127}{250}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dezimalbruch $\mathsf{\frac{508}{1000}}$
2. Vollständig gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{127}{250}}$
03
Aufgabe 3Dezimalbrüche · 1Erweitere $\mathsf{\frac{9}{25}}$ auf Hundertstel und gib die Kommazahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hundertstelbruch
Kommazahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere mit 4: $\mathsf{\frac{9}{25}=\frac{36}{100}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Lies $\mathsf{\frac{36}{100}=0{,}36}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hundertstelbruch $\mathsf{\frac{36}{100}}$
2. Kommazahl0,36
04
Aufgabe 4Dezimalbrüche · 2Erweitere $\mathsf{\frac{7}{8}}$ auf einen Zehnerpotenznenner und gib die Kommazahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dezimalbruch
Kommazahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere mit 125: $\mathsf{\frac{7}{8}=\frac{875}{1000}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Kommazahl lautet $\mathsf{\frac{875}{1000}=0{,}875}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dezimalbruch $\mathsf{\frac{875}{1000}}$
2. Kommazahl0,875
05
Aufgabe 5Dezimalbrüche · 2Kürze $\mathsf{\frac{6}{15}}$ vollständig. Nenne die Primfaktoren des gekürzten Nenners. Ist die Dezimaldarstellung endlich? Gib sie an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gekürzter Bruch
Primfaktoren des gekürzten Nenners
Endliche Darstellung?
Kommazahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Kürze mit 3: $\mathsf{\frac{6}{15}=\frac{2}{5}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner enthält nur den Primfaktor fünf.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac{2}{5}=\frac{4}{10}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Damit gilt $\mathsf{\frac{4}{10}=0{,}4}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{2}{5}}$
2. Primfaktoren des gekürzten NennersNur 5
3. Endliche Darstellung?Ja
4. Kommazahl0,4
06
Aufgabe 6Dezimalbrüche · 2Hat $\mathsf{\frac{7}{12}}$ eine endliche Dezimaldarstellung? Begründe anhand des vollständig gekürzten Nenners.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endliche Darstellung?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Bruch ist bereits vollständig gekürzt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner zerfällt als $\mathsf{12=2^2\cdot3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Primfaktor drei ist weder zwei noch fünf.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Endliche Darstellung?Nein
2. BegründungDer vollständig gekürzte Nenner 12 enthält neben 2 auch den Primfaktor 3. Deshalb ist die Dezimaldarstellung nicht endlich.
07
Aufgabe 7Dezimalbrüche · 3Ist $\mathsf{\frac{1}{3}=0{,}3}$ exakt richtig? Gib die genaue periodische Darstellung an und begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Genaue periodische Darstellung
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die endliche Zahl 0,3 entspricht $\mathsf{\frac{3}{10}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dagegen gilt exakt $\mathsf{\frac{1}{3}=0{,}\overline{3}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Ziffer drei wiederholt sich ohne Ende.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Genaue periodische Darstellung $\mathsf{0{,}\overline{3}}$
3. Begründung0,3 endet nach einer Stelle. Ein Drittel hat unendlich viele wiederholte Dreien; der Periodenstrich kennzeichnet diese Wiederholung.
08
Aufgabe 8Dezimalbrüche · 2Schreibe −0,45 als Dezimalbruch und als vollständig gekürzten Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dezimalbruch
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwei Nachkommastellen: $\mathsf{-0{,}45=-\frac{45}{100}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürze mit 5: $\mathsf{-\frac{45}{100}=-\frac{9}{20}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dezimalbruch $\mathsf{-\frac{45}{100}}$
2. Gekürzter Bruch $\mathsf{-\frac{9}{20}}$
09
Aufgabe 9Dezimalbrüche · 3Jemand schreibt $\mathsf{\frac{1}{40}=0{,}25}$ . Ist das richtig? Gib einen passenden Dezimalbruch, die richtige Kommazahl und eine Begründung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Passender Dezimalbruch
Richtige Kommazahl
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere mit 25: $\mathsf{\frac{1}{40}=\frac{25}{1000}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Tausendstel brauchen drei Nachkommastellen: $\mathsf{\frac{25}{1000}=0{,}025}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Passender Dezimalbruch $\mathsf{\frac{25}{1000}}$
3. Richtige Kommazahl0,025
4. BegründungErweitern mit 25 ergibt den Nenner 1000. Die führende Null an der Zehntelstelle darf deshalb nicht fehlen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne einen Zehnerpotenznenner.
Ich ergänze die nötigen Nachkommastellen mit Nullen.
Ich kürze vor der Entscheidung über eine endliche Darstellung.

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