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Brüche: Arten · Erklären & üben

Unechter Bruch

Unechte Brüche beschreiben mindestens ein Ganzes. Du unterscheidest die Brucharten und schreibst unechte Brüche als ganze oder gemischte Zahlen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Echt, unecht und scheinbar

Zunächst betrachten wir positive Brüche mit positivem Nenner. Ist der Zähler kleiner als der Nenner, heißt der Bruch echt. Ist der Zähler mindestens so groß wie der Nenner, heißt er unecht.

Ein Scheinbruch hat eine ganze Zahl als Wert, weil der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist. Er ist in diesem positiven Bereich ein besonderer unechter Bruch.

  1. Vergleiche Zähler und Nenner.

  2. Prüfe, ob der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist.

Beim positiven unechten Bruch ist der Zähler mindestens so groß wie der Nenner.

Zwei gleich große Streifen sind jeweils in vier gleich große Teile zerlegt. Der erste ist ganz gefärbt, beim zweiten drei Viertel: insgesamt sieben Viertel.

So geht es am Beispiel

Ordne 74\mathsf{\frac{7}{4}} und 99\mathsf{\frac{9}{9}} ein.

Beim ersten Bruch ist sieben größer als vier.

Vier Viertel bilden ein Ganzes: 74=1+34\mathsf{\frac{7}{4}=1+\frac{3}{4}}.

Beim zweiten sind Zähler und Nenner gleich: 99=1\mathsf{\frac{9}{9}=1}.

Ergebnis

Beide Brüche sind unecht; neun Neuntel ist außerdem ein Scheinbruch.

Erklärung 02

Mit Quotient und Rest umwandeln

Teile den positiven Zähler ganzzahlig durch den Nenner. Der Quotient nennt die Zahl der Ganzen. Der Rest wird Zähler des verbleibenden Bruchanteils; der Nenner bleibt erhalten.

Der Rest ist mindestens null und kleiner als der Nenner. Bei Rest null bleibt nur die ganze Zahl.

  1. Bestimme den ganzzahligen Quotienten und den Rest.

  2. Schreibe den Rest über den unveränderten Nenner.

  3. Lasse einen Bruchanteil mit Rest null weg.

Der Rest ist kleiner als der Nenner.

Siebzehn gleiche Punkte sind in drei umrahmte Fünfergruppen und zwei Restpunkte angeordnet. Jede Fünfergruppe steht für ein Ganzes.

So geht es am Beispiel

Schreibe 175\mathsf{\frac{17}{5}} als gemischte Zahl.

Drei Fünfergruppen ergeben 3⋅5=15\mathsf{3\cdot5=15}.

Der Rest ist 17−15=2\mathsf{17-15=2}.

Damit gilt 175=3+25\mathsf{\frac{17}{5}=3+\frac{2}{5}}.

Ergebnis

Gemischte Schreibweise: 3 25\mathsf{3\,\frac{2}{5}}.

So geht es am Beispiel

Wandle 246\mathsf{\frac{24}{6}} um.

Teile 24:6=4\mathsf{24:6=4}.

Der Rest ist null.

Ergebnis

Der Scheinbruch hat den Wert 4.

Erklärung 03

Negative unechte Brüche

Bei einem negativen Bruch vergleichst du für die Einordnung den Betrag des Zählers mit dem positiven Nenner. Wandle zunächst den positiven Betrag um. Das Minuszeichen bleibt vor dem gesamten Ergebnis.

Die gemischte Zahl −2 34\mathsf{-2\,\frac{3}{4}} bedeutet −(2+34)\mathsf{-(2+\frac{3}{4})}. Sie bedeutet nicht −2+34\mathsf{-2+\frac{3}{4}}. Auf der Zahlengeraden liegt sie deshalb links von −2.

  1. Wandle den positiven Betrag um.

  2. Setze das Minuszeichen vor die gesamte gemischte Zahl.

  3. Nutze eine Klammer, wenn die Bedeutung unklar werden könnte.

Das Minuszeichen einer negativen gemischten Zahl betrifft Ganzes und Bruchanteil.

Zahlengerade von minus vier bis null mit Viertelmarkierungen. Der Punkt minus elf Viertel liegt bei minus zwei und drei Vierteln.

So geht es am Beispiel

Schreibe −114\mathsf{-\frac{11}{4}} als gemischte Zahl.

Für den Betrag gilt 11=2⋅4+3\mathsf{11=2\cdot4+3}.

Also ist 114=2+34\mathsf{\frac{11}{4}=2+\frac{3}{4}}.

Übernimm das Minuszeichen: −114=−(2+34)\mathsf{-\frac{11}{4}=-(2+\frac{3}{4})}.

Ergebnis

Gemischte Schreibweise: −2 34\mathsf{-2\,\frac{3}{4}}.

Erklärung 04

Einordnen und weiterrechnen

Dieses Thema ordnet Brucharten ein und zerlegt unechte Brüche in Ganze und einen Rest. Gemischter Bruch betrachtet die umgekehrte Zusammensetzung ausführlich. Bruchrechnen zeigt, wie du mit diesen Zahlen anschließend rechnest.

  1. Behalte bei Umformungen den Wert bei.

  2. Wähle für die nächste Aufgabe eine passende Schreibweise.

Bruch und gemischte Zahl können denselben Wert darstellen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Unechter Bruch · 1Ordne 79\mathsf{\frac{7}{9}}, 99\mathsf{\frac{9}{9}} und 134\mathsf{\frac{13}{4}} ein. Nenne auch den Sonderfall Scheinbruch, wenn er zutrifft.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Sieben ist kleiner als neun: Der erste Bruch ist echt.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Neun Neuntel ist eins: unecht und Scheinbruch.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Dreizehn ist größer als vier, aber kein Vielfaches davon: unecht.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Bruchart von sieben NeuntelnEcht
    2. Bruchart von neun NeuntelnUnecht und Scheinbruch
    3. Bruchart von dreizehn ViertelnUnecht
  2. Aufgabe 2Unechter Bruch · 1Wandle 113\mathsf{\frac{11}{3}} um. Gib ganzzahligen Quotienten, Rest und gemischte Zahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Drei Dreiergruppen ergeben 3⋅3=9\mathsf{3\cdot3=9}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der Rest ist 11−9=2\mathsf{11-9=2}.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Damit gilt 113=3+23\mathsf{\frac{11}{3}=3+\frac{2}{3}}.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Ganzzahliger Quotient3
    2. Rest2
    3. Gemischte Zahl3 23\mathsf{3\,\frac{2}{3}}
  3. Aufgabe 3Unechter Bruch · 1Schreibe 196\mathsf{\frac{19}{6}} als gemischte Zahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Drei Sechsergruppen ergeben 3⋅6=18\mathsf{3\cdot6=18}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der Rest ist 19−18=1\mathsf{19-18=1}.

    Ergebnis

    1. Gemischte Zahl3 16\mathsf{3\,\frac{1}{6}}
  4. Aufgabe 4Unechter Bruch · 1Berechne den Wert von 248\mathsf{\frac{24}{8}}. Nenne die besondere Bruchart.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Es gilt 24:8=3\mathsf{24:8=3}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der Zähler ist ein Vielfaches des Nenners; es bleibt kein Rest.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Wert3
    2. Besondere BruchartScheinbruch
  5. Aufgabe 5Unechter Bruch · 2Schreibe −175\mathsf{-\frac{17}{5}} zuerst mit einem Minuszeichen vor einer Summe in Klammern und anschließend als gemischte Zahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Für den Betrag gilt 17=3⋅5+2\mathsf{17=3\cdot5+2}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Übernimm das Minus vor die gesamte Summe: −175=−(3+25)\mathsf{-\frac{17}{5}=-(3+\frac{2}{5})}.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Klammerform−(3+25)\mathsf{-(3+\frac{2}{5})}
    2. Gemischte Zahl−3 25\mathsf{-3\,\frac{2}{5}}
  6. Aufgabe 6Unechter Bruch · 2Markiere 134\mathsf{\frac{13}{4}} auf der vorbereiteten Viertelzahlengeraden. Gib die gemischte Zahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Zahlengerade von null bis vier mit identischen Viertelmarkierungen. Markiere den gefragten Bruch als Punkt.
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Drei Ganze sind 3⋅4=12\mathsf{3\cdot4=12} Viertel.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Ein Viertel bleibt übrig.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Der Punkt liegt einen Viertelschritt rechts von drei.

    Ergebnis

    1. Gemischte Zahl3 14\mathsf{3\,\frac{1}{4}}
  7. Aufgabe 7Unechter Bruch · 2Schreibe 2 56\mathsf{2\,\frac{5}{6}} als unechten Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Zwei Ganze sind 2⋅6=12\mathsf{2\cdot6=12} Sechstel.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Dazu kommen fünf: 12+5=17\mathsf{12+5=17}.

    Ergebnis

    1. Unechter Bruch176\mathsf{\frac{17}{6}}
  8. Aufgabe 8Unechter Bruch · 3Jemand schreibt 83=2 32\mathsf{\frac{8}{3}=2\,\frac{3}{2}}. Ist das richtig? Korrigiere die gemischte Zahl und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Zwei Dreiergruppen ergeben 2⋅3=6\mathsf{2\cdot3=6}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der Rest ist 8−6=2\mathsf{8-6=2}.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Der Nenner bleibt drei.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UrteilNein
    2. Richtige gemischte Zahl2 23\mathsf{2\,\frac{2}{3}}
    3. BegründungDer Rest 2 wird zum Zähler des Bruchanteils. Der ursprüngliche Nenner 3 bleibt erhalten; der Bruchanteil muss kleiner als eins sein.
  9. Aufgabe 9Unechter Bruch · 3Vergleiche 154\mathsf{\frac{15}{4}} und 3 23\mathsf{3\,\frac{2}{3}}. Gib ein Vergleichszeichen und eine Begründung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die gemischte Zahl ist 3 23=113\mathsf{3\,\frac{2}{3}=\frac{11}{3}}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Erweitere 154=4512\mathsf{\frac{15}{4}=\frac{45}{12}}.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Erweitere 113=4412\mathsf{\frac{11}{3}=\frac{44}{12}}.

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Fünfundvierzig Zwölftel sind größer als vierundvierzig Zwölftel.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Vergleichszeichen zwischen den gegebenen Zahlen>\mathsf{>}
    2. BegründungMit gemeinsamem Nenner stehen 45 Zwölftel und 44 Zwölftel gegenüber. Deshalb ist der erste Wert größer.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide echte, unechte und Scheinbrüche.
  • Ich bestimme Quotient und Rest.
  • Ich beziehe das Minuszeichen auf die ganze gemischte Zahl.

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