Dezimalzahlen · Erklären & üben

Was sind Dezimalzahlen?

Eine Dezimalzahl beschreibt einen Zahlenwert im Zehnersystem. Das Komma trennt ganze Einheiten von Zehnteln, Hundertsteln und weiteren Bruchteilen.

Lernziele: Stellenwerte lesen, Dezimaldarstellungen unterscheiden und Dezimalzahlen vergleichen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Stellen und Nullen

Rechts vom Komma folgen Zehntel, Hundertstel und Tausendstel. Jede Stelle hat ein Zehntel des Werts der Stelle links daneben. Nullen können Stellen freihalten. Eine angehängte Null am Ende einer endlichen Nachkommafolge ändert den Zahlenwert nicht. Führende Nullen vor der Einerstelle ändern den Wert ebenfalls nicht; üblich ist zum Beispiel 0,4 statt 00,4.

Lies zuerst die ganzen Einheiten links vom Komma.
Benenne jede Nachkommastelle von links.
Unterscheide eine Null innerhalb der Zahl von einer angehängten Endnull.

Die Stelle entscheidet über den Wert einer Ziffer.

Stellenwerttafel zu 3,047: 3 Einer, 0 Zehntel, 4 Hundertstel, 7 Tausendstel.

So geht es am Beispiel

Zerlege 3,047 nach Stellenwerten.

Die 3 steht bei den Einern und bedeutet 3.

Die erste Nachkommastelle ist 0: keine Zehntel.

Die 4 steht bei den Hundertsteln und bedeutet $\mathsf{\frac4{100}}$

Die 7 steht bei den Tausendsteln und bedeutet $\mathsf{\frac7{1000}}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche 0,50 und 0,05.

Fünf Zehntel sind $\mathsf{0{,}50=\frac{50}{100}}$

Fünf Hundertstel sind $\mathsf{0{,}05=\frac5{100}}$

50 Hundertstel sind mehr als 5 Hundertstel.

Erklärung 02

Endlich, periodisch, nichtperiodisch

Eine endliche Darstellung bricht ab, etwa 0,625. Eine unendliche periodische Darstellung wiederholt ab einer Stelle ständig denselben Ziffernblock. Ein Strich über dem Block kennzeichnet genau die wiederholten Ziffern. Reinperiodisch bedeutet: Die Wiederholung beginnt direkt nach dem Komma. Gemischtperiodisch bedeutet: Vor der Periode steht ein endlicher, nichtperiodischer Anfang.

Eine unendliche nichtperiodische Dezimaldarstellung wiederholt ab keiner Stelle dauerhaft einen festen Block. Solche Darstellungen gehören zu irrationalen Zahlen, etwa der Quadratwurzel aus 2. Ein endlicher Taschenrechnerauszug allein beweist keine Periodizität oder Irrationalität. Endliche und periodische Darstellungen gehören zu rationalen Zahlen.

Prüfe, ob die Darstellung ausdrücklich endet.
Lies bei einem Periodenstrich seinen genauen Umfang ab.
Unterscheide endliche Anzeige und exakte Zahl.

Nicht jede unendliche Dezimaldarstellung ist irrational.

Zwei Periodendarstellungen: 0 mit Periode 3 und 0,1 mit Periode 6.

So geht es am Beispiel

Lies die reinperiodische Darstellung $\mathsf{0{,}\overline{3}}$ .

Der Strich steht über genau einer Ziffer: der 3.

Die Wiederholung beginnt sofort nach dem Komma: $\mathsf{0{,}\overline{3}=0{,}3333\ldots}$

So geht es am Beispiel

Lies die gemischtperiodische Darstellung $\mathsf{0{,}1\overline{6}}$ .

Die 1 steht vor dem Periodenstrich und wird nicht mitwiederholt.

Nur die 6 wiederholt sich: $\mathsf{0{,}1\overline{6}=0{,}1666\ldots}$

So geht es am Beispiel

Ein Rechner zeigt für die Quadratwurzel aus 2 den Wert 1,41421356. Ist die Anzeige exakt?

Die Quadratwurzel aus 2 ist irrational und hat eine unendliche nichtperiodische Dezimaldarstellung.

Die angezeigte endliche Ziffernfolge ist deshalb nur eine Näherung.

Erklärung 03

Brüche und Dezimalzahlen verbinden

Zehntel, Hundertstel und Tausendstel sind Brüche. Einen Bruch kannst du als Division des Zählers durch den Nenner lesen; der Nenner darf nicht null sein. Endliche Dezimalzahlen kannst du als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner schreiben. Die beiden eigenen Umwandlungsthemen erklären auch umfangreichere und periodische Fälle. Für das Umwandeln rein- und gemischtperiodischer Darstellungen nutze das Thema „Dezimalzahl in Bruch“; die Gegenrichtung erklärt „Bruch in Dezimalzahl“.

Suche eine passende Zehnerpotenz als Nenner.
Schreibe die Zahl ohne Komma in den Zähler.
Kürze einen Bruch, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben.

Eine endliche Dezimalzahl lässt sich exakt als Bruch schreiben.

So geht es am Beispiel

Schreibe drei Viertel als Dezimalzahl.

Erweitere mit 25: $\mathsf{\frac34=\frac{75}{100}}$

75 Hundertstel entsprechen $\mathsf{\frac{75}{100}=0{,}75}$

So geht es am Beispiel

Schreibe 0,32 als vollständig gekürzten Bruch.

Zwei Nachkommastellen bedeuten Hundertstel: $\mathsf{0{,}32=\frac{32}{100}}$

Kürze Zähler und Nenner durch 4: $\mathsf{\frac{32}{100}=\frac8{25}}$

Erklärung 04

Vergleichen und ordnen

Vergleiche zunächst die ganzen Anteile. Sind sie gleich, prüfe die Nachkommastellen von links nach rechts. Die erste abweichende Stelle entscheidet. Endnullen darfst du ergänzen, um die Stellen besser zu vergleichen. Bei zwei negativen Zahlen liegt die Zahl mit dem größeren Betrag weiter links und ist kleiner. Weiterlernen: Runden ersetzt einen exakten Wert durch einen passend gekennzeichneten Näherungswert. Das Zeichen < bedeutet kleiner als, > größer als und = gleicher Wert. Auf einer Zahlengeraden liegt die größere Zahl weiter rechts.

Ergänze bei Bedarf Endnullen.
Vergleiche gleichartige Stellen.
Achte bei negativen Zahlen auf die umgekehrte Reihenfolge der Beträge.

Mehr Nachkommastellen bedeuten nicht automatisch einen größeren Wert.

So geht es am Beispiel

Vergleiche 2,08 und 2,8.

Ergänze eine Endnull: $\mathsf{2{,}8=2{,}80}$

Beide Zahlen haben zwei Einer; bei den Zehnteln stehen 0 und 8.

So geht es am Beispiel

Vergleiche −0,7 und −0,65.

Ergänze für den Vergleich eine Endnull: $\mathsf{-0{,}7=-0{,}70}$

Der Betrag 0,70 ist größer als 0,65; daher liegt −0,70 weiter links.

Erklärung 05

Auf der Zahlengeraden

Gleich lange Abstände stehen für gleich große Zahlenschritte. Ermittle deshalb zuerst die Schrittweite. Beim Ablesen zählst du Intervalle, nicht Striche. Beim Einzeichnen suchst du den zur Zahl passenden Abstand vom beschrifteten Startwert.

Bestimme zwei beschriftete Werte.
Teile ihren Unterschied durch die Zahl gleich langer Intervalle.
Zähle die benötigten Schritte vom Startwert.

Eine Skala muss vor dem Ablesen geklärt sein.

Zahlengerade von 0 bis 1 mit zehn gleich langen Intervallen und Zehntelbeschriftung.

So geht es am Beispiel

Zwischen 0 und 1 liegen zehn gleiche Intervalle. Welcher Wert gehört zum dritten Strich rechts von 0?

Die Schrittweite ist $\mathsf{1:10=0{,}1}$

Drei Schritte ergeben $\mathsf{3\cdot0{,}1=0{,}3}$

So geht es am Beispiel

Wo trägst du 0,7 auf derselben Skala ein?

Die Schrittweite bleibt ein Zehntel.

Die benötigte Schrittzahl ist $\mathsf{0{,}7:0{,}1=7}$

Markiere den siebten Teilstrich rechts von 0.

Erklärung 06

Addieren und subtrahieren

Schreibe gleiche Stellenwerte untereinander: Komma unter Komma. Ergänze bei Bedarf Endnullen. Rechne von rechts nach links. Beim Addieren überträgst du jeweils zehn Einheiten einer Stelle als eine Einheit in die nächste linke Stelle. Beim Subtrahieren kannst du eine Einheit links in zehn Einheiten rechts entbündeln.

Ordne die Stellenwerte untereinander.
Ergänze fehlende Nachkommastellen mit Endnullen.
Rechne rechts beginnend; beachte Übertrag oder Entbündeln.
Setze das Ergebniskomma unter die anderen Kommata.

Ein Einer wird zu zehn Zehnteln; ein Zehntel zu zehn Hundertsteln.

Stellenweise Addition 2,75 plus 1,60 ergibt 4,35 mit Übertrag eines Einers.

So geht es am Beispiel

Berechne 2,75 plus 1,6.

Ergänze die Endnull: $\mathsf{1{,}6=1{,}60}$

Hundertstel: $\mathsf{5+0=5}$

Zehntel: $\mathsf{7+6=13}$

Schreibe 3 Zehntel und übertrage 1 Einer.

Einer einschließlich Übertrag: $\mathsf{2+1+1=4}$

So geht es am Beispiel

Berechne 4,2 minus 1,85.

Ergänze die Endnull: $\mathsf{4{,}2=4{,}20}$

Entbündle ein Zehntel: Aus 2 Zehnteln werden 1 Zehntel und 10 Hundertstel.

Hundertstel: $\mathsf{10-5=5}$

Entbündle einen Einer: Aus 4 Einern werden 3 Einer und zusätzlich 10 Zehntel; zusammen 11 Zehntel.

Zehntel: $\mathsf{11-8=3}$

Einer: $\mathsf{3-1=2}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Was sind Dezimalzahlen? · BasisWelchen Wert haben die Ziffern 4 und 7 in 2,407?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert der 4
Wert der 7
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die 4 steht direkt nach dem Komma bei den Zehnteln.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die 7 steht an der dritten Nachkommastelle bei den Tausendsteln.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert der 40,4
2. Wert der 70,007
02
Aufgabe 2Was sind Dezimalzahlen? · BasisSetze jeweils gleich, kleiner oder größer ein: 0,60 im Vergleich zu 0,6; 0,06 im Vergleich zu 0,6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Vergleich
Zweiter Vergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Eine angehängte Endnull verändert den Wert nicht.
2. Schritt 2 · Erklärung
  6 Hundertstel sind weniger als 6 Zehntel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Vergleich $\mathsf{0{,}60=0{,}6}$
2. Zweiter Vergleich $\mathsf{0{,}06<0{,}6}$
03
Aufgabe 3Was sind Dezimalzahlen? · BasisOrdne jede Darstellung zu: endlich, reinperiodisch, gemischtperiodisch oder unendlich nichtperiodisch. A: 0,125; B: $\mathsf{0{,}\overline{27}}$ ; C: $\mathsf{0{,}2\overline{5}}$ ; D: die exakte Quadratwurzel aus 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
A
B
C
D
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  A hat drei Nachkommastellen und endet.
2. Schritt 2 · Erklärung
  B wiederholt 27 unmittelbar nach dem Komma.
3. Schritt 3 · Erklärung
  C hat zuerst die nichtperiodische 2 und wiederholt dann die 5.
4. Schritt 4 · Erklärung
  D ist irrational und besitzt eine unendliche nichtperiodische Dezimaldarstellung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Aendlich
2. Breinperiodisch
3. Cgemischtperiodisch
4. Dunendlich nichtperiodisch
04
Aufgabe 4Was sind Dezimalzahlen? · BasisSchreibe die ersten sechs Nachkommastellen von $\mathsf{0{,}1\overline{23}}$ auf. Nenne den nichtperiodischen Anfang und die Periode getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste sechs Nachkommastellen
Nichtperiodischer Anfang
Periode
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nach der ersten Ziffer 1 wiederholt sich der Block 23.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die sechs ersten Nachkommastellen lauten 123232.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste sechs Nachkommastellen123232
2. Nichtperiodischer Anfang1
3. Periode23
05
Aufgabe 5Was sind Dezimalzahlen? · AufbauVergleiche 4,09 und 4,1. Gib das Vergleichszeichen und eine Begründung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vergleich
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ergänze eine Endnull: $\mathsf{4{,}1=4{,}10}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei gleichen Einern entscheidet die Zehntelstelle: 0 ist kleiner als 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vergleich $\mathsf{4{,}09<4{,}1}$
2. BegründungBeide Zahlen haben vier Einer; 4,09 hat null Zehntel und 4,1 hat ein Zehntel.
06
Aufgabe 6Was sind Dezimalzahlen? · AufbauOrdne −0,4; 0,04; −0,04 und 0,4 von klein nach groß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Geordnete Liste
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die negativen Zahlen liegen vor den positiven.
2. Schritt 2 · Erklärung
  −0,4 liegt weiter links als −0,04.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Unter den positiven Zahlen ist 0,04 kleiner als 0,4.
Ergebnis
1. Geordnete Liste $\mathsf{-0{,}4<-0{,}04<0{,}04<0{,}4}$
07
Aufgabe 7Was sind Dezimalzahlen? · AufbauSchreibe 0,45 als vollständig gekürzten Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwei Nachkommastellen: $\mathsf{0{,}45=\frac{45}{100}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürze durch 5: $\mathsf{\frac{45}{100}=\frac9{20}}$
Ergebnis
1. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac9{20}}$
08
Aufgabe 8Was sind Dezimalzahlen? · AufbauBerechne 3,48 plus 2,7 und 6,3 minus 2,85.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Differenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Addition: Ergänze 2,70.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Hundertstel: $\mathsf{8+0=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zehntel: $\mathsf{4+7=11}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Schreibe 1 Zehntel und übertrage 1 Einer.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{3+2+1=6}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Die Summe ist 6,18.
7. Schritt 7 · Erklärung
  Subtraktion: Ergänze 6,30. Entbündle ein Zehntel in zehn Hundertstel.
8. Schritt 8 · Erklärung
  Hundertstel: $\mathsf{10-5=5}$
9. Schritt 9 · Erklärung
  Nach diesem Entbündeln bleiben 2 Zehntel. Entbündle einen Einer; daraus werden 12 Zehntel.
10. Schritt 10 · Erklärung
  Zehntel: $\mathsf{12-8=4}$
11. Schritt 11 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{5-2=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Summe6,18
2. Differenz3,45
09
Aufgabe 9Was sind Dezimalzahlen? · TransferLea sagt: „0,333 ist genau ein Drittel, weil ein Drittel mit drei Dreien beginnt.“ Korrigiere die Aussage und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrigierte Aussage
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein Drittel hat unendlich viele Dreien: $\mathsf{\frac13=0{,}\overline3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Zahl 0,333 endet nach drei Stellen und ist kleiner.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Korrigierte Aussage0,333 ist nur eine Näherung für ein Drittel.
2. BegründungEin Drittel hat unendlich viele Dreien nach dem Komma; 0,333 hat nur drei.
10
Aufgabe 10Was sind Dezimalzahlen? · TransferLies den Wert des markierten Punktes A ab. Zeichne den Punkt B bei 0,8 direkt in die vorbereitete Zahlengerade ein und beschrifte ihn mit B.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert von A
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zehn gleiche Intervalle zwischen 0 und 1 ergeben die Schrittweite 0,1.
2. Schritt 2 · Erklärung
  A liegt am vierten Teilstrich rechts von 0; sein Wert ist 0,4.
3. Schritt 3 · Erklärung
  B liegt am achten Teilstrich rechts von 0, entsprechend 0,8.
Ergebnis
1. Wert von A0,4

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bestimme den Wert einer Nachkommaziffer.
Ich lese den Periodenstrich eindeutig.
Ich unterscheide exakte Werte von Näherungen.
Ich lese und markiere Dezimalzahlen auf einer skalierten Zahlengeraden.
Ich addiere und subtrahiere stellenweise.

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