Diagonale Quadrat

Erklärung 01

Gegenüberliegende Ecken verbinden

1. 1

   Verbinde jeweils gegenüberliegende Ecken.

2. 2

   Unterscheide Seitenlänge und Diagonalenlänge.

$\mathsf{AC=BD=d}$

Erklärung 02

Die Diagonale berechnen

1. 1

   Quadriere beide gleich langen Katheten und addiere.

2. 2

   Ziehe die positive Wurzel.

3. 3

   Runde erst das Endergebnis.

$\mathsf{d^2=a^2+a^2=2a^2,\qquad d=a\sqrt{2}}$

Erklärung 03

Von der Diagonale zur Seite

1. 1

   Teile die Diagonalenlänge durch die Quadratwurzel aus zwei.

2. 2

   Prüfe, ob die Seite kleiner als die Diagonale ist.

$\mathsf{a=\frac{d}{\sqrt{2}}}$

1. 01
   Aufgabe 1Diagonale Quadrat · basisDie Quadratdiagonale AC ist 12 cm lang. Bestimme BD und AM, wenn M der Diagonalenschnittpunkt ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Diagonale BD

   Teilstrecke AM
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Diagonalen sind gleich lang.

      $$\mathsf{BD=12\,\mathsf{cm}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      M halbiert AC.

      $$\mathsf{AM=12:2=6\,\mathsf{cm}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Diagonale BD
      $\mathsf{BD=12\,\mathsf{cm}}$
   2. Teilstrecke AM
      $\mathsf{AM=6\,\mathsf{cm}}$
2. 02
   Aufgabe 2Diagonale Quadrat · basisEin Quadrat hat Seite 3 cm. Bestimme die Diagonale exakt und auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Exakte Diagonale

   Gerundete Diagonale
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Multipliziere die Seite mit der Quadratwurzel aus zwei.

      $$\mathsf{d=3\sqrt{2}\,\mathsf{cm}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Runde auf Hundertstel.

      $$\mathsf{d\approx4{,}24\,\mathsf{cm}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Exakte Diagonale
      $\mathsf{d=3\sqrt{2}\,\mathsf{cm}}$
   2. Gerundete Diagonale
      $\mathsf{d\approx4{,}24\,\mathsf{cm}}$
3. 03
   Aufgabe 3Diagonale Quadrat · mittelEin Quadrat hat Diagonale $\mathsf{8\sqrt{2}\,\mathsf{m}}$. Berechne die Seitenlänge exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Rechnung und Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Teile die Diagonale durch die Quadratwurzel aus zwei.

      $$\mathsf{a=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\,\mathsf{m}=8\,\mathsf{m}}$$

   Ergebnis

   1. Rechnung und Ergebnis
      $\mathsf{a=8\,\mathsf{m}}$
4. 04
   Aufgabe 4Diagonale Quadrat · mittelZeichne ab A ein Quadrat: 4 Kästchen nach rechts, 4 nach oben. Beschrifte ABCD gegen den Uhrzeigersinn, zeichne beide Diagonalen und berechne ihre Länge auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Zeichnung

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Zeichnung

   Diagonalenlänge
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Setze B vier Kästchen rechts, C vier über B und D vier über A.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Verbinde die Ecken und zeichne AC sowie BD.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Berechne eine Diagonale; die andere ist gleich lang.

      $$\mathsf{d=4\sqrt{2}\,\mathsf{cm}\approx5{,}66\,\mathsf{cm}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Zeichnung
      Beschriftete Konstruktion auf der Vorlage; siehe geschützte Musterzeichnung.
   2. Diagonalenlänge
      Beide Diagonalen sind etwa 5,66 cm lang.
5. 05
   Aufgabe 5Diagonale Quadrat · transferEine quadratische Tischplatte hat Seite 60 cm. Ein 80 cm langer gerader Stab soll flach vollständig entlang einer Diagonale darauf liegen. Passt er? Begründe rechnerisch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Diagonale

   Entscheidung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Berechne die Länge der Diagonale.

      $$\mathsf{d=60\sqrt{2}\,\mathsf{cm}\approx84{,}85\,\mathsf{cm}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Vergleiche die Stablänge mit der Diagonale.

      $$\mathsf{80<84{,}85}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Diagonale
      $\mathsf{d=60\sqrt{2}\,\mathsf{cm}\approx84{,}85\,\mathsf{cm}}$
   2. Entscheidung
      Ja. Der 80 cm lange Stab ist kürzer als die Diagonale.
6. 06
   Aufgabe 6Diagonale Quadrat · transferEin Quadrat hat Diagonale 10 cm. Berechne seine Fläche ohne gerundete Zwischenwerte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Rechnung und Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Aus dem Satz des Pythagoras folgt:

      $$\mathsf{d^2=2a^2}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Da die Fläche gleich dem Quadrat der Seite ist, gilt:

      $$\mathsf{A=\frac{d^2}{2}}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Setze die Diagonale ein.

      $$\mathsf{A=\frac{10^2}{2}=50\,\mathsf{cm}^2}$$

   Ergebnis

   1. Rechnung und Ergebnis
      $\mathsf{A=50\,\mathsf{cm}^2}$