Differentialrechnung · Erklären & üben

Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit bedeutet, dass die lokalen Sekantensteigungen einen gemeinsamen endlichen Grenzwert besitzen. Ein zusammenhängender Graph allein genügt dafür nicht.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Definition an einer inneren Stelle

Sei f in einer offenen Umgebung von a definiert. f heißt bei a differenzierbar, wenn der Differenzenquotient für h gegen 0 einen endlichen reellen Grenzwert hat.

Bei einer inneren Stelle müssen die Annäherungen von links und rechts denselben endlichen Wert liefern. Einseitige Ableitungen an einem Randpunkt sind eine gesonderte Betrachtung.

Differenzierbar auf einem offenen Intervall heißt: Die Bedingung gilt an jeder Stelle dieses Intervalls.

$\mathsf{f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h}$

So geht es am Beispiel

Zeige die Differenzierbarkeit von f(x)=x² bei a.

$\mathsf{\frac{(a+h)^2-a^2}h=2a+h}$ — für h≠0 umformen.

$\mathsf{\lim_{h\to0}(2a+h)=2a}$ — gemeinsamer endlicher Grenzwert.

Erklärung 02

Differenzierbarkeit erzwingt Stetigkeit

Ist f bei a differenzierbar, muss f dort stetig sein. Denn für h≠0 ist die Wertänderung f(a+h)−f(a) gleich h mal dem Differenzenquotienten.

Der Quotient nähert sich einer endlichen Zahl und h geht gegen 0. Deshalb geht die Wertänderung gegen 0: f(a+h) nähert sich f(a).

Die Umkehrung ist falsch. Stetigkeit sagt, dass keine Wertlücke entsteht; sie garantiert keine eindeutige endliche Steigung.

$\mathsf{\textsf{differenzierbar}\ \Rightarrow\ \textsf{stetig}}$

Erklärung 03

Der Knick von |x|

Die Betragsfunktion ist bei 0 stetig, denn |x| geht für x gegen 0 gegen 0. Links hat ihr Graph die Steigung −1, rechts die Steigung +1.

Diese unterschiedlichen einseitigen Steigungen verhindern eine Ableitung bei 0. An allen Stellen ungleich 0 ist die Funktion dagegen differenzierbar.

Maßstäblicher Betragsgraph mit Knick im Ursprung und beschrifteten einseitigen Steigungen.

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x)=|x| bei 0.

$\mathsf{\frac{f(0+h)-f(0)}h=\frac{|h|}h}$ — einsetzen; h≠0.

$\mathsf{\frac{|h|}h=-1\quad(h<0)}$ — negativer Abstand.

$\mathsf{\frac{|h|}h=1\quad(h>0)}$ — positiver Abstand.

$\mathsf{-1\ne1}$ — kein gemeinsamer Grenzwert.

Erklärung 04

Sprung, unendliche Steigung und Fallvorschriften

Bei einer unstetigen Stelle kann die Funktion nicht differenzierbar sein. Prüfe bei Fallvorschriften zuerst, ob die Werte von beiden Seiten zum festgelegten Funktionswert passen.

Auch gleiche unendliche einseitige Steigungen sind keine endliche Ableitung. Bei der reellen Kubikwurzel von x ist der Quotient bei 0 gleich 1/|h| hoch 2/3 und wächst unbegrenzt.

Sind beide Äste stetig angeschlossen, vergleiche ihre einseitigen Ableitungen. Stimmen sie endlich überein, ist die Funktion an der Anschlussstelle differenzierbar.

Erklärung 05

Höhere Ableitungen

Ist f′ wiederum differenzierbar, existiert f″. Differenzierbarkeit erster Ordnung allein garantiert das nicht.

Ein Beispiel ist f(x)=x|x|: links gilt f=−x², rechts f=x². Bei 0 ist die Ableitung 0; insgesamt lautet f′(x)=2|x|. Diese erste Ableitung hat bei 0 einen Knick, also existiert f″(0) nicht.

Für Polynome und die üblichen glatten Funktionen können Ableitungsregeln verwendet werden. An Übergangsstellen einer Fallvorschrift müssen deren Voraussetzungen gesondert geprüft werden.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Differenzierbarkeit · GrundlagenZeige mit dem Differenzenquotienten, dass f(x)=3x+1 bei a=2 differenzierbar ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=7}$ — Funktionswert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{3(2+h)+1-7}h}$ — Quotient; h≠0.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{3h}h=3}$ — vereinfachen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(2)=3}$ — endlicher Grenzwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDifferenzierbar; Ableitung 3.
02
Aufgabe 2Differenzierbarkeit · GrundlagenUntersuche f(x)=|x−1| bei x=1 auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=0}$ — Wert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to1}|x-1|=0}$ — stetig.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{|h|}h}$ — Quotient.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Links −1, rechts +1.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisStetig bei 1, aber dort nicht differenzierbar.
03
Aufgabe 3Differenzierbarkeit · GrundlagenEs gilt f(x)=0 für x<0 und f(x)=1 für x≥0. Ist f bei 0 differenzierbar?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links nähern sich die Funktionswerte 0.
2. Schritt 2 · Erklärung
  f(0)=1; die Funktion ist bei 0 unstetig.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Differenzierbarkeit würde Stetigkeit voraussetzen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungNicht differenzierbar bei 0.
04
Aufgabe 4Differenzierbarkeit · AnwendenEs gilt f(x)=x² für x≤0 und f(x)=2x² für x>0. Untersuche bei 0 Stetigkeit und Differenzierbarkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0}$ — Wert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Funktionsäste gehen gegen 0.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für h<0 ist der Quotient $\mathsf{h^2/h=h}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Für h>0 ist der Quotient $\mathsf{2h^2/h=2h}$ .
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Quotienten gehen gegen 0.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisStetig und differenzierbar bei 0; f′(0)=0.
05
Aufgabe 5Differenzierbarkeit · AnwendenEs gilt f(x)=ax für x<0 und f(x)=2x für x≥0. Bestimme a so, dass f bei 0 differenzierbar ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Äste sind für jedes a bei 0 stetig angeschlossen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Links ist die Steigung a; rechts ist sie 2.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=2}$ — gleiche einseitige Steigungen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGenau a=2.
06
Aufgabe 6Differenzierbarkeit · AnwendenBeurteile: „Wenn der Graph keine Sprünge hat, ist die Funktion differenzierbar.“ Gib ein Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Betragsfunktion |x| ist überall stetig.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei 0 sind die einseitigen Steigungen −1 und +1 verschieden.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungFalsch; |x| bei 0 ist ein Gegenbeispiel.
07
Aufgabe 7Differenzierbarkeit · AnwendenFür f(x)=x|x|: Bestimme f′ und begründe, warum f″(0) nicht existiert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für x<0 gilt $\mathsf{f(x)=-x^2}$ , also $\mathsf{f^{\prime}(x)=-2x}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für x>0 gilt $\mathsf{f(x)=x^2}$ , also $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Bei 0 ist der Quotient $\mathsf{h|h|/h=|h|}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — Grenzwert.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2|x|}$ — beide Seiten zusammen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  Links hat f′ Steigung −2, rechts +2.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisf′=2|x|; f″(0) existiert nicht.
08
Aufgabe 8Differenzierbarkeit · VertiefenDie Funktion reelle Kubikwurzel(x) ist bei 0 stetig. Ihr Differenzenquotient wächst von beiden Seiten unbegrenzt positiv. Ist sie dort nach der hier verwendeten Definition differenzierbar?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Definition verlangt einen endlichen reellen Grenzwert.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Unbeschränktes Wachstum liefert keine endliche Steigung.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungNein; eine senkrechte Tangente ist keine endliche Ableitung.
09
Aufgabe 9Differenzierbarkeit · VertiefenZeichne |x| links und x² rechts in die vorbereiteten Systeme mit gegebenen Punkten. Kennzeichne bei 0 „Knick“ beziehungsweise „waagerechte Tangente“ und nenne die Ableitung, soweit sie existiert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei |x| stimmen die einseitigen Steigungen nicht überein.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei x² lautet die Ableitung 2x und hat bei 0 den Wert 0.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung|x|: keine Ableitung bei 0; x²: Ableitung 0 bei 0.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich halte h vor dem Kürzen ungleich null.
Ich unterscheide Funktionswerte und Steigungen.
Ich verlange einen gemeinsamen endlichen Grenzwert.

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