Differentialrechnung · Erklären & üben

Ableiten mit der h-Methode

Die h-Methode berechnet eine Ableitung direkt aus dem Differenzenquotienten. Zuerst betrachtest du zwei verschiedene Stellen; erst danach lässt du ihren Abstand gegen null gehen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Punkte und ein veränderlicher Abstand

Sei a eine innere Stelle des Definitionsbereichs. Für hinreichend kleine h müssen a und a+h im Bereich liegen. Der Abstand h darf zunächst nicht null sein.

Der Quotient aus Höhenänderung und horizontalem Abstand ist die Sekantensteigung. Wenn diese Steigungen für h gegen 0 einen gemeinsamen endlichen Grenzwert besitzen, heißt dieser f′(a).

$\mathsf{f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h}$

Parabel mit den Punkten P und Q, maßstäblicher Sekante und Tangente bei x=1.

So geht es am Beispiel

Für f(x)=x², a=1 und h=1: Berechne die Sekantensteigung.

$\mathsf{f(1+1)=f(2)=4}$ — zweiter Punkt.

$\mathsf{f(1)=1}$ — erster Punkt.

$\mathsf{\frac{4-1}{1}=3}$ — Höhenänderung durch Abstand.

Erklärung 02

Einsetzen, ausmultiplizieren, kürzen, Grenzwert

Setze in den gesamten Funktionsterm a+h ein. Ziehe f(a) in Klammern ab. Vereinfache den Zähler, bis du h als gemeinsamen Faktor kürzen kannst.

Das Kürzen gilt nur für h≠0. Danach kann der vereinfachte Ausdruck einen Grenzwert bei h=0 besitzen. Du setzt nicht h=0 in den ursprünglichen Bruch ein.

So geht es am Beispiel

Bestimme f′(a) für f(x)=x².

$\mathsf{\frac{f(a+h)-f(a)}h=\frac{(a+h)^2-a^2}h}$ — einsetzen; h≠0.

$\mathsf{\frac{(a+h)^2-a^2}h=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}h}$ — binomische Formel.

$\mathsf{\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}h=\frac{2ah+h^2}h}$ — gleiche Terme aufheben.

$\mathsf{\frac{2ah+h^2}h=\frac{h(2a+h)}h}$ — h ausklammern.

$\mathsf{\frac{h(2a+h)}h=2a+h}$ — für h≠0 kürzen.

$\mathsf{f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}(2a+h)=2a}$ — Grenzwert.

Erklärung 03

Klammern bei zusammengesetzten Termen

Bei einer Differenz f(a+h)−f(a) wird der gesamte alte Funktionswert abgezogen. Eine fehlende Minusklammer verändert das Ergebnis.

Konstante Summanden heben sich im Zähler auf; konstante Faktoren bleiben erhalten.

So geht es am Beispiel

Leite f(x)=3x²−2x+5 mit der h-Methode ab.

$\mathsf{\frac{3(a+h)^2-2(a+h)+5-(3a^2-2a+5)}h}$ — beide Werte einsetzen.

$\mathsf{\frac{3a^2+6ah+3h^2-2a-2h+5-3a^2+2a-5}h}$ — Klammern auflösen.

$\mathsf{\frac{6ah+3h^2-2h}h}$ — gleiche Terme aufheben.

$\mathsf{\frac{h(6a+3h-2)}h}$ — h ausklammern.

$\mathsf{6a+3h-2}$ — für h≠0 kürzen.

$\mathsf{f^{\prime}(a)=6a-2}$ — h gegen 0.

Erklärung 04

Annäherung und praktische Grenzen

Für x² bei a=1 ist die Sekantensteigung 2+h. Die Werte h=0,1 und h=−0,1 liefern 2,1 beziehungsweise 1,9. Von beiden Seiten nähern sich die Steigungen 2.

Einige Zahlenwerte sind eine Anschauung, kein vollständiger Grenzwertbeweis. Die exakte Formel 2+h begründet hier den Grenzwert.

Die h-Methode erklärt die Ableitung und eignet sich für einfache Terme. Für aufwendigere Funktionen sind daraus begründete Ableitungsregeln meist kürzer. Ein Grenzwert kann auch fehlen, etwa am Knick von |x| bei 0.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ableiten mit der h-Methode · GrundlagenBestimme f′(a) mit der h-Methode für $\mathsf{f(x)=5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{5-5}h}$ — einsetzen; h≠0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac0h}$ — ausmultiplizieren und zusammenfassen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0}$ — h kürzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(a)=0}$ — h gegen 0.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{0}$
02
Aufgabe 2Ableiten mit der h-Methode · GrundlagenBestimme f′(a) mit der h-Methode für $\mathsf{f(x)=4x-3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{4(a+h)-3-(4a-3)}h}$ — einsetzen; h≠0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{4h}h}$ — ausmultiplizieren und zusammenfassen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4}$ — h kürzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(a)=4}$ — h gegen 0.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{4}$
03
Aufgabe 3Ableiten mit der h-Methode · GrundlagenBestimme f′(a) mit der h-Methode für $\mathsf{f(x)=2x^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{2(a+h)^2-2a^2}h}$ — einsetzen; h≠0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{4ah+2h^2}h}$ — ausmultiplizieren und zusammenfassen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4a+2h}$ — h kürzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(a)=4a}$ — h gegen 0.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{4a}$
04
Aufgabe 4Ableiten mit der h-Methode · AnwendenBestimme f′(a) mit der h-Methode für $\mathsf{f(x)=x^2+3x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{(a+h)^2+3(a+h)-(a^2+3a)}h}$ — einsetzen; h≠0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{2ah+h^2+3h}h}$ — ausmultiplizieren und zusammenfassen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2a+h+3}$ — h kürzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(a)=2a+3}$ — h gegen 0.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2a+3}$
05
Aufgabe 5Ableiten mit der h-Methode · AnwendenBerechne f′(2) für f(x)=x³ direkt mit der h-Methode.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{(2+h)^3-8}h}$ — einsetzen; h≠0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{8+12h+6h^2+h^3-8}h}$ — ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{12h+6h^2+h^3}h}$ — 8 aufheben.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{12+6h+h^2}$ — h kürzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(2)=12}$ — Grenzwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis12.
06
Aufgabe 6Ableiten mit der h-Methode · AnwendenLeite f(x)=1/x an einer Stelle a≠0 mit der h-Methode ab. Beachte auch a+h≠0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{1/(a+h)-1/a}h}$ — einsetzen; h≠0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)h}}$ — gemeinsamen Nenner bilden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{-h}{a(a+h)h}}$ — Zähler vereinfachen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-\frac1{a(a+h)}}$ — h kürzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(a)=-1/a^2}$ — Grenzwert; a≠0.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{-1/a^2}$ für a≠0.
07
Aufgabe 7Ableiten mit der h-Methode · AnwendenEine Lösung setzt in ((a+h)²−a²)/h sofort h=0 ein und behauptet: 0/0=0. Erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der ursprüngliche Quotient ist für h=0 nicht definiert.
2. Schritt 2 · Erklärung
  0/0 ist keine Zahl.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erst für h≠0 vereinfachen: 2a+h; dann den Grenzwert bilden.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungDer Grenzwert ist 2a, nicht allgemein 0.
08
Aufgabe 8Ableiten mit der h-Methode · VertiefenFür f(x)=x² bei a=1: Bestimme die Sekantensteigungen für h=0,5 und h=−0,5 und den Grenzwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m(h)=2+h}$ — vereinfachter Quotient.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m(0{,}5)=2{,}5}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m(-0{,}5)=1{,}5}$ — einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{h\to0}m(h)=2}$ — Grenzwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis2,5; 1,5; Ableitung 2.
09
Aufgabe 9Ableiten mit der h-Methode · VertiefenZeichne für f(x)=x² die Tangente bei P(1|1) in die vorbereitete Parabel. Verwende die mit der h-Methode gefundene Steigung 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{y=2(x-1)+1}$ — Punkt-Steigungsform.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{y=2x-1}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungTangente y=2x−1 durch P(1|1).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich halte h vor dem Kürzen ungleich null.
Ich unterscheide Funktionswerte und Steigungen.
Ich verlange einen gemeinsamen endlichen Grenzwert.

AT Academy · Version 2026-10-21