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Verteilung · Erklären & üben

Diskrete Gleichverteilung

Bei einer diskreten Gleichverteilung haben endlich viele verschiedene Werte dieselbe Wahrscheinlichkeit. Gleich wahrscheinliche Grundobjekte führen allerdings nur dann zu gleich wahrscheinlichen Zahlenwerten, wenn jeder Zahlenwert gleich oft vertreten ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleiche Chance für jeden Wert

Hat X genau m verschiedene gleich wahrscheinliche Werte, erhält jeder Wert die Wahrscheinlichkeit 1 durch m. Die Werte müssen nicht aufeinanderfolgende ganze Zahlen sein. Ein Ereignis mit r dieser Werte hat Wahrscheinlichkeit r durch m.

  1. Liste die verschiedenen möglichen Zahlenwerte auf.

  2. Prüfe, dass jeder Wert dieselbe Chance hat.

  3. Zähle die Werte des Ereignisses.

P(X=xi)=1m,P(X∈A)=∣A∣m\mathsf{P(X=x_i)=\frac1m,\qquad P(X\in A)=\frac{|A|}{m}}

Gleich hohe Massen0,25 bei2,4,6,8; gleichmäßiger Zahlmaßstab.

So geht es am Beispiel

Vier gleich wahrscheinliche Karten tragen die Zahlen 2,4,6,8. X ist die gezogene Zahl. Wie wahrscheinlich ist eine Zahl größer als 4?

Alle vier Zahlenwerte sind verschieden und gleich wahrscheinlich.

Das Ereignis enthält 6 und 8.

P(X>4)=24=12\mathsf{P(X>4)=\frac24=\frac12}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,5.

Erklärung 02

Die Verteilungsfunktion zählt mit

Die Verteilungsfunktion summiert die gleich großen Einzelwahrscheinlichkeiten aller Werte bis einschließlich x. Sie steigt an jedem möglichen Wert um 1 durch m. Zwischen den Werten bleibt sie konstant; unter dem kleinsten Wert ist sie 0, ab dem größten 1.

  1. Zähle die möglichen Werte bis einschließlich x.

  2. Teile diese Anzahl durch m.

F(x)=#{i:xi≤x}m\mathsf{F(x)=\frac{\#\{i:x_i\leq x\}}m}

Kumulierte Werte mit eingeschlossener Grenze.

So geht es am Beispiel

Nutze die Karten 2,4,6,8. Bestimme F(3)\mathsf{F(3)}, F(4)\mathsf{F(4)} und F(7)\mathsf{F(7)}.

Bis 3 ist nur 2 erfasst; bis 4 sind 2 und 4 erfasst; bis 7 sind 2,4,6 erfasst.

F(3)=14\mathsf{F(3)=\frac14}
F(4)=24=12\mathsf{F(4)=\frac24=\frac12}
F(7)=34\mathsf{F(7)=\frac34}

Ergebnis

Die Sprünge liegen bei 2,4,6 und 8.

Erklärung 03

Mittelwert und Streuung

Bei gleicher Wahrscheinlichkeit ist der Erwartungswert das arithmetische Mittel aller möglichen Werte. Für die Varianz werden die quadrierten Abstände vom Erwartungswert gemittelt. Nur bei den aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen von 1 bis m gilt die kurze Spezialformel.

  1. Berechne den Mittelwert aller möglichen Werte.

  2. Quadriere jeden Abstand vom Mittelwert.

  3. Bilde davon den Mittelwert.

  4. Nur für die Werte 1 bis m gelten die folgenden Spezialformeln.

    E(X)=m+12,Var⁡(X)=m2−112\mathsf{E(X)=\frac{m+1}2,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{m^2-1}{12}}

E(X)=1m∑i=1mxi,Var⁡(X)=1m∑i=1m(xi−E(X))2\mathsf{E(X)=\frac1m\sum_{i=1}^m x_i,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac1m\sum_{i=1}^m(x_i-E(X))^2}

So geht es am Beispiel

X ist gleichverteilt auf 2,4,6,8. Berechne Erwartungswert und Varianz.

E(X)=2+4+6+84=5\mathsf{E(X)=\frac{2+4+6+8}{4}=5}
Var⁡(X)=9+1+1+94=5\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{9+1+1+9}{4}=5}

Ergebnis

Der Erwartungswert 5 ist hier kein möglicher Einzelwert.

Erklärung 04

Optional: gleichmäßig über ein Intervall

Eine stetige Gleichverteilung auf dem Intervall von a bis b mit a kleiner b hat eine konstante Dichte. Die Gesamtfläche des Rechtecks ist 1. Eine Intervallwahrscheinlichkeit ist die Länge des Teilintervalls geteilt durch die Gesamtlänge. Die Verteilungsfunktion steigt innerhalb des Intervalls linear von 0 auf 1. Einzelpunkte haben Wahrscheinlichkeit 0.

  1. Prüfe, ob endlich viele Werte oder ein ganzes Intervall modelliert werden.

  2. Rechne stetige Wahrscheinlichkeiten als Flächen.

  3. Nutze die Formeln nur für a kleiner b.

f(x)=1b−a (a≤x≤b),E(X)=a+b2,Var⁡(X)=(b−a)212\mathsf{f(x)=\frac1{b-a}\ (a\leq x\leq b),\qquad E(X)=\frac{a+b}2,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}}

Dichte1/6 auf2bis8Minuten; Teilfläche3bis5 beträgt1/3.

So geht es am Beispiel

Eine Zeit X ist stetig gleichverteilt auf 2 bis 8 Minuten. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für 3 bis 5 Minuten sowie Erwartungswert und Varianz.

Die Dichte ist 1/6 pro Minute innerhalb des Intervalls und 0 außerhalb.

P(3≤X≤5)=5−38−2=13\mathsf{P(3\leq X\leq5)=\frac{5-3}{8-2}=\frac13}
E(X)=2+82=5\mathsf{E(X)=\frac{2+8}2=5}
Var⁡(X)=(8−2)212=3\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{(8-2)^2}{12}=3}

Ergebnis

Der Erwartungswert beträgt 5 Minuten, die Varianz 3 Quadratminuten. Die Dichte ist keine Punktwahrscheinlichkeit.

Erklärung 05

Grenzen der Gleichverteilung

Doppelt vorhandene Zahlen auf gleich wahrscheinlichen Karten verändern die Chancen der Zahlenwerte. Das Thema Diskrete Zufallsvariablen erklärt das Zusammenfassen gleicher Werte. Für stetige Integrale und Verteilungsfunktionen führt Stetige Dichtefunktion und Verteilungsfunktion weiter.

  1. Unterscheide Karten und Zahlenwerte.

  2. Prüfe die Annahme gleicher Chancen an den tatsächlichen Werten.

Nicht jede diskrete Verteilung ist gleichverteilt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Diskrete Gleichverteilung · EinstiegEine Zahl wird gleich wahrscheinlich aus 1,3,5,7,9 ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau 5 und für eine Zahl mindestens 7.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es gibt 5 verschiedene gleich wahrscheinliche Werte.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Mindestens 7 umfasst 7 und 9.

      P(X=5)=15\mathsf{P(X=5)=\frac15}
      P(X≥7)=25\mathsf{P(X\geq7)=\frac25}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Genau 515\mathsf{\frac15}
    2. Mindestens 725\mathsf{\frac25}
  2. Aufgabe 2Diskrete Gleichverteilung · EinstiegX ist gleichverteilt auf 1,3,5,7. Berechne F(0)\mathsf{F(0)}, F(4)\mathsf{F(4)} und F(7)\mathsf{F(7)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Unter 1 ist noch kein möglicher Wert erfasst.

      F(0)=0\mathsf{F(0)=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bis 4 sind 1 und 3 erfasst.

      F(4)=24=12\mathsf{F(4)=\frac24=\frac12}
      F(7)=1\mathsf{F(7)=1}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. F(0)0\mathsf{0}
    2. F(4)12\mathsf{\frac12}
    3. F(7)1\mathsf{1}
  3. Aufgabe 3Diskrete Gleichverteilung · AnwendenZeichne die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die vier gleich wahrscheinlichen Werte 1,2,3,4 in die Vorlage. Beschrifte alle Säulen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Gleichverteilung

    Leere Wahrscheinlichkeitsskala0bis0,5 für Werte1,2,3,4.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Jede der vier Massen ist 1/4.

      4⋅14=1\mathsf{4\cdot\frac14=1}

    Ergebnis

    1. GleichverteilungVier Säulen mit Höhe 0,25 bei 1,2,3,4.
  4. Aufgabe 4Diskrete Gleichverteilung · AnwendenX ist gleichverteilt auf 1,2,3. Berechne Erwartungswert und Varianz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      E(X)=1+2+33=2\mathsf{E(X)=\frac{1+2+3}{3}=2}
      Var⁡(X)=(1−2)2+(2−2)2+(3−2)23=23\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\frac23}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erwartungswert2\mathsf{2}
    2. Varianz23\mathsf{\frac23}
  5. Aufgabe 5Diskrete Gleichverteilung · TransferVier gleich wahrscheinliche Karten tragen die Zahlen 0,0,1,2. Ist die gezogene Zahl gleichverteilt auf 0,1,2? Bestimme die drei Wahrscheinlichkeiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Zahl 0 kommt auf zwei Karten vor, die anderen auf je einer.

      P(X=0)=24=12\mathsf{P(X=0)=\frac24=\frac12}
      P(X=1)=P(X=2)=14\mathsf{P(X=1)=P(X=2)=\frac14}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die drei Wahrscheinlichkeiten sind nicht alle gleich.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Zahl 012\mathsf{\frac12}
    2. Zahl 114\mathsf{\frac14}
    3. Zahl 214\mathsf{\frac14}
    4. Gleichverteilt?Nein;0 ist doppelt so wahrscheinlich wie 1 oder 2.
  6. Aufgabe 6Diskrete Gleichverteilung · TransferOptional: X ist stetig gleichverteilt auf 0 bis 6 Minuten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für 2 bis 5 Minuten, F(2)\mathsf{F(2)} und die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(2≤X≤5)=5−26=12\mathsf{P(2\leq X\leq5)=\frac{5-2}{6}=\frac12}
      F(2)=26=13\mathsf{F(2)=\frac26=\frac13}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Ein einzelner Punkt hat keine Intervallbreite.

      P(X=2)=0\mathsf{P(X=2)=0}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. 2 bis 5 Minuten12\mathsf{\frac12}
    2. F(2)13\mathsf{\frac13}
    3. Genau 2 Minuten0\mathsf{0}
  7. Aufgabe 7Diskrete Gleichverteilung · TransferOptional: X ist stetig gleichverteilt auf 4 bis 10 Minuten. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Runde die Standardabweichung auf zwei Dezimalstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      E(X)=4+102=7\mathsf{E(X)=\frac{4+10}2=7}
      Var⁡(X)=(10−4)212=3\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{(10-4)^2}{12}=3}
      σ=3≈1,73\mathsf{\sigma=\sqrt3\approx1{,}73}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erwartungswert7 Minuten
    2. Varianz3 Quadratminuten
    3. StandardabweichungEtwa 1,73 Minuten

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe gleiche Chancen der Zahlenwerte.
  • Ich berechne kumulierte Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte.
  • Ich trenne diskrete Massen vom stetigen Intervallmodell.

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