Poissonverteilung

Erklärung 01

Rate und festes Intervall

1. 1

   Lege Ereignis und Intervall fest.

2. 2

   Prüfe konstante Rate und fehlende Abhängigkeiten.

3. 3

   Berechne die erwartete Anzahl im gewählten Intervall.

$\mathsf{\lambda=r\,t,\qquad\lambda>0}$

Erklärung 02

Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen

1. 1

   Setze den zum Intervall passenden Parameter ein.

2. 2

   Berechne Potenz, Fakultät und Exponentialfaktor.

3. 3

   Runde erst das Endergebnis.

$\mathsf{P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots}$

Erklärung 03

Summieren und Kennwerte

1. 1

   Schreibe die einzubeziehenden Trefferzahlen auf.

2. 2

   Addiere passende Massen oder nutze das Gegenereignis.

3. 3

   Unterscheide Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

$\mathsf{E(X)=\lambda,\quad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\lambda,\quad\sigma=\sqrt\lambda}$

Erklärung 04

Zählmodell oder einzelner Indikator?

1. 1

   Prüfe, ob X eine Anzahl oder nur einen Indikator bezeichnet.

2. 2

   Prüfe die Modellannahmen an der konkreten Situation.

Ein passender Mittelwert allein rechtfertigt keine Poisson-Verteilung.

1. 01
   Aufgabe 1Poissonverteilung · EinstiegUnter passenden Poisson-Annahmen treten im Mittel 8 Ereignisse pro Stunde auf. Bestimme den Parameter für 15 Minuten und für 90 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   15 Minuten

   90 Minuten
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{\lambda_{15}=8\cdot\frac{15}{60}=2}$$

      $$\mathsf{\lambda_{90}=8\cdot\frac{90}{60}=12}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. 15 Minuten
      $\mathsf{2}$
   2. 90 Minuten
      $\mathsf{12}$
2. 02
   Aufgabe 2Poissonverteilung · EinstiegX ist Poisson-verteilt mit Lambda=1. Berechne die Wahrscheinlichkeit für 0 Ereignisse und für genau 2 Ereignisse. Runde auf vier Dezimalstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Kein Ereignis

   Genau 2 Ereignisse
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{P(X=0)=e^{-1}\approx0{,}3679}$$

      $$\mathsf{P(X=2)=e^{-1}\frac{1^2}{2!}=\frac{e^{-1}}2\approx0{,}1839}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Kein Ereignis
      $\mathsf{0{,}3679}$
   2. Genau 2 Ereignisse
      $\mathsf{0{,}1839}$
3. 03
   Aufgabe 3Poissonverteilung · AnwendenZeichne die ersten vier Massen für Lambda=1 in die Vorlage. Verwende die gerundeten Werte für k=0,1,2,3: 0,368;0,368;0,184;0,061. Erkläre, weshalb ihre Summe kleiner als 1 ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erste vier Massen

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Erste vier Massen

   Warum fehlt Wahrscheinlichkeit?
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Höhen werden bei den vier zugehörigen ganzen Zahlen eingetragen.

      $$\mathsf{0{,}368+0{,}368+0{,}184+0{,}061=0{,}981}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Ereigniszahlen ab 4 sind ebenfalls möglich; der fehlende Rest beträgt ungefähr 0,019.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erste vier Massen
      Säulen 0,368;0,368;0,184;0,061 bei 0,1,2,3.
   2. Warum fehlt Wahrscheinlichkeit?
      Zahlen ab 4 sind nicht gezeichnet; Rest ungefähr 0,019.
4. 04
   Aufgabe 4Poissonverteilung · AnwendenFür Lambda=0,5: Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Ereignis. Runde auf vier Dezimalstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Mindestens 1 Ereignis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Das Gegenereignis ist 0 Ereignisse.

      $$\mathsf{P(X\geq1)=1-e^{-0{,}5}\approx0{,}3935}$$

   Ergebnis

   1. Mindestens 1 Ereignis
      $\mathsf{0{,}3935}$
5. 05
   Aufgabe 5Poissonverteilung · TransferX ist Poisson-verteilt mit Lambda=9. Bestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwartungswert

   Varianz

   Standardabweichung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{E(X)=9}$$

      $$\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=9}$$

      $$\mathsf{\sigma=\sqrt9=3}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erwartungswert
      9 Ereignisse
   2. Varianz
      $\mathsf{9}$
   3. Standardabweichung
      3 Ereignisse
6. 06
   Aufgabe 6Poissonverteilung · TransferIn einer Halle kommen Besucher fast immer in Reisegruppen von 20 gleichzeitig an. Jemand modelliert jede Besucheranzahl pro Minute allein wegen einer bekannten Durchschnittsrate als Poisson-verteilt. Beurteile das Modell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Modellbeurteilung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Besucher treten gemeinsam in Gruppen auf und lösen keine unabhängigen einzelnen Ankünfte aus.

   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Durchschnitt allein belegt die nötigen Annahmen nicht.

   Ergebnis

   1. Modellbeurteilung
      Das einfache Modell ist nicht begründet: gebündelte Ankünfte verletzen die Annahme einzeln und ohne solche Abhängigkeit auftretender Ereignisse.