Zufallsvariablen · Erklären & üben

Diskrete Zufallsvariablen

Eine diskrete Zufallsvariable fasst Ergebnisse als Zahlen zusammen. Ihre möglichen Werte sind endlich oder abzählbar. Du liest Verteilungen, addierst Ereigniswahrscheinlichkeiten und berechnest Erwartungswert und Streuung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vom Ergebnis zur Zahl

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis genau eine reelle Zahl zu. Mehrere Ergebnisse dürfen dieselbe Zahl erhalten. Großes X bezeichnet die Variable, kleines x einen möglichen Wert.

Definiere die gezählte oder gemessene Größe.
Ordne jedem Ergebnis einen Wert zu.
Fasse gleiche Werte zusammen.

$\mathsf{X:\Omega\to\mathbb R}$

So geht es am Beispiel

Drei gleich wahrscheinliche Marken A, B und C tragen die Auszahlungen 0, 2 und 2 Euro. X ist die Auszahlung.

A erhält den Wert 0; B und C erhalten jeweils 2.

Zwei der drei Marken liefern denselben Wert.

\mathsf{P(X=2)=\frac23}

Erklärung 02

Wahrscheinlichkeiten sammeln

In einer diskreten Verteilung steht an jedem möglichen Wert seine Wahrscheinlichkeit. Alle Einträge sind nicht negativ und ergeben zusammen 1. Für ein Ereignis addierst du nur die passenden Einträge.

Prüfe Werte und Wahrscheinlichkeiten.
Wähle die Werte zum Ereignis.
Addiere ihre Wahrscheinlichkeiten.

$\mathsf{P(X=x_i)\geq0,\qquad\sum_iP(X=x_i)=1}$

Werte 0, 1, 2 mit Wahrscheinlichkeiten 20, 50, 30 Prozent.

So geht es am Beispiel

X zählt Bestellungen pro Stunde. Für 0, 1 und 2 Bestellungen gelten die Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5 und 0,3. Wie wahrscheinlich sind mindestens eine Bestellung?

Die Werte 1 und 2 erfüllen die Bedingung.

\mathsf{P(X\geq1)=0{,}5+0{,}3=0{,}8}

Erklärung 03

Mittelwert und Streuung

Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt im Modell. Er muss kein möglicher Einzelwert sein. Die Varianz mittelt die quadrierten Abstände zum Erwartungswert; ihre Einheit ist quadriert. Die Standardabweichung besitzt die Einheit der Zufallsvariable.

Gewichte jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
Addiere zum Erwartungswert.
Gewichte die quadrierten Abstände und ziehe für die Standardabweichung die Wurzel.

$\mathsf{E(X)=\sum_i x_i p_i,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\sum_i(x_i-E(X))^2p_i}$

So geht es am Beispiel

Verwende die Bestellverteilung aus dem vorigen Abschnitt. Berechne Erwartungswert und Varianz.

\mathsf{E(X)=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}5+2\cdot0{,}3=1{,}1}

Die Abstände zum Mittelwert werden quadriert und gewichtet.

\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=1{,}21\cdot0{,}2+0{,}01\cdot0{,}5+0{,}81\cdot0{,}3=0{,}49}

\mathsf{\sigma=\sqrt{0{,}49}=0{,}7}

Erklärung 04

Modelle unterscheiden

Beim fairen Würfel sind die sechs Augenzahlen diskret gleichverteilt. Eine Binomialvariable zählt Erfolge in einer festen Zahl unabhängiger Versuche mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit. Eine normalverteilte Variable ist dagegen stetig; ihre Wahrscheinlichkeiten sind Flächen über Intervallen. Die zugehörige Verteilungsfunktion und stetige Modelle werden in den Anschlussthemen behandelt. Zufallsgröße ist ein anderes Wort für Zufallsvariable.

Prüfe, ob Werte gezählt oder stetig modelliert werden.
Prüfe bei Erfolgszahlen feste Versuchszahl, Unabhängigkeit und gleichbleibende Chance.

Nicht jede diskrete Variable ist binomialverteilt.

So geht es am Beispiel

Ein Bauteil besteht eine Prüfung mit Wahrscheinlichkeit 0,8. Zwei Bauteile werden unabhängig geprüft. X zählt bestandene Prüfungen.

Die möglichen Werte sind 0, 1 und 2.

\mathsf{P(X=0)=0{,}2^2=0{,}04}

\mathsf{P(X=1)=2\cdot0{,}8\cdot0{,}2=0{,}32}

\mathsf{P(X=2)=0{,}8^2=0{,}64}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Diskrete Zufallsvariablen · EinstiegVier gleich wahrscheinliche Karten A, B, C, D tragen die Punkte 1, 1, 3, 5. X ist die Punktzahl. Nenne die möglichen Werte und die Wahrscheinlichkeit für genau 1 Punkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mögliche Werte
Genau 1 Punkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gleiche Punktzahlen werden zusammengefasst.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zwei der vier Karten tragen 1.
  $\mathsf{P(X=1)=\frac24=\frac12}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mögliche Werte1, 3 und 5
2. Genau 1 Punkt $\mathsf{\frac12}$
02
Aufgabe 2Diskrete Zufallsvariablen · EinstiegFür X mit den Werten 0, 1, 2, 3 gelten die Wahrscheinlichkeiten 0,1; 0,4; 0,2 und p. Bestimme p und die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlende Wahrscheinlichkeit
Mindestens 2
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=1-0{,}1-0{,}4-0{,}2=0{,}3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Werte 2 und 3 werden addiert.
  $\mathsf{P(X\geq2)=0{,}2+0{,}3=0{,}5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehlende Wahrscheinlichkeit $\mathsf{p=0{,}3}$
2. Mindestens 2 $\mathsf{0{,}5}$
03
Aufgabe 3Diskrete Zufallsvariablen · ÜbungZeichne ein Säulendiagramm für X: Werte 0, 1, 2 mit Wahrscheinlichkeiten 0,25; 0,5; 0,25. Beschrifte die Säulen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verteilung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Verteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Höhen sind 25, 50 und 25 Prozent.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Abstände auf der Wertachse sind gleich; die Säulen stehen bei 0, 1 und 2.
Ergebnis
1. VerteilungSäulen bei 0, 1, 2 mit Höhen 25, 50, 25 Prozent.
04
Aufgabe 4Diskrete Zufallsvariablen · ÜbungEine Auszahlung X beträgt mit Wahrscheinlichkeit 0,6 genau 0 Euro und mit Wahrscheinlichkeit 0,4 genau 5 Euro. Berechne Erwartungswert und erwarteten Nettogewinn bei 2,50 Euro Einsatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartete Auszahlung
Erwarteter Nettogewinn
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gewichte beide Auszahlungen.
  $\mathsf{E(X)=0\cdot0{,}6+5\cdot0{,}4=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Einsatz fällt bei jedem Spiel an.
  $\mathsf{E(G)=2-2{,}50=-0{,}50}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erwartete Auszahlung2 Euro
2. Erwarteter Nettogewinn−0,50 Euro
05
Aufgabe 5Diskrete Zufallsvariablen · TransferX nimmt die Werte 1 und 3 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 an. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartungswert
Varianz
Standardabweichung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(X)=1\cdot0{,}5+3\cdot0{,}5=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Werte liegen um 1 vom Erwartungswert entfernt.
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=(1-2)^2\cdot0{,}5+(3-2)^2\cdot0{,}5=1}$
  $\mathsf{\sigma=\sqrt1=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erwartungswert $\mathsf{2}$
2. Varianz $\mathsf{1}$
3. Standardabweichung $\mathsf{1}$
06
Aufgabe 6Diskrete Zufallsvariablen · TransferX zählt Treffer in drei unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit 0,5. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer. Beurteile: „Die Werte 0, 1, 2, 3 sind gleich wahrscheinlich.“Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Genau ein Treffer
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Genau ein Treffer ist in den Folgen TNN, NTN und NNT möglich.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jede Folge hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.
  $\mathsf{P(X=1)=3\cdot0{,}5^3=\frac38}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kein Treffer tritt nur bei NNN auf.
  $\mathsf{P(X=0)=\frac18}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Damit sind die vier Trefferzahlen nicht gleich wahrscheinlich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Genau ein Treffer $\mathsf{\frac38}$
2. BeurteilungFalsch: genau ein Treffer hat Wahrscheinlichkeit 3/8, kein Treffer nur 1/8.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich fasse Ergebnisse mit gleichem Wert zusammen.
Ich prüfe die Summe der Wahrscheinlichkeiten.
Ich unterscheide Erwartungswert und mögliches Einzelergebnis.

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