Zufallsvariablen · Erklären & üben

Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße beschreibt, welche Zahl du nach einem Zufallsexperiment beobachtest. Eine klare Definition sagt, was gezählt oder gemessen wird und welche Einheit gilt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Größe eindeutig definieren

Zufallsgröße und Zufallsvariable bedeuten dasselbe. Ein Ergebnis kann viele Eigenschaften besitzen. Erst deine Definition legt fest, welche Zahl betrachtet wird. Jedem Ergebnis muss genau ein Zahlenwert zugeordnet werden.

Beschreibe das Experiment.
Lege die betrachtete Zahl samt Einheit fest.
Ordne jedem Ergebnis genau einen Wert zu.

$\mathsf{X:\Omega\to\mathbb R}$

So geht es am Beispiel

Eine Karte wird gleich wahrscheinlich aus A, B, C, D gezogen. Die aufgedruckten Sterne sind 0, 2, 2, 4. Definiere X.

X zählt die Sterne auf der gezogenen Karte.

A liefert 0, B und C liefern 2, D liefert 4.

Erklärung 02

Zählen und stetig messen

Eine diskrete Größe hat endlich oder abzählbar viele mögliche Werte, zum Beispiel eine Anzahl. Ein stetiges Modell erlaubt jeden Wert in einem Intervall, etwa bei einer Dauer oder Masse. Die Anzeige eines Messgeräts ist gerundet und besitzt dagegen diskrete Anzeigewerte.

Unterscheide die modellierte Größe von der Anzeige.
Prüfe, ob Zwischenwerte im Modell möglich sind.

Die Zahl der Nachkommastellen einer Anzeige entscheidet nicht über das zugrunde liegende Modell.

Masseachse 1,30 bis1,50kg; 1,35 eingeschlossen bis1,45 ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Eine Waage zeigt 1,4 kg und rundet auf 0,1 kg. Welche wahren Massen passen dazu? Verwende kaufmännisches Runden.

Ab 1,35 kg wird auf 1,4 kg aufgerundet.

Ab 1,45 kg erscheint bereits 1,5 kg.

\mathsf{1{,}35\leq X<1{,}45}

Erklärung 03

Messwerte in Klassen überführen

Du kannst stetige Werte durch eindeutige Intervalle in diskrete Klassen übersetzen. Jede Grenze muss genau einer Klasse zugeordnet sein. Dabei geht Information über die genaue Lage im Intervall verloren. Stochastik untersucht solche Modelle und beobachtete Daten; eine Größenwahl ersetzt noch kein Wahrscheinlichkeitsmodell.

Wähle Klassen ohne Lücken und Überschneidungen.
Lege fest, zu welcher Klasse Grenzwerte gehören.
Benenne, welche Information erhalten bleibt.

Klassieren liefert eine neue diskrete Zufallsgröße.

So geht es am Beispiel

Eine Lieferzeit T in Stunden wird klassiert: Klasse 1 unter 2 Stunden, Klasse 2 ab 2 bis unter 4 Stunden, Klasse 3 ab 4 Stunden. Ordne 2,0 und 4,0 Stunden zu.

2,0 gehört zum eingeschlossenen Anfang der zweiten Klasse.

4,0 ist in der zweiten Klasse ausgeschlossen und gehört zur dritten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zufallsgröße · EinstiegEin fairer Würfel wird geworfen. X zählt die Augenzahl, Y ist 1 bei gerader und 0 bei ungerader Augenzahl. Gib X und Y für die Ergebnisse 3 und 6 an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
X bei Ergebnis 3
Y bei Ergebnis 3
X bei Ergebnis 6
Y bei Ergebnis 6
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  X übernimmt die geworfene Augenzahl.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  3 ist ungerade und 6 gerade.
Ergebnisse & Teilantworten
1. X bei Ergebnis 33
2. Y bei Ergebnis 30
3. X bei Ergebnis 66
4. Y bei Ergebnis 61
02
Aufgabe 2Zufallsgröße · EinstiegOrdne zu und begründe kurz: Anzahl fehlender Bücher; ungerundete Wartezeit im stetigen Modell; eine auf volle Minuten gerundete Zeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bücher
Ungerundete Zeit
Gerundete Anzeige
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Eine Anzahl hat ganzzahlige Werte.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Im stetigen Modell sind Zwischenwerte möglich.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die gerundete Anzeige hat ganzzahlige Minutenwerte.
Ergebnisse & Teilantworten
1. BücherDiskret: nicht negative ganze Zahlen.
2. Ungerundete ZeitStetig im gewählten Modell.
3. Gerundete AnzeigeDiskret: volle Minuten.
03
Aufgabe 3Zufallsgröße · ÜbungEine faire Münze wird zweimal unabhängig geworfen. X zählt die Wechsel zwischen Kopf und Zahl. Bestimme die Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kein Wechsel
Ein Wechsel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  KK und ZZ haben keinen Wechsel; KZ und ZK haben genau einen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die vier geordneten Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.
  $\mathsf{P(X=0)=\frac24=\frac12}$
  $\mathsf{P(X=1)=\frac24=\frac12}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kein Wechsel $\mathsf{\frac12}$
2. Ein Wechsel $\mathsf{\frac12}$
04
Aufgabe 4Zufallsgröße · ÜbungZeichne auf der Zahlengeraden die Massen ein, die beim Runden auf 0,1 kg als 2,3 kg angezeigt werden. Markiere eingeschlossene und ausgeschlossene Grenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rundungsintervall
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Rundungsintervall
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die untere Rundungsgrenze liegt bei 2,25 kg und gehört dazu.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die obere Grenze 2,35 kg gehört zur Anzeige 2,4 kg.
  $\mathsf{2{,}25\leq X<2{,}35}$
Ergebnis
1. RundungsintervallVon 2,25 kg geschlossen bis 2,35 kg offen.
05
Aufgabe 5Zufallsgröße · TransferWartezeiten werden klassiert: Klasse 1 unter 5 Minuten, Klasse 2 ab 5 bis unter 10 Minuten, Klasse 3 ab 10 Minuten. Ordne 4,9; 5,0 und 10,0 Minuten zu.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
4,9 Minuten
5,0 Minuten
10,0 Minuten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  4,9 liegt unter der ersten Grenze.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  5,0 gehört zum Beginn der zweiten Klasse.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  10,0 gehört zum Beginn der dritten Klasse.
Ergebnisse & Teilantworten
1. 4,9 MinutenKlasse 1
2. 5,0 MinutenKlasse 2
3. 10,0 MinutenKlasse 3
06
Aufgabe 6Zufallsgröße · TransferAus einer Messung wird nur die Klasse „ab 20 bis unter 25 cm“ gespeichert. Lea behauptet: „Der genaue Messwert war 22,5 cm.“ Beurteile dies und nenne zwei andere mögliche Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung
Erster möglicher Wert
Zweiter möglicher Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Klasse enthält ein ganzes Intervall von Werten.
2. Schritt 2 · Erklärung
  22,5 cm ist nur die Klassenmitte, nicht der nachgewiesene Messwert.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zum Beispiel 21 cm und 24 cm liegen ebenfalls im Intervall.
Ergebnisse & Teilantworten
1. BeurteilungDie genaue Länge lässt sich aus der Klasse nicht zurückgewinnen.
2. Erster möglicher Wert21 cm
3. Zweiter möglicher Wert24 cm

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich definiere eine Zufallsgröße mit Einheit.
Ich unterscheide stetiges Modell und gerundete Anzeige.
Ich ordne Grenzwerte genau einer Klasse zu.

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