Quadratische Gleichungen · Erklären & üben

Diskriminante

Die Diskriminante zeigt, wie viele verschiedene reelle Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt. Du kannst die Anzahl bestimmen, bevor du die Lösungen ausrechnest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Zahl unter der Wurzel

Für $\mathsf{ax^2+bx+c=0}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ heißt $\mathsf{D=b^2-4ac}$ Diskriminante. In der abc-Formel steht $\mathsf{\sqrt D}$ . Deshalb entscheidet das Vorzeichen über die reellen Lösungen.

$\mathsf{D>0}$ : zwei verschiedene reelle Lösungen. $\mathsf{D=0}$ : genau eine reelle Lösung, die als doppelte Nullstelle zählt. $\mathsf{D<0}$ : keine reelle Lösung.

Der Graph von $\mathsf{y=ax^2+bx+c}$ schneidet die x-Achse zweimal, berührt sie einmal oder trifft sie nicht. Die Öffnungsrichtung allein entscheidet nicht über die Anzahl.

Die Regel gilt nur für eine quadratische Gleichung mit $\mathsf{a\ne0}$ .

Drei maßstäbliche Parabeln: x² minus1 schneidet bei minus1 und1, x² berührt bei0, x² plus1 hat keinen Schnitt mit der x-Achse.

Erklärung 02

Vorzeichen sorgfältig einsetzen

Bringe zuerst alle Terme auf eine Seite. Lies a, b und c mit ihren Vorzeichen ab. Ein fehlender Term hat den Koeffizienten null.

In der normierten Form $\mathsf{x^2+px+q=0}$ entscheidet auch $\mathsf{(\frac p2)^2-q}$ . Für die ursprüngliche Form gilt $\mathsf{D=4a^2((\frac p2)^2-q)}$ . Beide Größen haben dasselbe Vorzeichen.

So geht es am Beispiel

Wie viele reelle Lösungen hat $\mathsf{2x^2+3x-2=0}$ ?

$\mathsf{a=2,\ b=3,\ c=-2}$ — Koeffizienten ablesen.

$\mathsf{D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)}$ — mit Vorzeichen einsetzen.

$\mathsf{D=25}$ — berechnen.

$\mathsf{25>0}$ — Vorzeichen prüfen.

So geht es am Beispiel

Wie viele Schnittpunkte haben $\mathsf{f(x)=x^2}$ und $\mathsf{g(x)=2x+3}$ ?

$\mathsf{x^2=2x+3}$ — gleiche Funktionswerte verlangen.

$\mathsf{x^2-2x=3}$ — auf beiden Seiten 2x abziehen.

$\mathsf{x^2-2x-3=0}$ — auf beiden Seiten 3 abziehen.

$\mathsf{D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16}$ — Diskriminante berechnen.

$\mathsf{16>0}$ — zwei verschiedene x-Werte führen zu zwei Schnittpunkten.

Erklärung 03

Parameter und Grenzfälle

Ein Parameter steht für eine feste, aber noch unbekannte Zahl. Berechne D als Ausdruck dieses Parameters und untersuche, wann der Ausdruck positiv, null oder negativ wird.

Prüfe zusätzlich, ob der Leitkoeffizient null werden kann. In diesem Fall bleibt möglicherweise eine lineare Gleichung übrig. Dann ist die quadratische Diskriminantenregel nicht anwendbar.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{x^2-4x+k=0}$ für reelle Werte von k.

$\mathsf{D=(-4)^2-4\cdot1\cdot k=16-4k}$ — Diskriminante als Parameterterm.

$\mathsf{16-4k=0}$ — den Grenzfall ansetzen.

$\mathsf{16=4k}$ — auf beiden Seiten 4k addieren.

$\mathsf{k=4}$ — beide Seiten durch 4 teilen.

Für $\mathsf{k<4}$ ist D positiv. Für $\mathsf{k>4}$ ist D negativ.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Diskriminante · GrundlagenBerechne die Diskriminante und bestimme die Anzahl reeller Lösungen: $\mathsf{x^2-4x+3=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diskriminante mit Rechnung
Anzahl reeller Lösungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=4}$ — Koeffizienten mit Vorzeichen einsetzen und ausrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zwei verschiedene reelle Lösungen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diskriminante mit Rechnung $\mathsf{D=4}$
2. Anzahl reeller LösungenZwei verschiedene reelle Lösungen.
02
Aufgabe 2Diskriminante · GrundlagenBerechne die Diskriminante und bestimme die Anzahl reeller Lösungen: $\mathsf{2x^2+4x+2=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diskriminante mit Rechnung
Anzahl reeller Lösungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=4^2-4\cdot2\cdot2=0}$ — Koeffizienten mit Vorzeichen einsetzen und ausrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Genau eine reelle Lösung (doppelt).
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diskriminante mit Rechnung $\mathsf{D=0}$
2. Anzahl reeller LösungenGenau eine reelle Lösung (doppelt).
03
Aufgabe 3Diskriminante · GrundlagenBerechne die Diskriminante und bestimme die Anzahl reeller Lösungen: $\mathsf{x^2+2x+6=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diskriminante mit Rechnung
Anzahl reeller Lösungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=2^2-4\cdot1\cdot6=-20}$ — Koeffizienten mit Vorzeichen einsetzen und ausrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Keine reelle Lösung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diskriminante mit Rechnung $\mathsf{D=-20}$
2. Anzahl reeller LösungenKeine reelle Lösung.
04
Aufgabe 4Diskriminante · AnwendenBerechne die Diskriminante und bestimme die Anzahl reeller Lösungen: $\mathsf{-x^2+4x-4=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diskriminante mit Rechnung
Anzahl reeller Lösungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-4)=0}$ — Koeffizienten mit Vorzeichen einsetzen und ausrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Genau eine reelle Lösung (doppelt).
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diskriminante mit Rechnung $\mathsf{D=0}$
2. Anzahl reeller LösungenGenau eine reelle Lösung (doppelt).
05
Aufgabe 5Diskriminante · AnwendenBerechne die Diskriminante und bestimme die Anzahl reeller Lösungen: $\mathsf{3x^2-2x-1=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diskriminante mit Rechnung
Anzahl reeller Lösungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=16}$ — Koeffizienten mit Vorzeichen einsetzen und ausrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zwei verschiedene reelle Lösungen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diskriminante mit Rechnung $\mathsf{D=16}$
2. Anzahl reeller LösungenZwei verschiedene reelle Lösungen.
06
Aufgabe 6Diskriminante · AnwendenBerechne die Diskriminante und bestimme die Anzahl reeller Lösungen: $\mathsf{5x^2+2=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diskriminante mit Rechnung
Anzahl reeller Lösungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=0^2-4\cdot5\cdot2=-40}$ — Koeffizienten mit Vorzeichen einsetzen und ausrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Keine reelle Lösung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diskriminante mit Rechnung $\mathsf{D=-40}$
2. Anzahl reeller LösungenKeine reelle Lösung.
07
Aufgabe 7Diskriminante · AnwendenBerechne die Diskriminante und bestimme die Anzahl reeller Lösungen: $\mathsf{-3x^2+2x+1=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diskriminante mit Rechnung
Anzahl reeller Lösungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=2^2-4\cdot(-3)\cdot1=16}$ — Koeffizienten mit Vorzeichen einsetzen und ausrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zwei verschiedene reelle Lösungen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diskriminante mit Rechnung $\mathsf{D=16}$
2. Anzahl reeller LösungenZwei verschiedene reelle Lösungen.
08
Aufgabe 8Diskriminante · VertiefenUntersuche die Anzahl der Schnittpunkte von $\mathsf{f(x)=x^2}$ und $\mathsf{g(x)=2x+8}$ . Gib die Gleichung, die Diskriminante und die Anzahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quadratische Gleichung
Diskriminante mit Rechnung
Anzahl der Schnittpunkte
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=2x+8}$ — Funktionswerte gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-2x=8}$ — 2x abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-2x-8=0}$ — 8 abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=36}$ — Diskriminante berechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{36>0}$ — zwei verschiedene Schnittstellen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quadratische Gleichung $\mathsf{x^2-2x-8=0}$
2. Diskriminante mit Rechnung $\mathsf{D=36}$
3. Anzahl der SchnittpunkteZwei Schnittpunkte.
09
Aufgabe 9Diskriminante · VertiefenFür welche Werte von m hat $\mathsf{x^2-6x+m=0}$ zwei, eine oder keine reelle Lösung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zwei verschiedene reelle Lösungen
Genau eine reelle Lösung
Keine reelle Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=36-4m}$ — Koeffizienten einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{36-4m=0}$ — Grenzfall ansetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{36=4m}$ — 4m addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=9}$ — durch 4 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Unterhalb von 9 ist D positiv, oberhalb negativ.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zwei verschiedene reelle Lösungen $\mathsf{m<9}$
2. Genau eine reelle Lösung $\mathsf{m=9}$
3. Keine reelle Lösung $\mathsf{m>9}$
10
Aufgabe 10Diskriminante · VertiefenUntersuche für reelles t die Anzahl reeller Lösungen von $\mathsf{tx^2+2x+1=0}$ . Behandle den Sonderfall $\mathsf{t=0}$ getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sonderfall t = 0
Quadratische Fälle mit zwei Lösungen
Quadratischer Fall mit einer Lösung
Fälle ohne reelle Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{t=0}$ lautet die Gleichung $\mathsf{2x+1=0}$ — sie ist linear.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=-1}$ — 1 abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\frac12}$ — durch 2 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{t\ne0}$ gilt $\mathsf{D=4-4t}$ — quadratische Diskriminante berechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4-4t=0}$ — quadratischen Grenzfall ansetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4=4t}$ — 4t addieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=1}$ — durch 4 teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  Für $\mathsf{t<1}$ und $\mathsf{t\ne0}$ ist D positiv. Für $\mathsf{t>1}$ ist D negativ.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sonderfall t = 0Genau eine Lösung: $\mathsf{x=-\frac12}$ . Die Gleichung ist linear.
2. Quadratische Fälle mit zwei Lösungen $\mathsf{t<1}$ und $\mathsf{t\ne0}$
3. Quadratischer Fall mit einer Lösung $\mathsf{t=1}$
4. Fälle ohne reelle Lösung $\mathsf{t>1}$

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