Quadratische Gleichungen · Erklären & üben

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta verbindet die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ihren Koeffizienten. Er hilft dir beim Finden, Prüfen und Konstruieren von Gleichungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst normieren

In der Normalform $\mathsf{x^2+px+q=0}$ gilt für die beiden reellen Lösungen, einschließlich einer doppelt gezählten doppelten Lösung: $\mathsf{x_1+x_2=-p}$ und $\mathsf{x_1x_2=q}$ .

Für $\mathsf{ax^2+bx+c=0}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ teilst du zuerst durch a. Dann sind $\mathsf{p=\frac ba}$ und $\mathsf{q=\frac ca}$ . Achte besonders auf das Minus vor p.

Bei ganzzahligen Lösungen hilft es, die Teilerpaare von q zu testen. Das ist eine Suchhilfe. Nicht jede Gleichung besitzt ganzzahlige oder reelle Lösungen.

Normiertes Beispiel: Lösungen 4 und 5, Summe9 führt zu p minus9, Produkt20 zu q20.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x^2-18x+40=0}$ mit Vieta.

$\mathsf{x^2-9x+20=0}$ — beide Seiten durch 2 teilen.

$\mathsf{x_1+x_2=9}$ — die notwendige Summe ablesen.

$\mathsf{x_1x_2=20}$ — das notwendige Produkt ablesen.

$\mathsf{4+5=9}$ — Summe des Kandidatenpaars prüfen.

$\mathsf{4\cdot5=20}$ — Produkt prüfen.

Erklärung 02

Prüfen und rückwärts arbeiten

Nur eine passende Summe reicht nicht aus. Das Produkt muss ebenfalls stimmen. Sind beide Beziehungen erfüllt, liefern die Zahlen die gesuchte Faktorzerlegung.

Kennst du eine Lösung, kannst du die andere über die Summe bestimmen. Über das Produkt darfst du nur dann dividieren, wenn die bekannte Lösung ungleich null ist.

So geht es am Beispiel

Sind 2 und 6 die Lösungen von $\mathsf{x^2-8x+12=0}$ ?

$\mathsf{2+6=8}$ — stimmt mit dem negativen linearen Koeffizienten überein.

$\mathsf{2\cdot6=12}$ — stimmt mit dem konstanten Glied überein.

So geht es am Beispiel

Finde eine normierte Gleichung mit den Lösungen minus 3 und 2.

$\mathsf{p=-((-3)+2)=1}$ — die Summe mit negativem Vorzeichen übernehmen.

$\mathsf{q=(-3)\cdot2=-6}$ — das Produkt übernehmen.

$\mathsf{x^2+x-6=0}$ — die Koeffizienten einsetzen.

Erklärung 03

Warum die Beziehungen gelten

Aus den Nullstellen folgt die Faktorform $\mathsf{(x-x_1)(x-x_2)=0}$ . Multipliziere aus:

$\mathsf{(x-x_1)(x-x_2)=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2}$

$\mathsf{=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}$

Vergleiche mit $\mathsf{x^2+px+q}$ . Die Koeffizienten vor x und das konstante Glied müssen übereinstimmen: $\mathsf{p=-(x_1+x_2)}$ und $\mathsf{q=x_1x_2}$ .

Erklärung 04

Vertiefung: Beweis mit der pq-Formel

Setze für reelle Lösungen $\mathsf{r=\sqrt{(\frac p2)^2-q}}$ . Die pq-Formel liefert $\mathsf{x_1=-\frac p2+r}$ und $\mathsf{x_2=-\frac p2-r}$ .

$\mathsf{x_1+x_2=-\frac p2+r-\frac p2-r=-p}$ — die Wurzelanteile heben sich auf.

$\mathsf{x_1x_2=(-\frac p2+r)(-\frac p2-r)=\frac{p^2}{4}-r^2}$ — dritte binomische Formel.

$\mathsf{x_1x_2=\frac{p^2}{4}-(\frac{p^2}{4}-q)=q}$ — den Wert von r zum Quadrat einsetzen.

Weitere Verfahren zum Berechnen von Nullstellen findest du im Thema „Quadratische Gleichungen lösen“.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Satz von Vieta · GrundlagenLöse $\mathsf{x^2-7x+10=0}$ mit Vieta.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1+x_2=7,\quad x_1x_2=10}$ — beide Bedingungen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+5=7}$ — Summe prüfen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot5=10}$ — Produkt prüfen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{2,5\}}$
02
Aufgabe 2Satz von Vieta · GrundlagenLöse $\mathsf{x^2+7x+12=0}$ mit Vieta.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1+x_2=-7,\quad x_1x_2=12}$ — Bedingungen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-3)+(-4)=-7}$ — Summe prüfen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-3)(-4)=12}$ — Produkt prüfen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-4,-3\}}$
03
Aufgabe 3Satz von Vieta · GrundlagenLöse $\mathsf{x^2-x-12=0}$ mit Vieta.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1+x_2=1,\quad x_1x_2=-12}$ — Bedingungen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4+(-3)=1}$ — Summe prüfen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4\cdot(-3)=-12}$ — Produkt prüfen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-3,4\}}$
04
Aufgabe 4Satz von Vieta · AnwendenLöse $\mathsf{3x^2-15x+18=0}$ mit Vieta.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-5x+6=0}$ — zuerst durch 3 teilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=6}$ — normierte Koeffizienten verwenden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+3=5}$ — Summe prüfen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot3=6}$ — Produkt prüfen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{2,3\}}$
05
Aufgabe 5Satz von Vieta · AnwendenPrüfe das Paar 1 und 8 für $\mathsf{x^2-9x+14=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1+8=9}$ — die Summe stimmt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot8=8\ne14}$ — das Produkt stimmt nicht.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein. Das Paar erfüllt nicht beide Bedingungen.
06
Aufgabe 6Satz von Vieta · AnwendenBestimme eine normierte quadratische Gleichung mit den Lösungen minus 2 und 7.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=-((-2)+7)=-5}$ — Summe negieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=(-2)\cdot7=-14}$ — Produkt berechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x^2-5x-14=0}$
07
Aufgabe 7Satz von Vieta · AnwendenBei $\mathsf{x^2-9x+18=0}$ ist 3 eine Lösung. Bestimme die zweite Lösung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3+x_2=9}$ — Summenbeziehung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=6}$ — 3 abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot6=18}$ — Produkt zur Kontrolle.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x_2=6}$
08
Aufgabe 8Satz von Vieta · VertiefenLöse $\mathsf{x^2+4x=0}$ mit den Vieta-Beziehungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1+x_2=-4,\quad x_1x_2=0}$ — Bedingungen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Faktor muss null sein.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0+x_2=-4}$ — null in die Summenbeziehung einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=-4}$ — die zweite Lösung ablesen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-4,0\}}$
09
Aufgabe 9Satz von Vieta · VertiefenBei $\mathsf{x^2+px-8=0}$ ist minus 2 eine Lösung. Bestimme die andere Lösung und p.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zweite Lösung mit Rechnung
Koeffizient p mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-2)x_2=-8}$ — Produktbeziehung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_2=4}$ — durch minus 2 teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2+4=-p}$ — Summenbeziehung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2=-p}$ — zusammenfassen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=-2}$ — mit minus 1 multiplizieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zweite Lösung mit Rechnung $\mathsf{x_2=4}$
2. Koeffizient p mit Rechnung $\mathsf{p=-2}$
10
Aufgabe 10Satz von Vieta · VertiefenBestimme eine normierte Gleichung mit den Lösungen $\mathsf{\frac12}$ und 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=-(\frac12+3)=-\frac72}$ — Summe negieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=\frac12\cdot3=\frac32}$ — Produkt berechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x^2-\frac72x+\frac32=0}$

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