Rechenregeln · Erklären & üben

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation und Addition oder Subtraktion. Du kannst einen Faktor verteilen oder ihn aus mehreren Produkten ausklammern.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Verteilen auf alle Summanden

Ein Faktor wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. Die entstehenden Teilprodukte werden addiert. Bei einer Differenz werden die entsprechenden Teilprodukte subtrahiert. Das Gesetz gilt für rationale und reelle Zahlen, auch für Variablen mit solchen Werten. Ein Flächenmodell verwendet positive Seitenlängen; Vorzeichenfälle werden rechnerisch behandelt.

Erkenne den Faktor und jeden Klammerteil.
Multipliziere den Faktor mit jedem Teil.
Verrechne die Teilprodukte mit den ursprünglichen Zeichen.

$\mathsf{a(b+c)=ab+ac}$ und $\mathsf{a(b-c)=ab-ac}$ .

Rechteck mit Höhe 4 und Breite 9, in Breiten 6 und 3 geteilt. Teilflächen 24 und 12, Gesamtfläche 36.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{4\cdot(6+3)}$ durch Verteilen.

Verteile den Faktor: $\mathsf{4\cdot6+4\cdot3}$ .

Erstes Teilprodukt: $\mathsf{4\cdot6=24}$ .

Zweites Teilprodukt: $\mathsf{4\cdot3=12}$ .

Addiere $\mathsf{24+12=36}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{8\cdot(20-2)}$ geschickt.

Verteile den Faktor: $\mathsf{8\cdot20-8\cdot2}$ .

Erstes Teilprodukt: $\mathsf{8\cdot20=160}$ .

Zweites Teilprodukt: $\mathsf{8\cdot2=16}$ .

Subtrahiere $\mathsf{160-16=144}$ .

Erklärung 02

Negative Faktoren und Minusklammern

Ein Minus vor der Klammer bedeutet Multiplikation mit minus eins. Jeder Klammerteil erhält diesen Faktor. Ein negativer Faktor verändert die Vorzeichen seiner Teilprodukte entsprechend der Vorzeichenregeln. Es reicht nicht, nur das erste Zeichen zu ändern.

Schreibe ein vorangestelltes Minus als Faktor minus eins.
Bilde jedes Teilprodukt mit seinem Vorzeichen.
Fasse doppelte Minuszeichen begründet zusammen.

$\mathsf{-(a+b)=-a-b}$ und $\mathsf{-(a-b)=-a+b}$ .

Minus vor a minus b bedeutet minus eins mal a minus minus eins mal b. Das ergibt minus a plus b.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{-(7-3)}$ auf und berechne.

Schreibe den Faktor: $\mathsf{(-1)\cdot(7-3)}$ .

Verteile: $\mathsf{(-1)\cdot7-(-1)\cdot3}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{(-1)\cdot7=-7}$ .

Zweites Produkt: $\mathsf{(-1)\cdot3=-3}$ .

Subtrahiere den negativen Wert: $\mathsf{-7-(-3)=-4}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{-3\cdot(x-4)}$ .

Verteile den Faktor: $\mathsf{(-3)\cdot x-(-3)\cdot4}$ .

Das erste Produkt ist $\mathsf{-3x}$ .

Das zweite Produkt ist $\mathsf{(-3)\cdot4=-12}$ .

Subtrahieren von minus 12 ergibt $\mathsf{-3x+12}$ .

Erklärung 03

Brüche als Faktoren

Das Distributivgesetz gilt unverändert für Brüche. Jeder Nenner muss ungleich null sein. Verteile den Bruchfaktor auf alle Summanden und kürze gemeinsame Faktoren in den einzelnen Produkten.

Prüfe alle Nenner.
Multipliziere jeden Summanden mit dem Bruchfaktor.
Kürze Teilprodukte und verrechne sie.

Auch ein Bruch ist ein vollständiger Faktor.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac34\cdot(8+12)}$ .

Verteile: $\mathsf{\frac34\cdot8+\frac34\cdot12}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{\frac34\cdot8=6}$ .

Zweites Produkt: $\mathsf{\frac34\cdot12=9}$ .

Addiere $\mathsf{6+9=15}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac23\cdot(\frac34+\frac98)}$ .

Verteile: $\mathsf{\frac23\cdot\frac34+\frac23\cdot\frac98}$ .

Das erste Produkt ergibt nach Kürzen $\mathsf{\frac12}$ .

Das zweite Produkt ergibt nach Kürzen $\mathsf{\frac34}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac12=\frac24}$ .

Addiere $\mathsf{\frac24+\frac34=\frac54}$ .

Erklärung 04

Rückwärts: Ausklammern

Wenn in allen Summanden ein gemeinsamer Faktor steckt, kannst du ihn vor eine Klammer ziehen. In der Klammer bleiben die anderen Faktoren. Auch bei einer Differenz bleibt deren Vorzeichen erhalten. Das Ausmultiplizieren des Ergebnisses ist eine passende Probe.

Suche einen Faktor, der in jedem Summanden vorkommt.
Bestimme die verbleibenden Faktoren.
Prüfe durch erneutes Ausmultiplizieren.

Ausklammern ist das Distributivgesetz in umgekehrter Richtung.

Fünf ist gemeinsamer Faktor von fünfzehn x und zehn. Die verbleibenden Faktoren drei x und zwei stehen in der Klammer.

So geht es am Beispiel

Klammere in $\mathsf{15x+10}$ den Faktor 5 aus.

Schreibe $\mathsf{15x=5\cdot3x}$ .

Schreibe $\mathsf{10=5\cdot2}$ .

Fasse den gemeinsamen Faktor zusammen: $\mathsf{5(3x+2)}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{12\cdot17-12\cdot7}$ durch Ausklammern.

Klammere 12 aus: $\mathsf{12\cdot(17-7)}$ .

Berechne $\mathsf{17-7=10}$ .

Multipliziere $\mathsf{12\cdot10=120}$ .

Erklärung 05

Variablen und zwei Klammern

Auch ganze Klammern können Faktoren sein. Beim Produkt zweier Summen entsteht jedes mögliche Teilprodukt eines Terms aus der ersten mit einem Term aus der zweiten Klammer. Gleiche Terme werden erst danach zusammengefasst. Eine Klammer zum Quadrat bedeutet das Produkt zweier gleicher Klammern, nicht das einzelne Quadrieren ihrer Summanden.

Bilde alle Teilprodukte.
Achte auf Vorzeichen.
Fasse nur gleichartige Terme zusammen.

$\mathsf{(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}$ .

Rechteck der Breite acht und Höhe sieben für x gleich fünf. Vier Teilflächen mit Größen 25, 15, 10 und 6 zeigen sämtliche Teilprodukte.

So geht es am Beispiel

Multipliziere $\mathsf{(x+2)(x+3)}$ aus.

Verteile die erste Klammer: $\mathsf{x(x+3)+2(x+3)}$ .

Verteile den ersten Faktor: $\mathsf{x(x+3)=x^2+3x}$ .

Verteile den zweiten Faktor: $\mathsf{2(x+3)=2x+6}$ .

Addiere die Ergebnisse: $\mathsf{x^2+3x+2x+6}$ .

Fasse gleichartige Terme zusammen: $\mathsf{3x+2x=5x}$ .

So geht es am Beispiel

Multipliziere $\mathsf{(x+2)^2}$ aus.

Schreibe die Potenz als Produkt: $\mathsf{(x+2)(x+2)}$ .

Verteile: $\mathsf{x(x+2)+2(x+2)}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{x(x+2)=x^2+2x}$ .

Zweites Produkt: $\mathsf{2(x+2)=2x+4}$ .

Fasse zusammen: $\mathsf{x^2+2x+2x+4=x^2+4x+4}$ .

Erklärung 06

Division: was sich verteilen lässt

Eine Summe im Dividenden kann durch denselben von null verschiedenen Divisor geteilt werden. Das entspricht der Multiplikation mit dessen Kehrwert. Eine Summe im Divisor lässt sich dagegen nicht so aufteilen. Berechne einen Klammerwert im Divisor zuerst und prüfe, dass er ungleich null ist. Das Kommutativgesetz erklärt das Vertauschen von Faktoren; es erlaubt nicht das Vertauschen von Dividend und Divisor.

Unterscheide Dividend und Divisor.
Verteile nur bei gemeinsamem von null verschiedenem Divisor.
Behandle eine Divisorklammer als ganzen Wert.

$\mathsf{(a+b):c=a:c+b:c}$ für $\mathsf{c\ne0}$ . Für $\mathsf{a:(b+c)}$ gilt diese Verteilung nicht.

Die Summe 45 plus 15 wird durch den gemeinsamen Divisor fünf geteilt. Teilquotienten neun und drei ergeben zwölf.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(45+15):5}$ durch Verteilen.

Teile beide Summanden: $\mathsf{45:5+15:5}$ .

Erster Quotient: $\mathsf{45:5=9}$ .

Zweiter Quotient: $\mathsf{15:5=3}$ .

Addiere $\mathsf{9+3=12}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{18:(3+6)}$ und $\mathsf{18:3+18:6}$ .

Links zuerst $\mathsf{3+6=9}$ .

Links danach $\mathsf{18:9=2}$ .

Rechts zuerst $\mathsf{18:3=6}$ .

Der zweite rechte Quotient ist $\mathsf{18:6=3}$ .

Addiere rechts $\mathsf{6+3=9}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Distributivgesetz · 1Berechne $\mathsf{5\cdot(8+4)}$ durch Verteilen. Gib beide Teilprodukte und das Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erstes Teilprodukt
Zweites Teilprodukt
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verteile $\mathsf{5\cdot8+5\cdot4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Produkt: $\mathsf{5\cdot8=40}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweites Produkt: $\mathsf{5\cdot4=20}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{40+20=60}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erstes Teilprodukt40
2. Zweites Teilprodukt20
3. Ergebnis60
02
Aufgabe 2Distributivgesetz · 1Berechne $\mathsf{7\cdot(30-2)}$ durch Verteilen. Gib beide Teilprodukte und die Differenz an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erstes Teilprodukt
Zweites Teilprodukt
Differenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verteile $\mathsf{7\cdot30-7\cdot2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Produkt: $\mathsf{7\cdot30=210}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweites Produkt: $\mathsf{7\cdot2=14}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Subtrahiere $\mathsf{210-14=196}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erstes Teilprodukt210
2. Zweites Teilprodukt14
3. Differenz196
03
Aufgabe 3Distributivgesetz · 2Löse $\mathsf{-(a-9)}$ und $\mathsf{-4(b+2)}$ jeweils auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster aufgelöster Term
Zweiter aufgelöster Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Term: $\mathsf{(-1)\cdot a-(-1)\cdot9}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das ergibt $\mathsf{-a+9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweiter Term: $\mathsf{(-4)\cdot b+(-4)\cdot2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das ergibt $\mathsf{-4b-8}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster aufgelöster Term $\mathsf{-a+9}$
2. Zweiter aufgelöster Term $\mathsf{-4b-8}$
04
Aufgabe 4Distributivgesetz · 2Berechne $\mathsf{\frac25\cdot(15+20)}$ durch Verteilen. Gib beide Teilprodukte und die Summe an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erstes Teilprodukt
Zweites Teilprodukt
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verteile $\mathsf{\frac25\cdot15+\frac25\cdot20}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Produkt: $\mathsf{\frac25\cdot15=6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweites Produkt: $\mathsf{\frac25\cdot20=8}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{6+8=14}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erstes Teilprodukt6
2. Zweites Teilprodukt8
3. Summe14
05
Aufgabe 5Distributivgesetz · 2Klammere in $\mathsf{18x-12}$ den Faktor 6 aus. Gib den Klammerterm und die Probe durch Ausmultiplizieren an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Klammerterm
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{18x=6\cdot3x}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{12=6\cdot2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Klammere aus: $\mathsf{6(3x-2)}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Probe lautet $\mathsf{6\cdot3x-6\cdot2=18x-12}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Klammerterm $\mathsf{6(3x-2)}$
2. Probe $\mathsf{6\cdot3x-6\cdot2=18x-12}$
06
Aufgabe 6Distributivgesetz · 3Multipliziere $\mathsf{(x+4)(x+1)}$ aus. Gib alle vier Teilprodukte getrennt und danach den zusammengefassten Term an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erstes Teilprodukt
Zweites Teilprodukt
Drittes Teilprodukt
Viertes Teilprodukt
Zusammengefasster Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verteile: $\mathsf{x(x+1)+4(x+1)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Teilprodukt: $\mathsf{x\cdot x=x^2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweites Teilprodukt: $\mathsf{x\cdot1=x}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Drittes Teilprodukt: $\mathsf{4\cdot x=4x}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Viertes Teilprodukt: $\mathsf{4\cdot1=4}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Fasse $\mathsf{x+4x=5x}$ zusammen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erstes Teilprodukt $\mathsf{x^2}$
2. Zweites Teilprodukt $\mathsf{x}$
3. Drittes Teilprodukt $\mathsf{4x}$
4. Viertes Teilprodukt4
5. Zusammengefasster Term $\mathsf{x^2+5x+4}$
07
Aufgabe 7Distributivgesetz · 3Ist $\mathsf{(y+3)^2=y^2+9}$ allgemein richtig? Multipliziere korrekt aus und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Allgemein richtig?
Richtiger Term
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{(y+3)(y+3)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Verteile: $\mathsf{y(y+3)+3(y+3)}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erstes Produkt: $\mathsf{y^2+3y}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zweites Produkt: $\mathsf{3y+9}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Fasse zusammen: $\mathsf{y^2+3y+3y+9=y^2+6y+9}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Allgemein richtig?Nein
2. Richtiger Term $\mathsf{y^2+6y+9}$
3. BegründungBeim Ausmultiplizieren entstehen zusätzlich zwei gemischte Teilprodukte, zusammen 6y.
08
Aufgabe 8Distributivgesetz · 2Berechne $\mathsf{(56+24):8}$ durch Verteilen. Gib beide Teilquotienten und die Summe an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Teilquotient
Zweiter Teilquotient
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der gemeinsame Divisor 8 ist ungleich null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Verteile: $\mathsf{56:8+24:8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erster Quotient: $\mathsf{56:8=7}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zweiter Quotient: $\mathsf{24:8=3}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{7+3=10}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Teilquotient7
2. Zweiter Teilquotient3
3. Summe10
09
Aufgabe 9Distributivgesetz · 3Jemand schreibt $\mathsf{24:(4+8)=24:4+24:8}$ . Berechne beide Seiten, entscheide und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert
Rechter Wert
Gleichung richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links zuerst $\mathsf{4+8=12}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Links danach $\mathsf{24:12=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts erster Quotient: $\mathsf{24:4=6}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Rechts zweiter Quotient: $\mathsf{24:8=3}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Rechts addieren: $\mathsf{6+3=9}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert2
2. Rechter Wert9
3. Gleichung richtig?Nein
4. BegründungDie Summe steht im Divisor. Sie darf nicht in zwei getrennte Divisionen aufgeteilt werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verteile auf jeden Klammerteil.
Ich behandle ein Minus vor der Klammer als Faktor minus eins.
Ich kann einen gemeinsamen Faktor ausklammern.
Ich unterscheide eine Summe im Dividenden von einer Summe im Divisor.

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