Rechenregeln · Erklären & üben

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz verändert die Klammerung einer Summe oder eines Produkts. Die Reihenfolge der Zahlen bleibt dabei unverändert.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Umklammern statt Vertauschen

Bei der Addition rationaler und reeller Zahlen darfst du anders zusammenfassen. Dasselbe gilt für die Multiplikation. Die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren wird durch das Assoziativgesetz nicht verändert. Das Kommutativgesetz ist dagegen für Vertauschen zuständig.

Kontrolliere, dass nur Addition oder nur Multiplikation vorliegt.
Verändere nur die Klammerung.
Behalte die Reihenfolge bei.

$\mathsf{(a+b)+c=a+(b+c)}$ und $\mathsf{(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)}$ .

Die Folge 4, 6, 3 bleibt erhalten. Zuerst werden 4 und 6, danach alternativ 6 und 3 zusammengefasst. Beide Summen ergeben 13.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{(4+6)+3}$ und $\mathsf{4+(6+3)}$ .

Links zuerst $\mathsf{4+6=10}$ .

Links danach $\mathsf{10+3=13}$ .

Rechts zuerst $\mathsf{6+3=9}$ .

Rechts danach $\mathsf{4+9=13}$ .

Erklärung 02

Eine Summe günstig klammern

Ein günstiger Klammerausdruck kann einen runden Zwischenwert ergeben. Negative Zahlen und Dezimalzahlen sind ebenfalls erlaubt. Das Vorzeichen gehört jeweils zur Zahl. Wer zusätzlich die Reihenfolge ändert, verwendet außerdem das Kommutativgesetz.

Suche benachbarte passende Summanden.
Klammere sie zusammen.
Berechne die Klammer vor dem restlichen Term.

Fasse die Teile zusammen, die leicht zu berechnen sind.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(37+63)+18}$ und erkläre die günstige Klammer.

Die Klammer enthält das runde Paar: $\mathsf{37+63=100}$ .

Danach ergibt $\mathsf{100+18=118}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(12+(-7))+7}$ durch Umklammern.

Klammere um: $\mathsf{12+((-7)+7)}$ .

Die Gegenzahlen ergeben $\mathsf{(-7)+7=0}$ .

Addiere $\mathsf{12+0=12}$ .

Erklärung 03

Ein Produkt günstig klammern

In einer reinen Multiplikation darfst du Faktoren zu einem Zwischenprodukt zusammenfassen. Dabei geht kein Faktor verloren. Die Klammer verändert nur, welches Teilprodukt du zuerst berechnest.

Erhalte alle Faktoren mit ihren Vorzeichen.
Bilde ein günstiges Teilprodukt.
Multipliziere mit dem verbleibenden Faktor.

Alle Faktoren bleiben in derselben Reihenfolge erhalten.

Die Faktoren 7, 25 und 4 bleiben erhalten. Oben wird zuerst 175 gebildet, unten zuerst 100. Beide Wege ergeben 700.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(7\cdot25)\cdot4}$ durch Umklammern.

Klammere um: $\mathsf{7\cdot(25\cdot4)}$ .

Das innere Produkt ist $\mathsf{25\cdot4=100}$ .

Das Gesamtprodukt ist $\mathsf{7\cdot100=700}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-3)\cdot(2\cdot5)}$ mit anderer Klammerung.

Klammere um: $\mathsf{((-3)\cdot2)\cdot5}$ .

Das erste Teilprodukt ist $\mathsf{(-3)\cdot2=-6}$ .

Multipliziere $\mathsf{(-6)\cdot5=-30}$ .

Erklärung 04

Brüche und Variablen

Das Assoziativgesetz gilt auch für Brüche mit Nennern ungleich null. Variablen können dieselben Zahlenbereiche vertreten. Du musst dafür die Werte der Variablen nicht kennen. Klammern in Summen und Produkten darfst du passend setzen, nicht jedoch willkürlich zwischen verschiedenen Operationen verschieben.

Behalte jeden Bruch als ganzen Summanden oder Faktor.
Beachte Nenner ungleich null.
Fasse gleichartige Operationen zusammen.

Die gleiche Operation verbindet alle umgeklammerten Teile.

In zwei Drittel plus ein Sechstel plus fünf Sechstel werden die letzten beiden Brüche zusammengefasst. Ihre Summe ist eins; der Gesamtwert ist fünf Drittel.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(\frac23+\frac16)+\frac56}$ durch Umklammern.

Klammere um: $\mathsf{\frac23+(\frac16+\frac56)}$ .

Addiere in der Klammer: $\mathsf{\frac16+\frac56=1}$ .

Addiere $\mathsf{\frac23+1=\frac53}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(\frac35\cdot\frac23)\cdot\frac92}$ durch Umklammern.

Klammere um: $\mathsf{\frac35\cdot(\frac23\cdot\frac92)}$ .

Im inneren Produkt kürzen sich die Faktoren 2 gegen 2 und 9 gegen 3.

Das innere Produkt ist $\mathsf{\frac23\cdot\frac92=3}$ .

Das Gesamtprodukt ist $\mathsf{\frac35\cdot3=\frac95}$ .

So geht es am Beispiel

Klammere $\mathsf{(x+2)+8}$ günstig um und vereinfache.

Verändere die Klammerung: $\mathsf{x+(2+8)}$ .

Die Klammer ergibt $\mathsf{2+8=10}$ .

Erklärung 05

Grenzen und Gegenbeispiele

Subtraktion und Division sind nicht allgemein assoziativ. Klammern können dort den Wert verändern. Bei Divisionen müssen alle Divisoren und alle als Divisor verwendeten Klammerwerte ungleich null sein. Eine Mischung aus Plus und Mal erlaubt ebenfalls keine beliebige Umklammerung.

Berechne beide Klammerungen.
Achte auf die Operationen zwischen den Teilen.
Prüfe bei Division die Definitionsbedingungen.

Eine Klammeränderung muss durch ein passendes Gesetz begründet sein.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{(20-8)-3}$ und $\mathsf{20-(8-3)}$ .

Links zuerst $\mathsf{20-8=12}$ .

Links danach $\mathsf{12-3=9}$ .

Rechts zuerst $\mathsf{8-3=5}$ .

Rechts danach $\mathsf{20-5=15}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{(48:8):2}$ und $\mathsf{48:(8:2)}$ .

Links zuerst $\mathsf{48:8=6}$ .

Links danach $\mathsf{6:2=3}$ .

Rechts zuerst $\mathsf{8:2=4}$ .

Rechts danach $\mathsf{48:4=12}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{(2+3)\cdot4}$ und $\mathsf{2+(3\cdot4)}$ .

Links zuerst $\mathsf{2+3=5}$ .

Links danach $\mathsf{5\cdot4=20}$ .

Rechts zuerst $\mathsf{3\cdot4=12}$ .

Rechts danach $\mathsf{2+12=14}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Assoziativgesetz · 1Klammere $\mathsf{(9+1)+6}$ nach rechts um. Berechne den Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neue Klammerung
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die neue Klammerung ist $\mathsf{9+(1+6)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{1+6=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{9+7=16}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Neue Klammerung $\mathsf{9+(1+6)}$
2. Wert16
02
Aufgabe 2Assoziativgesetz · 1Klammere $\mathsf{(8\cdot5)\cdot2}$ günstig um und berechne.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neue Klammerung
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die günstige Klammerung ist $\mathsf{8\cdot(5\cdot2)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{5\cdot2=10}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{8\cdot10=80}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Neue Klammerung $\mathsf{8\cdot(5\cdot2)}$
2. Wert80
03
Aufgabe 3Assoziativgesetz · 2Berechne $\mathsf{(19+(-6))+6}$ durch Umklammern. Gib die neue Klammerung und den Wert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neue Klammerung
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Klammere um: $\mathsf{19+((-6)+6)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die inneren Summanden ergeben $\mathsf{(-6)+6=0}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{19+0=19}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Neue Klammerung $\mathsf{19+((-6)+6)}$
2. Wert19
04
Aufgabe 4Assoziativgesetz · 2Berechne $\mathsf{(11\cdot4)\cdot25}$ durch günstiges Umklammern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Klammere um: $\mathsf{11\cdot(4\cdot25)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Teilprodukt ist $\mathsf{4\cdot25=100}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Gesamtprodukt ist $\mathsf{11\cdot100=1100}$ .
Ergebnis
1. Wert1100
05
Aufgabe 5Assoziativgesetz · 2Berechne $\mathsf{(\frac38+\frac25)+\frac35}$ durch Umklammern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Klammere um: $\mathsf{\frac38+(\frac25+\frac35)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Klammer ergibt $\mathsf{\frac25+\frac35=1}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac38+1=\frac{11}{8}}$ .
Ergebnis
1. Wert $\mathsf{\frac{11}{8}}$
06
Aufgabe 6Assoziativgesetz · 2Berechne $\mathsf{(\frac49\cdot\frac35)\cdot\frac{10}{3}}$ durch Umklammern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Klammere um: $\mathsf{\frac49\cdot(\frac35\cdot\frac{10}{3})}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Berechne das innere Produkt: $\mathsf{\frac35\cdot\frac{10}{3}=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{\frac49\cdot2=\frac89}$ .
Ergebnis
1. Wert $\mathsf{\frac89}$
07
Aufgabe 7Assoziativgesetz · 2Vereinfache $\mathsf{(y+14)+6}$ durch Umklammern. Gib außerdem den Wert für $\mathsf{y=-3}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Wert für y gleich minus 3
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Klammere um: $\mathsf{y+(14+6)}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fasse zusammen: $\mathsf{14+6=20}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{(-3)+20=17}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{y+20}$
2. Wert für y gleich minus 317
08
Aufgabe 8Assoziativgesetz · 3Berechne $\mathsf{(25-9)-4}$ und $\mathsf{25-(9-4)}$ . Ist die Umklammerung wertgleich? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert
Rechter Wert
Wertgleich?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links zuerst $\mathsf{25-9=16}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Links danach $\mathsf{16-4=12}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts zuerst $\mathsf{9-4=5}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Rechts danach $\mathsf{25-5=20}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert12
2. Rechter Wert20
3. Wertgleich?Nein
4. BegründungSubtraktion ist nicht allgemein assoziativ. Diese Klammerungen liefern 12 und 20.
09
Aufgabe 9Assoziativgesetz · 3Berechne $\mathsf{(36:6):3}$ und $\mathsf{36:(6:3)}$ . Ist Division allgemein assoziativ? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert
Rechter Wert
Allgemein assoziativ?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links zuerst $\mathsf{36:6=6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Links danach $\mathsf{6:3=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts zuerst $\mathsf{6:3=2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Rechts danach $\mathsf{36:2=18}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert2
2. Rechter Wert18
3. Allgemein assoziativ?Nein
4. BegründungBeide Terme sind definiert, haben aber unterschiedliche Werte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verändere beim Umklammern nicht die Reihenfolge.
Ich erkenne reine Summen und reine Produkte.
Ich kann auch Brüche und negative Zahlen umklammern.
Ich kenne die Grenzen bei Minus und Geteilt.

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